Těžiště drátu ve tvaru půlkruhu

Úloha číslo: 1116

Určete polohu těžiště tenkého homogenního drátu hmotnosti m ohnutého do tvaru půlkruhu o poloměru R.

  • Nápověda 1

    Zamyslete se nad tím, co vlastně znamená úkol „určete polohu těžiště“. Co má být výstupem úlohy, co vlastně určujete?

  • Nápověda 2

    Nakreslete si příslušný půlkruh do souřadného systému. Lze jej tam umístit tak, aby se další výpočty zjednodušily? (Nebo ještě jinak - musíme opravdu počítat x-ovou, y-ovou i z-ovou souřadnici? Nelze zvolit souřadný systém tak, aby některé souřadnice byly zřejmé?)

  • Nápověda 3

    Jak je obecně definován vztah pro výpočet polohového vektoru rT, který určuje polohu těžiště?

  • Nápověda 4

    Drát je podle zadání úlohy homogenní. Využijte toho k tomu, abyste od hmotnostních elementů ve vztahu (1) přešli k elementům délkovým.

  • Nápověda 5

    Jak se změní vztah (2), pokud se budeme (dle počáteční úvahy) zabývat pouze y-ovou souřadnicí těžiště yT?

  • Nápověda 6

    Počítat dále dle vztahu (3) je v kartézských souřadnicích velmi nepohodlné. Vyznačte si do obrázku krátký délkový element dl, jemu odpovídající souřadnici y a úhel φ odečítaný od osy x proti směru hodinových ručiček. Vyjádřete kartézskou souřadnici y pomocí poloměru půlkruhu R a úhlu φ. Také délkový element dl zapište pomocí jemu odpovídajícímu úhlu a poloměru R (pomozte si obrázkem).

  • Nápověda 7

    V integrálu (6) doplňte příslušné integrační meze a dopočítejte souřadnici těžiště.

  • Celkové řešení

    Určit polohu těžiště znamená určit souřadnice těžiště v nějakém vhodně zvoleném souřadném systému. Výstupem jsou tedy tři souřadnice těžiště T: xT, yT, zT.

    Vhodným zvolením souřadného systému můžeme docílit toho, že některé souřadnice těžiště získáme bez výpočtů. Takové zvolení souřadného systému (ve kterém bude další výpočet probíhat), může vypadat například takto:

    Představte si, že položíme půlkruhový drát na vodorovný stůl. Při pohledu shora vidíme vpodstatě půlkružnici (obr. 1).

    Obrázek 1

    Osu z zvolíme svisle vzhůru (v obrázku tedy míří ven z obrazovky).

    Osu y zvolíme tak, aby při pohledu shora půlila viděnou půlkružnici na dvě čtvrtkružnice.

    Osa x je pak kolmá na obě osy předchozí.

    Drát (tenký) leží v rovině xy. Souřadnice z těžiště je tedy nulová:

    \[z_T\,=\,0.\]

    Z obrázku je patrné, že také x-ová souřadnice těžiště je nulová:

    \[x_T\,=\,0.\]

    (Objekt je totiž symetrický podle osy y, jeho těžiště tedy musí ležet na této ose.) Zbývá tedy určit y-ovou souřadnici těžiště.

    Polohový vektor rT určující polohu těžiště daného objektu lze určit jako:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dm}{{\int}dm}.\tag{1}\]

    Element hmotnosti dm lze pro homogenní drát rozepsat jako součin:

    \[dm\,=\,{\rho}dl,\]

    kde ρ je délková hustota materiálu a dl je element délky. Pak platí:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{{\rho}\int{\vec{r}}dl}{{\rho}{\int}dl}\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dl}{{\int}dl}.\]

    Výraz ve jmenovateli představuje vysčítání všech délkových elementů, které drát tvoří - dostáváme zde tedy délku drátu l:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dl}{l}.\tag{2}\]

    Protože souřadnice polohového vektoru rT se ve vztazích (1) i (2) počítají po složkách, lze jednoduše pro y-ovou souřadnici psát:

    \[y_T\,=\,\frac{\int{y}dl}{l}.\tag{3}\]
    Obrázek 2

    Přejdeme k jiným proměnným. Z obr. 2 je vidět, že pro konkrétní úhel φ platí:

    \[\sin{\varphi}\,=\frac{y}{R}\,\Rightarrow\,y\,=\,R\sin{\varphi}.\tag{5}\]

    Z obr. 2 je také patrné, že platí:

    \[dl\,=\,Rd\varphi.\tag{4}\]

    Dosazením do vztahu (3) dostáváme:

    \[y_T\,=\,\frac{\int{R\sin{\varphi}Rd\varphi}}{l}.\]

    Doplnit můžeme ještě délku půlkruhu, která je l = πR:

    \[y_T\,=\,\frac{\int{R^2\sin{\varphi}d\varphi}}{{\pi}R}\,=\,\frac{R}{\pi}\int{\sin{\varphi}d{\varphi}}.\tag{6}\]

    Doplníme meze pro úhel φ. Ten se mění od φ = 0 do φ = π.

    \[y_T\,=\,\frac{R}{\pi}\int_0^{\pi}{\sin{\varphi}d{\varphi}}\,=\,\frac{R}{\pi}[-\cos{\varphi}]_0^{\pi}\,=\,\frac{R}{\pi}(1-(-1))\,=\,\frac{2R}{\pi}\]

    Poslední neurčená souřadnice těžiště v námi zvoleném souřadném systému yT = 2R/π, ostatní souřadnice jsou nulové.

  • Odpověď

    Souřadnice těžiště v námi zvoleném souřadném systému jsou:

    \[x_T\,=\,0,\] \[y_T\,=\,\frac{2R}{\pi},\] \[z_T\,=\,0.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze