Skok do vody
Úloha číslo: 212
Při skoku z desetimetrové věže provedl skokan před dopadem na vodní hladinu 2,5 otáčky. Předpokládejte, že svislá složka jeho rychlosti byla na počátku nulová, a vypočtěte úhlovou rychlost jeho otáčivého pohybu.
Zápis
s = 10 m výška věže n = 2,5 počet otáček skokana ω = ? úhlová rychlost skokana Nápověda 1
Rozmyslete si, co vyjadřuje úhlová rychlost a jak se dá spočítat.
Nápověda 2
Rozmyslete si, jakým pohybem se skokan pohybuje ve svislém směru. Jak dlouho mu potrvá, než dopadne do vody?
Nápověda 3
Rozmyslete si, jak lze určit celkový úhel otočení, pokud znáte počet otáček.
Pomocí vztahů (1) a (2) pak vyjádřete hledanou velikost úhlové rychlosti.
Celkové řešení
Pro velikost úhlové rychlosti platí
\[\omega = \frac{\varphi}{t},\]kde φ je celkový úhel otočení a t je doba, za kterou se skokan otočí.
Určení doby pohybu
Skokan se ve svislém směru pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením g, což je tíhové zrychlení. Pro dráhu takového pohybu platí
\[s=\frac{1}{2}gt^{2}\, .\]Pro dobu skoku tedy platí
\[t=\sqrt{\frac{2s}{g}}\,.\]Určení celkového úhlu otočení
Každému otočení odpovídá úhel 360°, což je 2π v radiánech. Tedy 2,5 otáčkám odpovídá úhel 5π.
Úhlová rychlost
Nyní můžeme vše dosadit do vztahu pro úhlovou rychlost (za tíhové zrychlení dosadíme 9,81 m·s−2)
\[\omega=\frac{5\pi}{\sqrt{\frac{2s}{g}}}=5\pi \sqrt{\frac{g}{2s}}=5\pi\sqrt{\frac{9{,}81}{2\,\cdot\,10}}\,\mathrm{s^{-1}}\,\dot{=}\,11\,\mathrm{s^{-1}}\,.\]Odpověď
\[\omega=5\pi \sqrt{\frac{g}{2s}}\,\dot{=}\,11\,\mathrm{s^{-1}}\]Úhlová rychlost skokana je přibližně 11 s−1.
