Skok do vody

Úloha číslo: 212

Při skoku z desetimetrové věže provedl skokan před dopadem na vodní hladinu 2,5 otáčky. Předpokládejte, že svislá složka jeho rychlosti byla na počátku nulová, a vypočtěte úhlovou rychlost jeho otáčivého pohybu.

  • Zápis

    s = 10 m výška věže
    n = 2,5 počet otáček skokana
    ω = ? úhlová rychlost skokana
  • Nápověda 1

    Rozmyslete si, co vyjadřuje úhlová rychlost a jak se dá spočítat.

  • Nápověda 2

    Rozmyslete si, jakým pohybem se skokan pohybuje ve svislém směru. Jak dlouho mu potrvá než dopadne do vody?

  • Nápověda 3

    Rozmyslete si, jak lze určit celkový úhel otočení, pokud znáte počet otáček.

    Pomocí vztahů (1) a (2) pak vyjádřete hledanou velikost úhlové rychlosti.

  • Celkové řešení

    Pro velikost úhlové rychlosti platí

    \[\omega = \frac{\varphi}{t},\]

    kde φ je celkový úhel otočení a t je doba, za kterou se skokan otočí.

     

    určení doby pohybu

    Skokan se ve svislém směru pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením g, což je tíhové zrychlení. Pro dráhu takového pohybu platí

    \[s=\frac{1}{2}gt^{2}\, .\]

    Pro dobu skoku tedy platí

    \[t=\sqrt{\frac{2s}{g}}\,.\]  

    určení celkového úhlu otočení

    Každému otočení odpovídá úhel 360° , což je 2π v radiánech. Tedy 2,5 otáčkám odpovídá úhel 5π.

     

    úhlová rychlost

    Nyní můžeme vše dosadit do vztahu pro úhlovou rychlost (za tíhové zrychlení dosadíme 9,81 m·s−2)

    \[\omega=\frac{5\pi}{\sqrt{\frac{2s}{g}}}=5\pi \sqrt{\frac{g}{2s}}=5\pi\sqrt{\frac{9{,}81}{2\,\cdot\,10}}\,\mathrm{s^{-1}}\,\dot{=}\,11\,\mathrm{s^{-1}}\,.\]
  • Odpověď

    \[\omega=5\pi \sqrt{\frac{g}{2s}}\,\dot{=}\,11\,\mathrm{s^{-1}}\]

    Úhlová rychlost skokana je přibližně 11 s−1.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze