Sbírka řešených úloh

Neuvěřitelně silný vysavač

Úloha číslo: 990

V televizním reklamním pořadu nabízí neuvěřitelně silný vysavač, jehož síla je demonstrována na čtyřech bowlingových koulích. Každá koule má přitom hmotnost \(7\) \(\mathrm{kg}\) a koule jsou umístěné v krabici o hmotnosti \(1\) \(\mathrm{kg}\). Průměr nástavce o kruhovém průřezu, pomocí kterého je krabice s koulemi zvedána, je \(15\) \(\mathrm{cm}\). Jaký podtlak musí vysavač vyvinout, aby krabici s koulemi udržel? Kolik je to procent z normálního atmosférického tlaku?

• Zápis

  \(m=7\) \(\mathrm{kg}\)	hmotnost koule
  \(m_\mathrm{k}=1\) \(\mathrm{kg}\)	hmotnost krabice
  \(d=15\) \(\mathrm{cm}=0{,}15\) \(\mathrm{m}\)	průměr nástavce
  \(n=4\)	počet koulí
  \(p_\mathrm{u}=?\)	podtlak, který je potřeba na udržení krabice s koulemi
  \(k=?\)	procenta podtlaku z normálního atmosférického tlaku

• Nápověda 1

  Rozmyslete si, co krabici na nástavci drží, proč nespadne a také, co se rozumí podtlakem, který máte spočítat.

  Připomeňte si, jak je definován tlak.

• Řešení nápovědy 1

  Vysavač sníží tlak vzduchu v krabici s koulemi. Tlak vzduchu v okolí krabice je tedy vyšší než tlak zbylého vzduchu v krabici. Okolní vzduch přitlačuje krabici zespodu k nástavci, a proto nespadne. Zároveň okolní vzduch stlačuje krabici ze stran. Díky tomu, že je krabice zevnitř „vyztužena“ koulemi, tak ji vzduch nepromáčkne.

  Podtlak, který máme spočítat, je tedy potřebný rozdíl tlaku vzduchu vně a uvnitř krabice.

  Tlak je definován vztahem: \[p=\frac{F}{S},\tag{1}\] kde \(F\) je velikost tlakové síly, která působí kolmo na rovinnou plochu, a \(S\) je obsah této plochy.

• Nápověda 2

  O kolik větší musí být tlaková síla, kterou působí vzduch zespodu na dno krabice, oproti tlakové síle, kterou tlačí na dno zbylý vzduch v krabici?

• Řešení nápovědy 2

  Tlaková síla odspodu musí být větší o tíhu krabice s koulemi, tedy: \[F=m_\mathrm{c}g,\] kde \(m_\mathrm{c}\) je hmotnost koulí s krabicí a \(g\) je tíhové zrychlení. Pro \(m_\mathrm{c}\) bude platit: \[m_\mathrm{c}=nm+m_\mathrm{k}.\] Do vzorce pro sílu dosadíme za \(m_\mathrm{c}\): \[F=\left(nm+m_\mathrm{k}\right)g.\tag{2}\]

• Nápověda 3

  Abyste mohli spočítat potřebný rozdíl tlaků uvnitř a vně krabice, potřebujete ještě znát plošný obsah dna krabice. Jak ho můžete vypočítat, znáte-li průměr dna?

• Řešení nápovědy 3

  Obsah kruhu \(S\) je definován jako součin konstanty \(\pi\) a druhé mocniny poloměru kruhu \(r\). Průměr kruhu \(d\) je dvojnásobek poloměru. Bude tedy platit: \[S=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2.\] Umocníme čitatel a jmenovatel v závorce a dostaneme: \[S=\pi\frac{d^2}{4}.\tag{3}\]

• Nápověda 4

  Znáte již potřebný rozdíl tlakových sil vzduchu na dno krabice s koulemi odspodu a odshora a také jeho plošný obsah. Potřebný rozdíl tlaků již snadno vyjádříte.

• Řešení nápovědy 4

  S využitím vztahu (1) můžeme psát: \(\Delta p=p_\mathrm{u}=\frac{F}{S}\)

  Dosadíme ze vztahů (2) a (3): \[\Delta p = p_\mathrm{u}=\frac{\left(nm+m_\mathrm{k}\right)g}{\pi\frac{d^2}{4}}=\frac{4\left(nm+m_\mathrm{k}\right)g}{\pi d^2}.\tag{4}\]

• Nápověda 5

  Dopočítejte číselně podtlak \(p_\mathrm{u}\) dle (4).

• Řešení nápovědy 5

  Číselně dopočítáme podtlak:

  \[p_\mathrm{u}=\frac{4\left(4{\cdot}7+1\right)9{,}81}{3{,}14{\cdot} 0{,}15^2}  \mathrm{Pa}  \dot= 16107 \mathrm{Pa}  \dot= 16{,}1 \mathrm{kPa}.\]

• Nápověda 6

  Dopočítejte ještě, kolik je \(16{,}1 \mathrm{kPa}\) procent z normálního atmosférického tlaku. Můžete použít např. trojčlenku.

• Řešení nápovědy 6

  Sestavíme trojčlenku:

  \(p_\mathrm{a}.....100\) %

  \(p_\mathrm{u}.....k\) %,

  kde \(p_\mathrm{a}\) je normální atmosférický tlak.

  Jedná se o přímou úměrnost, bude tedy platit:

  \(\frac{p_\mathrm{u}}{p_\mathrm{a}}=\frac{k}{100}\) %.

  Vyjádříme \(k\) tak, že obě strany rovnice vynásobíme 100:

  \(k=\frac{p_\mathrm{u}}{p_\mathrm{a}}{\cdot}100\) %.

   

  Číselné řešení:

  \(p_\mathrm{u} \dot= 16{,}1 \mathrm{kPa}\),  \(p_\mathrm{a} \dot= 101{,}3 \mathrm{kPa}\)

  \(k=\frac{16{,}1}{101{,}3}{\cdot}100\) % \(\dot=\) \(15{,}9\) %.

• Celkové řešení

  Nejprve si rozmyslíme, co krabici na nástavci drží, proč nespadne a také, co se rozumí podtlakem, který máme spočítat.

  Vysavač sníží tlak vzduchu v krabici s koulemi. Tlak vzduchu v okolí krabice je tedy vyšší než tlak zbylého vzduchu v krabici. Okolní vzduch přitlačuje krabici odspodu k nástavci, a proto nespadne. Zároveň okolní vzduch stlačuje krabici ze stran. Díky tomu, že je krabice zevnitř „vyztužena“ koulemi, ji vzduch nepromáčkne.

  Podtlakem, který máme spočítat, je tedy potřebný rozdíl tlaku vzduchu vně a uvnitř krabice.

  Definice tlaku

  Tlak je definován vztahem: \[p=\frac{F}{S},\tag{1}\] kde \(F\) je velikost tlakové síly, která působí kolmo na rovinnou plochu, a \(S\) je obsah této plochy.

   

  Výpočet tlakové síly

  Tlaková síla, kterou působí vzduch odspodu na dno krabice, musí být větší oproti tlakové síle, kterou tlačí na dno zbylý vzduch v krabici, o tíhu krabice s koulemi, tedy: \[F=m_\mathrm{c}g,\] kde \(m_\mathrm{c}\) je hmotnost koulí s krabicí a \(g\) je tíhové zrychlení. Pro \(m_\mathrm{c}\) bude platit: \[m_\mathrm{c}=nm+m_\mathrm{k}.\] Do vzorce pro sílu dosadíme za \(m_\mathrm{c}\): \[F=\left(nm+m_\mathrm{k}\right)g.\tag{2}\]

   

  Výpočet obsahu kruhu

  Abychom mohli spočítat potřebný rozdíl tlaků uvnitř a vně krabice, potřebujeme ještě znát plošný obsah dna krabice. Obsah kruhu \(S\) je definován jako součin konstanty \(\pi\) a druhé mocniny poloměru kruhu \(r\). Průměr kruhu \(d\) je dvojnásobek poloměru. Bude tedy platit: \[S=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2.\] Umocníme čitatel a jmenovatel v závorce a dostaneme: \[S=\pi\frac{d^2}{4}.\tag{3}\]

   

  Výpočet podtlaku

  Potřebný rozdíl tlaků vyjádříme s pomocí vztahu (1) jako: \(\Delta p=p_\mathrm{u}=\frac{F}{S}\).

  Dosadíme ze vztahů (2) a (3): \[\Delta p = p_\mathrm{u}=\frac{\left(nm+m_\mathrm{k}\right)g}{\pi\frac{d^2}{4}}=\frac{4\left(nm+m_\mathrm{k}\right)g}{\pi d^2}.\tag{4}\]

   

  Číselné řešení:

  \[p_\mathrm{u}=\frac{4\left(4{\cdot}7+1\right)9{,}81}{3{,}14{\cdot} 0{,}15^2} \mathrm{Pa}\dot=16107 \mathrm{Pa}\dot=16{,}1 \mathrm{kPa}.\]

   

  Výpočet \(k\)

  Sestavíme trojčlenku:

  \(p_\mathrm{a}.....100\) %

  \(p_\mathrm{u}.....k\) %,

  kde \(p_\mathrm{a}\) je normální atmosférický tlak.

  Jedná se o přímou úměrnost, bude tedy platit:

  \(\frac{p_\mathrm{u}}{p_\mathrm{a}}=\frac{k}{100}\) %.

  Vyjádříme \(k\) tak, že obě strany rovnice vynásobíme 100:

  \(k=\frac{p_\mathrm{u}}{p_\mathrm{a}}{\cdot}100\) %.

   

  Číselné řešení:

  \(p_\mathrm{u} \dot= 16{,}1 \mathrm{kPa}\),  \(p_\mathrm{a} \dot= 101{,}3 \mathrm{kPa}\)

  \(k=\frac{16{,}1}{101{,}3}{\cdot}100\) % \(\dot=\) \(15{,}9\) %.

• Odpověď

  Aby vysavač udržel krabici s koulemi, tak musí vyvinout podtlak \(p_\mathrm{u} \dot= 16{,}1 \mathrm{kPa}\), což je přibližně \(15{,}9\) % z normálního atmosférického tlaku.