Cisterna ve tvaru komolého kužele

Úloha číslo: 1002

Otevřená cisterna, která má tvar komolého rotačního kužele s průměrem dolní podstavy 1,2 m a úhlem mezi boční stěnou a svislicí 30°, je naplněna vodou do výšky 3 m. Nad hladinou vody je tlak vzduchu 0,1 MPa. Určete:

  1. Objem a hmotnost vody v cisterně.
  2. Tlak vody u dna cisterny.
  3. Velikost síly, kterou působí voda na dno.
  4. Velikost výsledné síly, kterou působí voda na kuželovou stěnu.
  • Zápis

    d1 = 1,2 m průměr dolní podstavy komolého kužele
    α = 30° úhel mezi boční stěnou a svislicí
    h = 3 m výška vody v cisterně
    p1 = 0,1 MPa tlak vzduchu nad hladinou vody
    V = ? objem vody v cisterně
    m = ? hmotnost vody v cisterně
    p = ? tlak vody u dna cisterny
    F = ? velikost síly, kterou působí voda na dno cisterny
    Fs = ? výsledna síla na kuželovou stěnu
  • Nápověda 1 (k části a.)

    Voda v cisterně má tvar komolého rotačního kužele. Jak se spočítá objem tohoto tělesa?

  • Nápověda 2 (k části a.)

    Které veličiny ve vzorci pro objem komolého rotačního kužele neznáte? Nakreslete si obrázek a vyjádřete je pomocí zadaných veličin (zadaný úhel by vás měl vést k použití nějaké goniometrické funkce). Dosaďte do vztahu pro objem.

  • Nápověda 3 (k části a.)

    Hmotnost vody dopočítejte pomocí její hustoty.

  • Nápověda 4 (k části b.)

    Jaké „druhy“ tlaku přispívají k celkovému tlaku vody u dna cisterny? Určete je a dosazením zadaných veličin určete výsledný tlak.

  • Nápověda 5 (k části c.)

    K výpočtu velikosti síly, kterou působí voda na dno cisterny, použijte definiční vztah pro tlak.

  • Nápověda 6 (k části d.)

    Uvažte, jaké síly na kapalinu v nádobě působí. Jaká musí být jejich výslednice? Vyjádřete odtud velikost síly, kterou působí nádoba na vodu uvnitř.

  • Nápověda 7 (k části d.)

    Chceme určit sílu, kterou působí voda na kuželovou stěnu. Už víte, že podle zákona akce a reakce můžeme namísto ní určit sílu, kterou působí naopak kuželová stěna na vodu - dostaneme také správný výsledek, tyto síly jsou co do velikosti stejné.

    Budeme tedy určovat velikost výsledné síly Fs, kterou působí stěna nádoby na vodu. V části c jsme již určili velikost síly F, kterou působí dno na vodu (resp. voda na dno). Jak síly FsF souvisí se silou Fn?

  • Nápověda 8 (k části d.)

    Spojením úvah a vztahů (7) a (8) vyjádřete sílu Fs, kterou působí kuželová stěna nádoby na vodu (tj. také voda na kuželovou stěnu). Za jednotlivé síly dosaďte ze známých vztahů a číselně dopočítejte sílu Fs.

  • Celkové řešení

    Řez cisternou ve tvaru komolého kužele

    Část a:

    Pro objem komolého kužele platí:

    \[V\,=\,\frac{1}{3}{\pi}h(r_1^2\,+\,r_1r_2\,+\,r_2^2)\,,\tag{1}\]

    kde r1r2 jsou poloměry podstav a h výška komolého kužele.

    Poloměr r1 snadno dostaneme ze znalosti průměru podstavy d1:

    \[r_1\,=\,\frac{d_1}{2}\,.\tag{2}\]

    Poloměr r2 vyčteme z obrázku :

    \[d_2\,=\,d_1\,+\,2x\,.\]

    Platí:

    \[\tan{\alpha}\,=\,\frac{x}{h}\,.\]

    Odtud:

    \[x\,=\,h\tan{\alpha}\,.\]

    Pak:

    \[d_2\,=\,d_1\,+\,2h\tan{\alpha}\,,\] \[r_2\,=\,\frac{d_2}{2}\,=\,\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha}\,.\tag{3}\]

    Dosazením (2) a (3) do (1) dostáváme:

    \[V\,=\,\frac{1}{3}{\pi}h(\frac{d_1^2}{4}\,+\,\frac{d_1}{2}(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})\,+\,(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})^2)\,\\=\,\frac{1}{12}{\pi}h(3d_1^2\,+\,6hd_1\tan{\alpha}\,+\,4h^2\tan^2{\alpha})\,.\]

    Číselně:

    \[V\,=\,\frac{3{\pi}}{12}{\cdot}(3{\cdot}1{,}2^2\,+\,6{\cdot}3{\cdot}1{,}2{\cdot}\tan{30}\,+\,4{\cdot}3^2{\cdot}\tan^2{30})\,\mathrm{m}^3\,\\\dot=22{,}6\,\mathrm{m}^3\,.\]

    Hmotnost vody určíme pomocí její hustoty, která je definována jako podíl hmotnosti a objemu dané látky. Z definice vyjádříme hmotnost, dosadíme objem dopočítaný v předcházející části příkladu a číselně dopočítáme:

    \[\rho\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,m\,=\,{\rho}V\,=\,1000{\cdot}22{,}6\,\mathrm{kg}\,=\,22{,}6\,\mathrm{t}\,.\]

    Část b:

    Tlak vody u dna cisterny je součtem:

    • atmosférického tlaku vzduchu p1 nad vodní hladinou,
    • hydrostatického tlaku ph způsobeného tíhou vodního sloupce v cisterně.

    Tedy:

    \[p\,=\,p_1\,+\,p_h\,.\tag{4}\]

    Přitom pro velikost hydrostatického tlaku platí:

    \[p_h\,=\,h{\rho}g\,,\tag{5}\]

    kde h je výška vodního sloupce, ρ hustota kapaliny a g tíhové zrychlení.

    Dosazením vztahu (5) do vztahu (4) dostáváme:

    \[p\,=\,p_1\,+\,h{\rho}g\,.\]

    Číselně:

    \[p\,=(\,1{\cdot}10^5\,+\,3{\cdot}1000{\cdot}9{,}81)\,\mathrm{Pa}\,\dot=\,1{,}3{\cdot}10^5\,\mathrm{Pa}\,.\]

    Část c:

    Tlak je definován jako podíl síly působící na danou plochu a obsahu této plochy. V našem případě platí:

    \[p\,=\,\frac{F}{S}\,,\]

    kde p je celkový tlak vody u dna cisterny, S obsah její dolní podstavy a F neznámá síla. Snadnou úpravou dostáváme:

    \[F\,=\,pS\,.\tag{6}\]

    Protože dolní podstava má tvar kruhu o poloměru d1/2, můžeme vztah (6) upravit takto:

    \[F\,=\,p{\cdot}{\pi}\frac{d_1^2}{4}\,.\] Číselně: \[F\,\dot=\,1{,}3{\cdot}10^5{\cdot}{\pi}{\cdot}\frac{1{,}2^2}{4}\,\mathrm{N}\,\dot=\,1{,}47{\cdot}10^5\,\mathrm{N}\,.\]

    Část d:

    Vyjdeme z toho, že na celý objem vody působí tyto síly:

    • tlaková síla F1 směrem svisle dolů (tato síla je způsobená vnějším tlakem vzduchu p1),
    • tíhová síla FG směrem svisle dolů,
    • tlaková síla Fn, kterou působí nádoba.

    Voda je jako celek v klidu (neuvažujeme vnitřní strukturu kapaliny a zanedbáváme tak například difuzi jejích částic), výslednice těchto sil musí být nulová. Síla Fn tedy musí působit svisle vzhůru a její velikost musí být rovna součtu tlakové síly F1 a tíhové síly:

    \[F_n\,=\,F_G\,+\,F_1\,.\tag{7}\]

    Nádoba působí na vodu svými stěnami a svým dnem. Dno tlačí kolmo vzhůru silou velikosti F. Stěna tlačí na vodu v každém bodě kolmo k povrchu. Vodorovné složky sil se vyruší, svislé se posčítají ve výslednici Fs:

    Rozklad síly, kterou působí šikmá stěna nádoby na kapalinu, na vodorovnou a svislou složku
    Celkové působení nádoby lze tedy vyjádřit jako součet sil F a Fs:

    \[F_n\,=\,F\,+\,F_s \,.\tag{8}\]

    V tomto vztahu F značí velikost síly, kterou působí voda na dno nádoby (a tedy i dno nádoby na vodu) - tuto sílu jsme již vypočítali v části c; Fs pak značí velikost hledané výsledné síly, kterou voda působí na stěnu nádoby.

    Spojením vztahů (7) a (8) - nebo přirozenou úvahou - dostáváme:

    \[F\,+\,F_s\,=\,F_G\,+\,F_1\,\Rightarrow\,F_s\,=\,F_G\,+\,F_1\,-\,F\,.\]

    Za tíhovou sílu FG a tlakovou sílu F1 dosadíme:

    \[F_s\,=\,mg\,+\,p_1S_2\,-\,F\,,\tag{9}\]

    kde m je hmotnost vody v cisterně, g tíhové zrychlení, p1 tlak vzduchu nad hladinou vody a S2 obsah plochy vymezené vodní hladinou (tj. horní podstavy komolého kužele). Tento obsah určíme jako obsah kruhu o poloměru r2, který je vyjádřen vztahem (3). Pak lze vztah (9) upravit následovně:

    \[F_s\,=\,mg\,+\,p_1{\pi}{(\frac{d_1}{2}\,+\,h\tan{\alpha})}^2\,-\,F\,.\]

    Číselně:

    \[F_s\,\dot=\,(22600{\cdot}9{,}81\,+\,1{\cdot}10^5{\pi}{(\frac{1{,}2}{2}\,+\,3\tan{30^{\circ}})}^2\,-\,1{,}47{\cdot}10^5)\,\mathrm{N}\\\dot=\,1780\,\mathrm{kN}\,.\]
  • Odpověď

    1. Objem vody v cisterně je 22,6 m3, hmotnost této vody je 22,6 t.
    2. Tlak vody u dna cisterny je přibližně 130 kPa.
    3. Tlaková síla působící na dno cisterny má velikost přibližně 147 kN.
    4. Výsledná tlaková síla působící na kuželovou stěnu nádoby má velikost přibližně 1780 kN.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ
sdělovací techniky Praha
×Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ sdělovací techniky Praha
Zaslat komentář k úloze