Cisterna ve tvaru komolého kužele

Úloha číslo: 1002

Otevřená cisterna, která má tvar komolého rotačního kužele s průměrem dolní podstavy 1,2 m a úhlem mezi boční stěnou a svislicí 30°, je naplněna vodou do výšky 3 m. Nad hladinou vody je tlak vzduchu 0,1 MPa. Určete:

Objem a hmotnost vody v cisterně.
Tlak vody u dna cisterny.
Velikost síly, kterou působí voda na dno.
Velikost výsledné síly, kterou působí voda na kuželovou stěnu.

Zápis

d₁ = 1,2 m	průměr dolní podstavy komolého kužele
α = 30°	úhel mezi boční stěnou a svislicí
h = 3 m	výška vody v cisterně
p₁ = 0,1 MPa	tlak vzduchu nad hladinou vody
V = ?	objem vody v cisterně
m = ?	hmotnost vody v cisterně
p = ?	tlak vody u dna cisterny
F = ?	velikost síly, kterou působí voda na dno cisterny
F_s = ?	výsledna síla na kuželovou stěnu

Nápověda 1 (k části a.)
Voda v cisterně má tvar komolého rotačního kužele. Jak se spočítá objem tohoto tělesa?
Řešení nápovědy 1
Pro objem komolého kužele platí:
\[V\,=\,\frac{1}{3}{\pi}h(r_1^2\,+\,r_1r_2\,+\,r_2^2)\,,\tag{1}\]
kde r₁ a r₂ jsou poloměry podstav a h výška komolého kužele.
Nápověda 2 (k části a.)
Které veličiny ve vzorci pro objem komolého rotačního kužele neznáte? Nakreslete si obrázek a vyjádřete je pomocí zadaných veličin (zadaný úhel by vás měl vést k použití nějaké goniometrické funkce). Dosaďte do vztahu pro objem.
Řešení nápovědy 2

Poloměr r₁ snadno dostaneme ze znalosti průměru podstavy d₁:
\[r_1\,=\,\frac{d_1}{2}\,.\tag{2}\]
Poloměr r₂ vyčteme z obrázku:
\[d_2\,=\,d_1\,+\,2x\,.\]
Platí:
\[\tan{\alpha}\,=\,\frac{x}{h}\,.\]
Odtud:
\[x\,=\,h\tan{\alpha}\,.\]
Pak:
\[d_2\,=\,d_1\,+\,2h\tan{\alpha}\,,\] \[r_2\,=\,\frac{d_2}{2}\,=\,\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha}\,.\tag{3}\]
Dosazením (2) a (3) do (1) dostáváme:
\[V\,=\,\frac{1}{3}{\pi}h(\frac{d_1^2}{4}\,+\,\frac{d_1}{2}(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})\,+\,(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})^2)\,\\=\,\frac{1}{12}{\pi}h(3d_1^2\,+\,6hd_1\tan{\alpha}\,+\,4h^2\tan^2{\alpha})\,.\]
Číselně:
\[V\,=\,\frac{3{\pi}}{12}{\cdot}(3{\cdot}1{,}2^2\,+\,6{\cdot}3{\cdot}1{,}2{\cdot}\tan{30}\,+\,4{\cdot}3^2{\cdot}\tan^2{30})\,\mathrm{m}^3\,\\\dot=22{,}6\,\mathrm{m}^3\,.\]
Nápověda 3 (k části a.)
Hmotnost vody dopočítejte pomocí její hustoty.
Řešení nápovědy 3
Hustota je definována jako podíl hmotnosti a objemu dané látky. Z definice vyjádříme hmotnost, dosadíme objem dopočítaný v předcházející části příkladu a číselně dopočítáme:
\[\rho\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,m\,=\,{\rho}V\,=\,1000{\cdot}22{,}6\,\mathrm{kg}\,=\,22{,}6\,\mathrm{t}\,.\]
Nápověda 4 (k části b.)
Jaké „druhy“ tlaku přispívají k celkovému tlaku vody u dna cisterny? Určete je a dosazením zadaných veličin určete výsledný tlak.
Řešení nápovědy 4
Tlak vody u dna cisterny je součtem:
- atmosférického tlaku vzduchu p₁ nad vodní hladinou,
- hydrostatického tlaku p_h způsobeného tíhou vodního sloupce v cisterně.
Tedy:
\[p\,=\,p_1\,+\,p_\mathrm{h}\,.\tag{4}\]
Přitom pro velikost hydrostatického tlaku platí:
\[p_\mathrm{h}\,=\,h{\rho}g\,,\tag{5}\]
kde h je výška vodního sloupce, ρ hustota kapaliny a g tíhové zrychlení.

Dosazením vztahu (5) do vztahu (4) dostáváme:
\[p\,=\,p_1\,+\,h{\rho}g\,.\]
Číselně:
\[p\,=(\,1{\cdot}10^5\,+\,3{\cdot}1000{\cdot}9{,}81)\,\mathrm{Pa}\,\dot=\,1{,}3{\cdot}10^5\,\mathrm{Pa}\,.\]
Nápověda 5 (k části c.)
K výpočtu velikosti síly, kterou působí voda na dno cisterny, použijte definiční vztah pro tlak.
Řešení nápovědy 5
Tlak je definován jako podíl síly působící na danou plochu a obsahu této plochy. V našem případě platí:
\[p\,=\,\frac{F}{S}\,,\]
kde p je celkový tlak vody u dna cisterny, S obsah její dolní podstavy a F neznámá síla. Snadnou úpravou dostáváme:
\[F\,=\,pS\,.\tag{6}\]
Protože dolní podstava má tvar kruhu o poloměru d₁/2, můžeme vztah (6) upravit takto:
\[F\,=\,p{\cdot}{\pi}\frac{d_1^2}{4}\,.\] Číselně: \[F\,\dot=\,1{,}3{\cdot}10^5{\cdot}{\pi}{\cdot}\frac{1{,}2^2}{4}\,\mathrm{N}\,\dot=\,1{,}47{\cdot}10^5\,\mathrm{N}\,.\]
Nápověda 6 (k části d.)
Uvažte, jaké síly na kapalinu v nádobě působí. Jaká musí být jejich výslednice? Vyjádřete odtud velikost síly, kterou působí nádoba na vodu uvnitř.
Řešení nápovědy 6
Na celý objem vody působí tyto síly:
- tlaková síla F₁ směrem svisle dolů (tato síla je způsobená vnějším tlakem vzduchu p₁),
- tíhová síla F_G směrem svisle dolů,
- tlaková síla F_n, kterou působí nádoba.
Voda je jako celek v klidu (neuvažujeme vnitřní strukturu kapaliny a zanedbáváme tak například difuzi jejích částic), výslednice těchto sil musí být nulová. Síla F_n tedy musí působit svisle vzhůru a její velikost musí být rovna součtu tlakové síly F₁ a tíhové síly:
\[F_\mathrm{n}\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_1\,.\tag{7}\]
Nápověda 7 (k části d.)
Chceme určit sílu, kterou působí voda na kuželovou stěnu. Už víte, že podle zákona akce a reakce můžeme namísto ní určit sílu, kterou působí naopak kuželová stěna na vodu – dostaneme také správný výsledek, tyto síly jsou co do velikosti stejné.

Budeme tedy určovat velikost výsledné síly F_s, kterou působí stěna nádoby na vodu. V části c jsme již určili velikost síly F, kterou působí dno na vodu (resp. voda na dno). Jak síly F_s a F souvisí se silou F_n?
Řešení nápovědy 7
Nádoba působí na vodu svými stěnami a svým dnem. Dno tlačí kolmo vzhůru silou velikosti F. Stěna tlačí na vodu v každém bodě kolmo k povrchu. Vodorovné složky sil se vyruší, svislé se posčítají ve výslednici F_s (viz obrázek). Celkové působení nádoby lze tedy vyjádřit jako součet sil F a F_s:
\[F_\mathrm{n}\,=\,F\,+\,F_\mathrm{s}\,.\tag{8}\]
Nápověda 8 (k části d.)
Spojením úvah a vztahů (7) a (8) vyjádřete sílu F_s, kterou působí kuželová stěna nádoby na vodu (tj. také voda na kuželovou stěnu). Za jednotlivé síly dosaďte ze známých vztahů a číselně dopočítejte sílu F_s.
Řešení nápovědy 8
Spojením vztahů (7) a (8) – nebo přirozenou úvahou – dostáváme:
\[F\,+\,F_\mathrm{s}\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_1\,\Rightarrow\,F_\mathrm{s}\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_1\,-\,F\,.\]
Za tíhovou sílu F_G a tlakovou sílu F₁ dosadíme:
\[F_\mathrm{s}\,=\,mg\,+\,p_1S_2\,-\,F\,,\tag{9}\]
kde m je hmotnost vody v cisterně, g tíhové zrychlení, p₁ tlak vzduchu nad hladinou vody a S₂ obsah plochy vymezené vodní hladinou (tj. horní podstavy komolého kužele). Tento obsah určíme jako obsah kruhu o poloměru r₂, který je vyjádřen vztahem (3). Pak lze vztah (9) upravit následovně:
\[F_\mathrm{s}\,=\,mg\,+\,p_1{\pi}{(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})}^2\,-\,F\,.\]
Číselně:
\[F_\mathrm{s}\,\dot=\,(22600{\cdot}9{,}81\,+\,1{\cdot}10^5{\pi}{(\frac{1{,}2}{2}\,+\,3\tan{30^{\circ}})}^2\,-\,1{,}47{\cdot}10^5)\,\mathrm{N}\\\dot=\,1780\,\mathrm{kN}\,.\]
Celkové řešení
Část a:

Pro objem komolého kužele platí:
\[V\,=\,\frac{1}{3}{\pi}h(r_1^2\,+\,r_1r_2\,+\,r_2^2)\,,\tag{1}\]
kde r₁ a r₂ jsou poloměry podstav a h výška komolého kužele.

Poloměr r₁ snadno dostaneme ze znalosti průměru podstavy d₁:
\[r_1\,=\,\frac{d_1}{2}\,.\tag{2}\]
Poloměr r₂ vyčteme z obrázku:
\[d_2\,=\,d_1\,+\,2x\,.\]
Platí:
\[\tan{\alpha}\,=\,\frac{x}{h}\,.\]
Odtud:
\[x\,=\,h\tan{\alpha}\,.\]
Pak:
\[d_2\,=\,d_1\,+\,2h\tan{\alpha}\,,\] \[r_2\,=\,\frac{d_2}{2}\,=\,\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha}\,.\tag{3}\]
Dosazením (2) a (3) do (1) dostáváme:
\[V\,=\,\frac{1}{3}{\pi}h(\frac{d_1^2}{4}\,+\,\frac{d_1}{2}(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})\,+\,(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})^2)\,\\=\,\frac{1}{12}{\pi}h(3d_1^2\,+\,6hd_1\tan{\alpha}\,+\,4h^2\tan^2{\alpha})\,.\]
Číselně:
\[V\,=\,\frac{3{\pi}}{12}{\cdot}(3{\cdot}1{,}2^2\,+\,6{\cdot}3{\cdot}1{,}2{\cdot}\tan{30}\,+\,4{\cdot}3^2{\cdot}\tan^2{30})\,\mathrm{m}^3\,\\\dot=22{,}6\,\mathrm{m}^3\,.\]
Hmotnost vody určíme pomocí její hustoty, která je definována jako podíl hmotnosti a objemu dané látky. Z definice vyjádříme hmotnost, dosadíme objem dopočítaný v předcházející části příkladu a číselně dopočítáme:
\[\rho\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,m\,=\,{\rho}V\,=\,1000{\cdot}22{,}6\,\mathrm{kg}\,=\,22{,}6\,\mathrm{t}\,.\]

Část b:

Tlak vody u dna cisterny je součtem:
- atmosférického tlaku vzduchu p₁ nad vodní hladinou,
- hydrostatického tlaku p_h způsobeného tíhou vodního sloupce v cisterně.
Tedy:
\[p\,=\,p_1\,+\,p_\mathrm{h}\,.\tag{4}\]
Přitom pro velikost hydrostatického tlaku platí:
\[p_\mathrm{h}\,=\,h{\rho}g\,,\tag{5}\]
kde h je výška vodního sloupce, ρ hustota kapaliny a g tíhové zrychlení.

Dosazením vztahu (5) do vztahu (4) dostáváme:
\[p\,=\,p_1\,+\,h{\rho}g\,.\]
Číselně:
\[p\,=(\,1{\cdot}10^5\,+\,3{\cdot}1000{\cdot}9{,}81)\,\mathrm{Pa}\,\dot=\,1{,}3{\cdot}10^5\,\mathrm{Pa}\,.\]

Část c:

Tlak je definován jako podíl síly působící na danou plochu a obsahu této plochy. V našem případě platí:
\[p\,=\,\frac{F}{S}\,,\]
kde p je celkový tlak vody u dna cisterny, S obsah její dolní podstavy a F neznámá síla. Snadnou úpravou dostáváme:
\[F\,=\,pS\,.\tag{6}\]
Protože dolní podstava má tvar kruhu o poloměru d₁/2, můžeme vztah (6) upravit takto:
\[F\,=\,p{\cdot}{\pi}\frac{d_1^2}{4}\,.\] Číselně: \[F\,\dot=\,1{,}3{\cdot}10^5{\cdot}{\pi}{\cdot}\frac{1{,}2^2}{4}\,\mathrm{N}\,\dot=\,1{,}47{\cdot}10^5\,\mathrm{N}\,.\]

Část d:

Vyjdeme z toho, že na celý objem vody působí tyto síly:
- tlaková síla F₁ směrem svisle dolů (tato síla je způsobená vnějším tlakem vzduchu p₁),
- tíhová síla F_G směrem svisle dolů,
- tlaková síla F_n, kterou působí nádoba.
Voda je jako celek v klidu (neuvažujeme vnitřní strukturu kapaliny a zanedbáváme tak například difuzi jejích částic), výslednice těchto sil musí být nulová. Síla F_n tedy musí působit svisle vzhůru a její velikost musí být rovna součtu tlakové síly F₁ a tíhové síly:
\[F_\mathrm{n}\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_1\,.\tag{7}\]
Nádoba působí na vodu svými stěnami a svým dnem. Dno tlačí kolmo vzhůru silou velikosti F. Stěna tlačí na vodu v každém bodě kolmo k povrchu. Vodorovné složky sil se vyruší, svislé se posčítají ve výslednici F_s:

Celkové působení nádoby lze tedy vyjádřit jako součet sil F a F_s:
\[F_\mathrm{n}\,=\,F\,+\,F_\mathrm{s} \,.\tag{8}\]
V tomto vztahu F značí velikost síly, kterou působí voda na dno nádoby (a tedy i dno nádoby na vodu) – tuto sílu jsme již vypočítali v části c; F_s pak značí velikost hledané výsledné síly, kterou voda působí na stěnu nádoby.

Spojením vztahů (7) a (8) – nebo přirozenou úvahou – dostáváme:
\[F\,+\,F_\mathrm{s}\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_1\,\Rightarrow\,F_\mathrm{s}\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_1\,-\,F\,.\]
Za tíhovou sílu F_G a tlakovou sílu F₁ dosadíme:
\[F_\mathrm{s}\,=\,mg\,+\,p_1S_2\,-\,F\,,\tag{9}\]
kde m je hmotnost vody v cisterně, g tíhové zrychlení, p₁ tlak vzduchu nad hladinou vody a S₂ obsah plochy vymezené vodní hladinou (tj. horní podstavy komolého kužele). Tento obsah určíme jako obsah kruhu o poloměru r₂, který je vyjádřen vztahem (3). Pak lze vztah (9) upravit následovně:
\[F_\mathrm{s}\,=\,mg\,+\,p_1{\pi}{(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})}^2\,-\,F\,.\]
Číselně:
\[F_\mathrm{s}\,\dot=\,(22600{\cdot}9{,}81\,+\,1{\cdot}10^5{\pi}{(\frac{1{,}2}{2}\,+\,3\tan{30^{\circ}})}^2\,-\,1{,}47{\cdot}10^5)\,\mathrm{N}\\\dot=\,1780\,\mathrm{kN}\,.\]
Odpověď
1. Objem vody v cisterně je 22,6 m³, hmotnost této vody je 22,6 t.
2. Tlak vody u dna cisterny je přibližně 130 kPa.
3. Tlaková síla působící na dno cisterny má velikost přibližně 147 kN.
4. Výsledná tlaková síla působící na kuželovou stěnu nádoby má velikost přibližně 1780 kN.