Pohyb těžiště soustavy hmotných bodů

Úloha číslo: 1131

Je dána soustava tří hmotných bodů o hmotnostech 5 g, 10 g a 15 g. V  čase t0 = 0 s jsou body v klidu v polohách A1 = [10, 4, 6] cm, A2 = [-2, 4, -9] cm, A3 = [0, 0, 0] cm.

Za účinku vnějších sil, jejichž výslednice má velikost 0,06 N a směr i orientaci osy x, se hmotné body začnou pohybovat. Určete polohu těžiště soustavy v čase t1 = 2 s.

  • Zápis

    m1 = 5 g hmotnost 1. hmotného bodu
    m2 = 10 g hmotnost 2. hmotného bodu
    m3 = 15 g hmotnost 3. hmotného bodu
    A1 = [10, 4, 6] cm počáteční poloha 1. hmot. bodu
    A2 = [-2, 4, -9] cm počáteční poloha 2. hmot. bodu
    A3 = [0, 0, 0] cm počáteční poloha 3. hmot. bodu
    t0 = 0 s počáteční čas
    v0 = 0 m·s−1 počáteční rychlost hmotných bodů
    t1 = 2 s koncový čas
    F = 0,06 N výslednice vnějších sil se směrem i orientací osy x
    rT(t1 ) = ? poloha těžiště v čase t1
  • Rozbor

    Při řešení úlohy nejdříve určíme počáteční polohu těžiště soustavy hmotných bodů T0. Pro další výpočty se veškerá hmotnost soustavy koncentruje v tomto bodě a budou-li nás zajímat pohybové účinky vnější síly na soustavu, stačí zkoumat její pohybové účinky na těžiště T0.

  • Nápověda 1

    Abychom mohli určit výslednou polohu těžiště T1 po 2 sekundách pohybu, potřebujeme znát nejdříve jeho počáteční polohu T0. Znáte vztah, kterým lze určit polohu těžiště soustavy hmotných bodů? Použijte ho.

  • Nápověda 2

    Nyní soustavu uvedeme působením konstantní síly velikosti  F do pohybu ve směru osy x. Budou se při tomto pohybu měnit všechny souřadnice těžiště T0?

  • Nápověda 3

    Pohyb celé soustavy (tedy i jejího těžiště) je realizován působením konstantní síly F. O jaký druh pohybu jde (z hlediska průběhu rychlosti)? Pomůže vám 2. Newtonův zákon.

  • Nápověda 4

    Přírůstek x-ové souřadnice těžiště určete jako dráhu, kterou těžiště urazí při tomto druhu pohybu. Dosaďte číselné hodnoty a dopočítejte koncovou polohu těžiště.

  • Celkové řešení

    Na úvod určíme počáteční souřadnice těžiště soustavy. Vztah pro polohu těžiště soustavy n hmotných bodů vypadá následovně:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_i\vec{r}_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\]

    kde mi jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a ri jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice těžiště lze počítat po složkách, platí pro jednotlivé složky:

    \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\tag{1}\] \[y_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_iy_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\tag{2}\] \[z_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_iz_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}}.\tag{3}\]

    V případě naší soustavy dosadíme do vztahů (1) až (3) hmotnosti a souřadnice bodů A1 až A3 a vypočítáme počáteční polohu těžiště T0:

    \[x_{T_0}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^3{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^3{m_i}}\,=\,\frac{5{\cdot}10\,+\,10{\cdot}(-2)\,+\,15{\cdot}0}{5\,+\,10\,+\,15}\,\mathrm{cm}\,=\,1\,\mathrm{cm},\] \[y_{T_0}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^3{m_iy_i}}{\sum_{i=1}^3{m_i}}=\,\frac{5{\cdot}4\,+\,10{\cdot}4\,+\,15{\cdot}0}{5\,+\,10\,+\,15}\,\mathrm{cm}\,=\,2\,\mathrm{cm},\] \[z_{T_0}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^3{m_iz_i}}{\sum_{i=1}^3{m_i}}=\,\frac{5{\cdot}6\,+\,10{\cdot}(-9)\,+\,15{\cdot}0}{5\,+\,10\,+\,15}\,\mathrm{cm}\,=\,-2\,\mathrm{cm}.\]

    Počáteční poloha těžiště soustavy je tedy T0 =  [1, 2, -2]  cm.

    Pohyb soustavy ve směru osy x mění pouze x-ové souřadnice hmotných bodů, tedy pouze x-ovou souřadnici těžiště. Počáteční souřadnice yT0zT0 se během pohybu nezmění a pro koncové souřadnice těžiště T1 bude tedy platit:

    \[y_{T_1}\,=\,y_{T_0}\,=\,2\,\mathrm{cm},\] \[z_{T_1}\,=\,z_{T_0}\,=\,-2\,\mathrm{cm}.\]

    Zbývá tedy určit koncovou souřadnici těžiště xT1.

    Podle 2. Newtonova zákona pro naši soustavu platí:

    \[F\,=\,ma\,=\,(m_1\,+\,m_2\,+\,m_3)a\Rightarrow\,a\,=\,\frac{F}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3},\tag{4}\]

    kde F je síla působící na soustavu, m její celková hmotnost (zde zjevně m = m1 + m2 + m3) a a zrychlení jejího těžiště. Pro konstantní sílu F je výraz na pravé straně vztahu (4) konstantní – jedná se tedy o pohyb rovnoměrně zrychlený. Při tomto pohybu se zrychlením a a nulovou počáteční rychlostí můžeme určit přírůstek x-ové souřadnice těžiště jako dráhu Δx, kterou těžiště působením síly F za čas t1 − t0  urazí, takto:

    \[{\Delta}x\,=\,\frac{1}{2}a(t_1\,-\,t_0)^2.\tag{5}\]

    S pomocí rovnice (4) vztah (5) upravíme:

    \[{\Delta}x\,=\,\frac{1}{2}\frac{F}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3}(t_1\,-\,t_0)^2.\tag{6}\]

    Přirozeně pak platí, že výslednou x-ovou souřadnici těžiště xT1 získáme jako součet počáteční souřadnice xT0 a přírůstku Δx:

    \[x_{T_1}\,=\,x_{T_0}\,+\,{\Delta}x.\tag{7}\]

    Dosazením ze vztahu (6) dostáváme finální rovnici:

    \[x_{T_1}\,=\,x_{T_0}\,+\,\frac{1}{2}\frac{F}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3}(t_1\,-\,t_0)^2.\tag{8}\]

    Číselně:

    \[x_{T_1}\,=(\,0{,}01\,+\,\frac{1}{2}\frac{0{,}06}{0{,}005\,+\,0{,}010\,+\,0{,}015}(2\,-\,0)^2)\,\mathrm{m}\,=\,401\,\mathrm{cm}.\]

    Koncová poloha těžiště soustavy je T1 =  [401, 2, -2]  cm.

  • Odpověď

    Koncová poloha těžiště soustavy je T1 =  [401, 2, -2] cm.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze