Roztrhnutí železného drátu vlastní tíhou

Úloha číslo: 2151

Jak dlouhý by musel být železný drát, aby se roztrhl vlastní tíhou, když ho na jednom konci zavěsíme? Hustota železa je 7,8 g/cm3, a mez pevnosti železa je 320 MPa.

Železný drát
  • Zápis

    ρ = 7,8 g·cm-3 hustota železa
    σ = 320 MPa napětí při mezi pevnosti
    l = ? m minimální délka drátu pro roztržení
  • Rozbor

    Napětí v drátu se spojitě mění, největší zatížení je v místě upevnění. Aby se drát přetrhl, je třeba aby napětí dosáhlo meze pevnosti. Potřebujeme tedy drát dost dlouhý na to, aby takové místo vzniklo.

    Vyjádříme si napětí v místě upevnění drátu a pro jeho mezní hodnotu dopočítáme délku drátu.

  • Nápověda

    Uvědomte si, ve kterém místě je drát nejvíce zatížen. Vyjádřete si sílu, kterou je drát v tomto místě napínán, a pak s její pomocí i napětí v daném místě. Předpokládejte, že napětí dosáhne meze pevnosti a dopočítejte k tomu příslušnou délku drátu.

  • Řešení

    Největší zatížení drátu je v místě upevnění, drát je zde napínán celou svou tíhou.

    \[G\,=\,mg\,=\,V\rho g,\]

    kde V je objem drátu, ρ jeho hustota, a g je tíhové zrychlení.

    Protože nás zajímá napětí, tak tíhu vydělíme plochou průřezu drátu S, takže:

    \[\sigma\,=\,\frac{G}{S}\,=\,\frac{l S\rho g}{S}\,=\,l\rho g.\]

    Aby se drát roztrhl, musíme uvažovat že σ má velikost meze pevnosti. To znamená, že pro hledanou délku musí platit:

    \[\sigma\,=\,\rho gl.\]

    Odtud:

    \[l\,=\,\frac{\sigma}{\rho g}.\]

    Nyní už pouze číselně dosadíme:

    \[l\,=\,\frac{320·10^{6}}{7{,}8·10^{3}·9{,}81} \mathrm{m}\,=\,4{,}2·10^{3} \mathrm{m}.\]
  • Odpověď

    Délka drátu nutná k roztržení je:

    \[l\,=\,4{,}2·10^{3} \mathrm{m}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze