Dva cyklisté
Úloha číslo: 102
Cyklista Adam vyšlapal kopec, na vrcholu se otočil a po téže trase se vrátil zpět. Na vrcholu na svém computeru zjistil průměrnou rychlost 16 km·h−1, computer vynuloval a v cíli opět přečetl průměrnou rychlost jízdy z kopce 44 km·h−1 .
Cyklista Bedřich jel stejnou trasu, ale na vrcholu computer nevynuloval. Na vrcholu mu computer ukázal průměrnou rychlost 15 km·h−1 a v cíli průměrnou rychlost 23 km·h−1.
a) Určete průměrnou rychlost celé jízdy cyklisty Adama.
b) Určete průměrnou rychlost jízdy z kopce cyklisty Bedřicha.
c) Určete pro každého cyklistu poměr doby jízdy do kopce a jízdy z kopce.
Poznámka: Průměrnou rychlost užíváme ve smyslu průměrné velikosti rychlosti.
Zápis
v1 = 16 km·h−1 průměrná rychlost Adama na vrcholu v2 = 44 km·h−1 průměrná rychlost jízdy Adama z kopce \(v_1^,\) = 15 km·h−1 průměrná rychlost Bedřicha na vrcholu \(v_\mathrm{p}^,\) = 23 km·h−1 průměrná rychlost celé jízdy Bedřicha vp = ? (km·h−1) průměrná rychlost celé jízdy Adama \(v_2^,\) = ? (km·h−1) průměrná rychlost jízdy Bedřicha z kopce Nápověda 1 pro a): Průměrná rychlost cyklisty Adama
Označte si dráhu, kterou cyklista Adam ujel při jízdě do kopce, a dobu, za kterou tuto dráhu ujel. Totéž udělejte pro jeho jízdu z kopce. Také si označte celkovou dobu jízdy Adama.
Uvědomte si, co je to průměrná rychlost a jaký pro ni platí vztah.
Velikost průměrné rychlosti cyklisty Adama do kopce a z kopce znáte. Budete potřebovat znát i dráhu, kterou ujel?
Nápověda 2 pro b): Průměrná rychlost cyklisty Bedřicha
Označte si dobu, za kterou cyklista Bedřich vyjel na kopec, a dobu, za kterou sjel z kopce. Také si označte jeho celkovou dobu jízdy. Dráhu, kterou Bedřich ujel do kopce nebo z kopce, máte označenou z předchozí nápovědy.
Opět si uvědomte, co je to průměrná rychlost a jaký pro ni platí vztah, a postupujte podobně jako u cyklisty Adama.
Pozn.: Můžete k výpočtu použít výsledek úlohy a)?
Nápověda 3 pro c): Poměr doby jízdy do kopce a z kopce
Dobu jízdy cyklisty Adama do kopce a z kopce máte vyjádřenou v úloze a). Stačí, když zjistíte jejich poměr.
Obdobně pro cyklistu Bedřicha. Pro vyjádření průměrné rychlosti jízdy Bedřicha z kopce použijte výsledek úlohy b).
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Označíme s dráhu uraženou jedním směrem, pro cyklistu Adama t1 dobu jízdy nahoru, t2 dobu jízdy dolů a t celkovou dobu jízdy.
Pro cyklistu Bedřicha označíme analogicky \(t_1^,\) dobu jízdy nahoru, \(t_2^,\) dobu jízdy dolů a t´ celkovou dobu jízdy.
a) průměrná rychlost Adama
Pro průměrnou rychlost platí: \(v_\mathrm{p}\,=\,\frac{s_\mathrm{c}}{t_\mathrm{c}}\), kde
sc …celková uražená dráha
tc …celková doba pohybu
Tedy:
\[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{2s}{t_1+t_2}\,.\tag{1}\]Pro jízdu nahoru platí: \(s \,=\, v_1t_1\), odtud \(t_1 \,=\, \frac{s}{v_1}.\)
Pro jízdu dolů platí: \( s \,=\, v_2t_2 \), odtud \(t_2 \,=\, \frac{s}{v_2}.\)
Dosadíme do (1):
\[ v_\mathrm{p}\,=\,\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}\,=\,\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\,. \]Číselně:
\[ v_\mathrm{p} \,=\, \frac{2{\cdot} 16\cdot 44}{16 + 44}\,\mathrm{km\cdot h^{-1}} \,\dot=\, 23{,}5\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\,. \]b) průměrná rychlost Bedřicha na cestě z kopce
Pro jízdu dolů platí:
\[ s \,=\, v_2^{,}t_2^{,}\,, \] \[ t_2^{,} \,=\, t^{,} - t_1^{,}\,. \]Odtud:
\[ v_2^{,}\,=\,\frac{s}{t^{,}-t_1^{,}}\,. \tag{2}\]Pro jízdu nahoru platí:
\[ s \,=\, v_1^{,}t_1^{,}\,, \] \[ t_1^{,} \,=\, \frac{s}{v_1^{,}}\,. \]Pro průměrnou rychlost platí:
\[ v_p^{,} \,=\, \frac{2s}{t^{,}}\,, \] \[ t^{,} \,=\, \frac{2s}{v_p^{,}}\,. \]Dosadíme do (2):
\[ v_2^{,}\,=\, \frac{s}{\frac{2s}{v_p^{,}}-\frac{s}{v_1^{,}}}\,=\,\frac{v_1^{,}v_p^{,}}{2v_1^{,}-v_p^{,}}\,. \]Číselně:
\[ v_2^{,}\,=\, \frac{15{\cdot} 23}{2{\cdot} 15 - 23}\,\mathrm{km \cdot h^{-1}} \dot= \,49{,}3\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}\,. \]Jiná možnost řešení by byla použít výsledek úlohy a), z něj vyjádřit v2 a všechny rychlosti „opatřit čárkou“.
c) poměr doby jízdy do kopce a z kopce
Použijeme označení z předchozích úloh.
Pro cyklistu Adama platí:
\[ \frac{t_1}{t_2}\,=\,\frac{\frac{s}{v_1}}{\frac{s}{v_2}}\,=\,\frac{v_2}{v_1}\,. \]Číselně:
\[ \frac{t_1}{t_2}\,=\, \frac{44}{16} \,\dot=\, 2{,}8\,. \]Analogicky pro cyklistu Bredřicha platí:
\[ \frac{t_1^{,}}{t_2^{,}}\,=\,\frac{v_2^{,}}{v_1^{,}}\,. \]Dosazením výsledku úlohy b) dostaneme:
\[ \frac{t_1^{,}}{t_2^{,}}\,=\,\frac{v_p^{,}}{2v_1^{,}-v_p^{,}}\,. \]Číselně:
\[ \frac{t_1^{,}}{t_2^{,}} \,=\, \frac{23}{2{\cdot}15\ - 23} \dot= \,3{,}3\,. \]Odpověď
a) Průměrná rychlost vp celé jízdy Adama je:
\[ v_\mathrm{p} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\,. \]Číselně:
\[ v_\mathrm{p}\dot=\,23{,}5\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}\,. \]b) Průměrná rychlost \(v_2^,\) jízdy z kopce cyklisty Bedřicha je:
\[ v_2^{,} = \frac{v_1^{,}v_p^{,}}{2v_1^{,}-v_p^{,}}\,. \]Číselně:
\[ v_2^{,}\dot=\,49{,}3\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\,. \]c) Poměr doby jízdy cyklisty Adama do kopce a z kopce je:
\[ \frac{t_1}{t_2} = \frac{v_2}{v_1}\,.\]Číselně:
\[ \frac{t_1}{t_2}\dot=\,2{,}8\,. \]c) Poměr doby jízdy cyklisty Bedřicha do kopce a z kopce je:
\[ \frac{t_1^{,}}{t_2^{,}}=\frac{v_p^{,}}{2v_1^{,}-v_p^{,}}\,. \]Číselně:
\[ \frac{t_1^{,}}{t_2^{,}}\dot=\,3{,}3\,. \]
