Sbírka řešených úloh

Motýl, květina a Slunce

Úloha číslo: 1246

Jak velkou gravitační silou přitahuje sedmikráska o hmotnosti \(m_\mathrm{s}=0{,}15 \mathrm{g}\) otakárka fenyklového o hmotnosti \(m_\mathrm{o}=0{,}3 \mathrm{g}\), je-li ve vzdálenosti metr od ní? Jak velkou gravitační silou ho přitahuje Slunce? Porovnejte velikosti obou sil.

• Zápis

  \(m_\mathrm{s}=0{,}15 \mathrm{g}=0{,}15 {\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg}\)	hmotnost sedmikrásky
  \(m_\mathrm{o}=0{,}3 \mathrm{g}=0{,}3 {\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg}\)	hmotnost otakárka fenyklového
  \(l=1  \mathrm{m}\)	vzdálenost sedmikrásky od otakárka fenyklového
  \(F_\mathrm{g1}= ?\)	gravitační síla, kterou přitahuje sedmikráska otakárka fenyklového
  \(F_\mathrm{g2}= ?\)	gravitační síla, kterou přitahuje Slunce otakárka fenyklového

• Nápověda 1

  Formulujte Newtonův gravitační zákon.

• Řešení nápovědy 1

  Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly \(F_\mathrm{g}\) je přímo úměrná součinu hmotností \(m_{1}\), \(m_{2}\) hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti \(r\): \[F_\mathrm{g}=\kappa \frac{m_{1}m_{2}}{r^2},\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta.

• Nápověda 2

  Využitím Newtonova gravitačního zákona určete velikosti obou hledaných sil.

  Dopočítejte číselně. Předpokládejte, že otakárka a sedmikrásku můžeme v dané situaci považovat za hmotné body.

• Řešení nápovědy 2

  \[F_\mathrm{g1}=\kappa \frac{m_\mathrm{s}m_\mathrm{o}}{l^2}\] \[F_\mathrm{g2}=\kappa \frac{Mm_\mathrm{o}}{R^2},\] kde \(M\) je hmotnost Slunce a \(R\) je vzdálenost otakárka fenyklového od Slunce.

  Číselné řešení:

  Ze zadání víme, že: \(m_\mathrm{s}=0{,}15{\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg},\)  \(m_\mathrm{o}=0{,}3 {\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg}\)  a \(l=1 \mathrm{m}\).

  V tabulkách dohledáme gravitační konstantu \(\kappa=6{,}67{\cdot}10^{-11} \mathrm{\frac{m^3\cdot}{kg\cdot s^2}}\) , hmotnost Slunce \(M=1{,}99 {\cdot} 10^{30} \mathrm{kg}\) a střední vzdálenost Země od Slunce (otakárek sedí na Zemi, nebo poletuje ve vzdálenosti, která je vzhledem k následujícímu údaji zanedbatelná) \(R=149{,}6 {\cdot}10^9 \mathrm{m}\). Dosadíme a dostáváme:

  \[F_\mathrm{g1}=6{,}67{\cdot}10^{-11} \frac{0{,}15{\cdot} 10^{-3}\cdot 0{,}3{\cdot} 10^{-3}}{1^2} \mathrm{N} \dot= 3{\cdot}10^{-18} \mathrm{N}=3 \mathrm{aN},\] \[F_\mathrm{g2}=6{,}67{\cdot}10^{-11} \frac{1{,}99 {\cdot} 10^{30}\cdot 0{,}3{\cdot} 10^{-3}}{\left(149{,}6 {\cdot}10^9\right)^2} \mathrm{N}  \dot= 1779{\cdot}10^{-9} \mathrm{N}=1779 \mathrm{nN}.\]

   

  Porovnání velikostí sil: \[\frac{F_\mathrm{g2}}{F_\mathrm{g1}}  \dot= 5{,}93{\cdot}10^{11} \]

• Celkové řešení

  Newtonův gravitační zákon

   

  Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly \(F_\mathrm{g}\) je přímo úměrná součinu hmotností \(m_{1}\), \(m_{2}\) hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti \(r\): \[F_\mathrm{g}=\kappa \frac{m_{1}m_{2}}{r^2},\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta.

   

  Určení velikosti obou hledaných sil

   

  Využijeme Newtonův gravitační zákon:

  Pro výpočet \(F_\mathrm{g1}\) budeme předpokládat, že otakárka a sedmikrásku můžeme v dané situaci považovat za hmotné body: \[F_\mathrm{g1}=\kappa \frac{m_\mathrm{s}m_\mathrm{o}}{l^2}.\] Pro výpočet \(F_\mathrm{g2} \) budeme předpokládat, že otakárek sedí na Zemi, nebo poletuje ve vzdálenosti, která je vzhledem ke vzdálenosti Země od Slunce zanedbatelná: \[F_\mathrm{g2}=\kappa \frac{Mm_\mathrm{o}}{R^2},\] kde \(M\) je hmotnost Slunce a \(R\) je vzdálenost otakárka fenyklového od Slunce.

  Číselné řešení:

  Ze zadání víme, že: \(m_\mathrm{s}=0{,}15{\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg},\)  \(m_\mathrm{o}=0{,}3 {\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg}\)  a \(l=1 \mathrm{m}\).

  V tabulkách dohledáme gravitační konstantu \(\kappa=6{,}67{\cdot}10^{-11} \mathrm{\frac{m^3\cdot}{kg\cdot s^2}}\) , hmotnost Slunce \(M=1{,}99 {\cdot} 10^{30} \mathrm{kg}\) a střední vzdálenost Země od Slunce \(R=149{,}6 {\cdot}10^9 \mathrm{m}\). Dosadíme a dostáváme:

  \[F_\mathrm{g1}=6{,}67{\cdot}10^{-11} \frac{0{,}15{\cdot} 10^{-3}\cdot 0{,}3{\cdot} 10^{-3}}{1^2} \mathrm{N} \dot= 3{\cdot}10^{-18} \mathrm{N}=3 \mathrm{aN},\] \[F_\mathrm{g2}=6{,}67{\cdot}10^{-11} \frac{1{,}99 {\cdot} 10^{30}\cdot 0{,}3{\cdot} 10^{-3}}{\left(149{,}6 {\cdot}10^9\right)^2} \mathrm{N}  \dot= 1779{\cdot}10^{-9} \mathrm{N}=1779 \mathrm{nN}.\]

   

  Porovnání velikostí sil: \[\frac{F_\mathrm{g2}}{F_\mathrm{g1}}  \dot= 5{,}93{\cdot}10^{11} \]

• Odpověď

  Sedmikráska přitahuje otakárka fenyklového gravitační silou \(F_\mathrm{g1}=\kappa \frac{m_\mathrm{s}m_\mathrm{o}}{l^2}\) a Slunce ho přitahuje gravitační silou \(F_\mathrm{g2}=\kappa \frac{Mm_\mathrm{o}}{R^2}\). Pro zadané hodnoty dostáváme \(F_\mathrm{g1}  \dot= 3 \mathrm{aN}\) a \(F_\mathrm{g2}  \dot= 1853 \mathrm{nN}\).

  Porovnání velikostí sil: \(\frac{F_\mathrm{g2}}{F_\mathrm{g1}}  \dot= 6{,}18{\cdot}10^{11} \).