Koule - dokonale nepružná srážka

Úloha číslo: 154

Dvě koule o hmotnosti m1m2 se pohybují proti sobě po stejné přímce a srazí se. Srážka je dokonale nepružná, tj. koule po srážce od sebe neodskočí a pohybují se dále společně. Kinetická energie E1 první koule je před srážkou dvacetkrát větší než kinetická energie E2 druhé koule. Je možné, aby se koule po srážce pohybovaly ve směru pohybu koule s menší kinetickou energií? Jaká podmínka pro to musí být splněna?

  • Nápověda 1 - zákon zachování hybnosti

    Při dokonale nepružné srážce platí zákon zachování hybnosti. Nakreslete si obrázek a napište tento zákon pro naši situaci.

  • Nápověda 2 - energie koulí

    Jaká je kinetická energie koulí před srážkou? Vyjádřete si z energií koulí jejich rychlosti.

  • Odpověď

    Společný pohyb nastane ve směru koule s menší energií, pokud bude hmotnost této koule alespoň dvacetkrát větší než hmotnost koule s větší energií.

  • Celkové řešení

    Koule před srážkou
    Koule po srážce

    m1…hmotnost první koule

    m2…hmotnost druhé koule

    v1…počátečná rychlost první koule

    v2…počátečná rychlost druhé koule

    v…výsledná rychlost obou koulí

    E1…kinetická energie první koule

    E2…kinetická energie druhé koule

    Zákon zachování hybnosti (ZZH):

    Součet hybností těles v izolované soustavě je konstantní, nebo-li celková hybnost izolované soustavy se zachovává.

    \[\mathrm{ZZH:} \qquad \vec{p_1}+\vec {p_2}\,=\,\vec{p}\]

    \(\vec{p}\)…celková hybnost soustavy

    \(\vec{p_1}\)…hybnost koule o hmotnosti m1

    \(\vec{p_2}\)…hybnost koule o hmotnosti m2

    \[m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}\,=\,\left(m_1+m_2\right)\vec{v}\]

    Protože se koule pohybují po přímce můžeme rovnici napsat skalárně, osu x orientujeme ve směru pohybu koule m2:

    \[-m_1v_1+m_2v_2\,=\,\left(m_1+m_2\right)v.\]

    Aby se systém pohyboval ve směru koule s menší energií E2, musí platit:

    \[m_2v_2\,>\,m_1v_1.\tag{1}\]

    Kinetická energie koule o hmotnosti m1 je:

    \[E_1\,=\,\frac {1}{2}m_1v_1^2.\]

    Kinetická energie koule o hmotnosti m2 je:

    \[E_2\,=\,\frac {1}{2}m_2v_2^2.\]

    Odsud vyjádříme rychlosti v1, v2:

    \[v_1\,=\,\sqrt {\frac{2E_1}{m_1}},\] \[v_2\,=\,\sqrt {\frac{2E_2}{m_2}}.\]

    Dosadíme do vztahu (1):

    \[m_2\sqrt{\frac{2E_2}{m_2}}\,>\,m_1\sqrt{\frac{2E_1}{m_1}}.\]

    Odtud dostaneme:

    \[\frac{m_2}{m_1}\,>\,\frac{E_1}{E_2}.\]

    Víme, že energie E1 je dvacetkrát větší než energie E2, proto:

    \[\frac{m_2}{m_1}\,>\,20,\] \[m_2\,>\,20m_1.\]

    Odpověď:Společný pohyb nastane ve směru koule s menší energií, pokud bude hmotnost této koule alespoň dvacetkrát větší než hmotnost koule s větší energií.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na řešení problémových situací
Úloha na objevování na základě vlastních úvah
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Renc, Z.: Sbírka řešených úloh z matematiky, fyziky a informatiky. 1.
vyd. Praha, Matfyzpress, 1997.
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Renc, Z.: Sbírka řešených úloh z matematiky, fyziky a informatiky. 1. vyd. Praha, Matfyzpress, 1997.
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze