Motýl, květina a Slunce

Úloha číslo: 1246

Jak velkou gravitační silou přitahuje sedmikráska o hmotnosti \(m_{s}=0{,}15 \mathrm{g}\) otakárka fenyklového o hmotnosti \(m_{o}=0{,}3 \mathrm{g}\) je-li ve vzdálenosti metr od ní? Jak velkou gravitační silou ho přitahuje Slunce? Porovnejte velikosti obou sil.

Obrázek k zadání

  • Zápis

    \(m_{s}=0{,}15 \mathrm{g}=0{,}15 {\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg}\) hmotnost sedmikrásky
    \(m_{o}=0{,}3 \mathrm{g}=0{,}3 {\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg}\) hmotnost otakárka fenyklového
    \(l=1  \mathrm{m}\) vzdálenost sedmikrásky od otakárka fenyklového
    \(F_{g1}= ?\) gravitační síla, kterou přitahuje sedmikráska otakárka fenyklového
    \(F_{g2}= ?\) gravitační síla, kterou přitahuje Slunce otakárka fenyklového

  • Nápověda 1

    Formulujte Newtonův gravitační zákon.

  • Nápověda 2

    Využitím Newtonova gravitačního zákona určete velikosti obou hledaných sil.

    Dopočítejte číselně. Předpokládejte, že otakárka a sedmikrásku můžeme v dané situaci považovat za hmotné body.

  • Celkové řešení

    Newtonův gravitační zákon

     

    Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly \(F_{g}\) je přímo úměrná součinu hmotností \(m_{1}\), \(m_{2}\) hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti \(r\): \[F_{g}=\kappa \frac{m_{1}m_{2}}{r^2},\] kde \(\kappa\) je gravitační konstanta.

     

    Určení velikosti obou hledaných sil

     

    Využijeme Newtonovův gravitační zákon:

    Pro výpočet \(F_{g1}\) budeme předpokládat, že otakárka a sedmikrásku můžeme v dané situaci považovat za hmotné body: \[F_{g1}=\kappa \frac{m_{s}m_{o}}{l^2}.\] Pro výpočet \(F_{g2} \) budeme předpokládat, že otakárek sedí na Zemi, nebo poletuje ve vzdálenosti, která je vzhledem ke vzdálenosti Země od Slunce zanedbatelná: \[F_{g2}=\kappa \frac{Mm_{o}}{R^2},\] kde \(M\) je hmotnost Slunce a \(R\) je vzdálenost otakárka fenyklového od Slunce.

    Číselné řešení:

    Ze zadání víme, že: \(m_{s}=0{,}15{\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg},\)  \(m_{o}=0{,}3 {\cdot} 10^{-3} \mathrm{kg}\)  a \(l=1 \mathrm{m}\).

    V tabulkách dohledáme gravitační konstantu \(\kappa=6{,}67{\cdot}10^{-11} \mathrm{\frac{m^3\cdot}{kg\cdot s^2}}\) , hmotnost Slunce \(M=1{,}99 {\cdot} 10^{30} \mathrm{kg}\) a střední vzdálenost Země od Slunce \(R=149{,}6 {\cdot}10^9 \mathrm{m}\). Dosadíme a dostáváme:

    \[F_{g1}=6{,}67{\cdot}10^{-11} \frac{0{,}15{\cdot} 10^{-3}\cdot 0{,}3{\cdot} 10^{-3}}{1^2} \mathrm{N} \dot= 3{\cdot}10^{-18} \mathrm{N}=3 \mathrm{aN},\] \[F_{g2}=6{,}67{\cdot}10^{-11} \frac{1{,}99 {\cdot} 10^{30}\cdot 0{,}3{\cdot} 10^{-3}}{\left(149{,}6 {\cdot}10^9\right)^2} \mathrm{N}  \dot= 1779{\cdot}10^{-9} \mathrm{N}=1779 \mathrm{nN}.\]

     

    Porovnání velikostí sil: \[\frac{F_{g2}}{F_{g1}}  \dot= 5{,}93{\cdot}10^{11} \]

  • Odpověď

    Sedmikráska přitahuje otakárka fenyklového gravitační silou \(F_{g1}=\kappa \frac{m_{s}m_{o}}{l^2}\) a Slunce ho přitahuje gravitační silou \(F_{g2}=\kappa \frac{Mm_{o}}{R^2}\). Pro zadané hodnoty dostáváme \(F_{g1}  \dot= 3 \mathrm{aN}\) a \(F_{g2}  \dot= 1853 \mathrm{nN}\).

    Porovnání velikostí sil: \(\frac{F_{g2}}{F_{g1}}  \dot= 6{,}18{\cdot}10^{11} \).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na porovnávání a rozlišování
Původní zdroj: Bakalářská práce Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze