Auto a brzdná síla přímo úměrná rychlosti

Úloha číslo: 70

Auto o hmotnosti 1 000 kg jede rovnoměrně přímočaře rychlostí o velikosti 30 m·s−1 po vodorovné silnici. V čase 0 s proti němu začala působit brzdná síla, která je přímo úměrná rychlosti auta. Konstanta úměrnosti k = 231 kg·s−1.

1) Určete, jak se s časem mění velikost rychlosti auta v(t) a souřadnice auta x(t).

2) Určete, za jak dlouho klesne rychlost auta na poloviční hodnotu, tj. 15 m·s−1.

Obrázek k zadání úlohy

Poznámka: Místo velikost rychlosti píšeme dále jen rychlost.

  • Zápis

    m = 1 000 kg hmotnost auta
    v0 = 30 m·s−1 rychlost auta
    t0 = 0 s čas, ve kterém začala působi brzdná síla
    Fb brzdná síla úměrná rychlosti auta
    k = 231 kg·s−1 konstanta úměrnosti
    t = ? s čas, za který klesne rychlost auta na poloviční hodnotu tj. 15 m·s−1
  • Nápověda 1 – pohybová rovnice

    Uvědomte si, jaké síly působí na auto, a napište pro něj pohybovou rovnici.

  • Nápověda 2 – vyjádření brzdné síly, průběh v(t)

    Vyjádřete brzdnou sílu Fb z rovnice (2) pomocí rychlosti auta a řeště vzniklou diferenciální rovnici.

  • Nápověda 3 – průběh x(t)

    Znáte závislost rychlosti na čase. Integrací získáte závislost dráhy na čase.

  • Nápověda 4 – čas pro poloviční hodnotu rychlosti

    Hledáte čas, kdy je hodnota rychlosti rovna \(\frac{v_0}{2}\). Přitom víte, jak rychlost na čase závisí.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku nakreslíme síly působící na auto a napíšeme pohybovou rovnici.

    Na auto působí následující síly:

    \(\vec{F}_{b}\)…brzdná síla

    \(\vec{F}_{G}\)…tíhová síla

    \(\vec{N}\)…normálová síla, kterou na auto působí podložka

    Síly působící na auto

    Poznámka: Podložka N působí na kola auta, do obrázku kreslíme výslednici těchto sil.

    Pohybová rovnice pro auto je:

    \[\vec{F}_{b}+\vec{F}_{G}+\vec{N}\,=\, m\vec{a}.\tag{1}\]

    Zvolíme souřadný systém podle obrázku a rovnici (1) přepíšeme skalárně:

    \[x:-F_b \,=\, ma,\tag{2}\] \[y:N - F_G \,=\, 0.\tag{3}\]

    Poznámka: Z obrázku můžete vidět, proč je v rovnici (2) znaménko mínus. Brzdná síla působí proti směru pohybu auta. Síly \(\vec{F}_{G}\) a \(\vec{N}\) jsou kolmé na brzdnou sílu \(\vec{F}_{b},\) jsou stejně velké opačného směru a jejich výslednice je nulová, zrychlení auta ve směru osy y je také nulové.

    Vyjádření brzdné síly:

    Brzdnou sílu Fb, která je přímo úměrná okamžité rychlosti auta, můžeme vyjádřit vztahem:

    \[F_{b}\,=\,kv\,.\tag{4}\]

    Dosazením do vztahu (2) dostaneme:

    \[ma\,=\,-kv\,.\tag{5}\]

    Zrychlení vyjádříme jako časovou změnu rychlosti:

    \[m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,-kv\,.\tag{6}\]

    Průběh v(t):

    Získali jsme diferenciální rovnici 1. řádu s konstantními koeficienty. Vyřešíme ji separací proměnných.

    Rovnici (6) upravíme na tvar:

    \[\frac{\mathrm{d}v}{v}\,=\,-\frac{k}{m}\mathrm{d}t\,.\]

    Obě strany integrujeme:

    \[\ln|v|\,=\,-\frac{k}{m}t+C\,.\]

    Kde C je konstanta.

    Odlogaritmujeme:

    \[|v|\,=\,e^{-\frac{k}{m}t+C}\,=\,e^{-\frac{k}{m}t}\cdot e^{C}\,.\]

    Rychlost nabývá kladných hodnot, proto nemusíme psát absolutní hodnotu. Konstantu eC označíme jako K.

    \[v\,=\,K e^{-\frac{k}{m}t }.\]

    Konstantu K zjistíme z počátečních podmínek. V čase t = 0 s byla rychlost rovna v0. Platí tedy:

    \[v_0\,=\,K e^{-\frac{k}{m}\cdot 0}.\]

    Odtud:

    \[v_0\,=\,K\,.\]

    Pro závislost rychlosti na čase dostáváme:

    \[v(t)\,=\,v_0\cdot e^{-\frac{k}{m}t}\ \,.\tag{7}\]

    Známe závislost rychlosti na čase.

    Integrací získáme závislost dráhy na čase:

    \[x(t)\,=\,\int{v(t)}\,\mathrm{d}t,\] \[x(t)\,=\,\int{v_0e^{-\frac{k}{m} t}}\,\mathrm{d}t,\] \[x(t)\,=\,-\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m} t}+C.\]

    Konstantu C určíme z počátečních podmínek. V čase t0 = 0 s byla uražená dráha 0 m.

    Platí tedy:

    \[0\,=\,-\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m}\cdot 0}+C,\] \[C\,=\,\frac{mv_0}{k}.\]

    Závislost dráhy na čase:

    \[x(t)\,=\,-\,\frac{mv_0}{k}e^{-\frac{k}{m}\,\cdot t}\,+\,\frac{mv_0}{k},\] \[x(t)\,=\,\frac{mv_0}{k}\left(1\,-\,e^{-\frac{k}{m}t}\right).\tag{8}\]

    Čas, za který klesne počáteční rychlost auta na poloviční hodnotu:

    Do vztahu (7) pro závislost rychlosti na čase dosadíme za \(v(t)\,=\,\frac{v_0}{2}\):

    \[\frac{v_0}{2}\,=\,v_0e^{-\,\frac{k}{m}t},\] \[\frac{1}{2}\,=\,e^{-\frac{k}{m}t}.\]

    Rovnici zlogaritmujeme:

    \[\ln\frac{1}{2}\,=\,-\,\frac{k}{m}t,\] \[-\,\frac{m}{k}\,\ln\frac{1}{2}\,=\,t,\] \[\frac{m}{k}\,\ln2\,=\,t.\tag{9}\]

    Do vztahu (9) dosadíme číselně:

    \[t\,=\,\frac{1\,000}{231}\,\cdot 0{,}693\,=\,\frac{693}{231}\,=\,3\,\textrm{s}\,.\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Pro závislost rychlosti na čase platí \(v(t)\,=\,v_0 e^{-\frac{k}{m}t}\).

    Pro závislost dráhy na čase platí \(x(t)\,=\,\frac{mv_0}{k}\left(1\,-\,e^{-\frac{k}{m}t}\right)\).

    Rychlost auta klesne na poloviční hodnotu počáteční rychlosti za 3 s.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze