Housenka

Nápověda 1 pro a):

Uvědomte si, co obrázek představuje a kde je v něm schovaná dráha.

Tabulku závislosti ulezené dráhy housenky na čase i graf pak snadno sestavíte.

Řešení k nápovědě 1

V obrázku je zachycená křivka, po které housenka lezla (trajektorie). Abychom zjistili ulezenou dráhu v daném čase, musíme změřit nebo pomocí čtvercové sítě v obrázku odhadnout délku této křivky od nuly do daného času.

Tabulka závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

čas/s	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
dráha/cm	0	5	12	16	23	29	33	38	45	53	58	63	67	70

Graf závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

Nápověda 2 pro b)1:

Vzdálenost, kterou housenka ulezla, můžete na obrázku odměřit například pomocí niti nebo ji můžete zjistit rovnou z grafu (resp. z tabulky) z bodu a).

Řešení k nápovědě 2

Z grafu závislosti ulezené dráhy na čase (z bodu a)) nebo rovnou z tabulky závislosti ulezené dráhy na čase (z bodu a)) vidíme, že housenka ulezla vzdálenost přibližně 70 cm.

Nápověda 3 pro b)2:

V tabulce z bodu a) máte zaznamenanou ulezenou dráhu housenky v jednotlivých časech.

Snadno v ní najdete vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi 20. s a 40. s nebo mezi 100. s a 120. s.

Řešení k nápovědě 3

Z tabulky z bodu a) závislosti ulezené dráhy housenky na čase odečteme:

Ve dvacáté sekundě měla housenka ulezeno 5 cm, ve čtyřicáté sekundě měla housenka ulezeno 12 cm, mezi dvacátou a čtyřicátou sekundou tedy ulezla 7 cm.

Obdobně ve sté sekundě měla housenka ulezeno 29 cm a ve stodvacáté 33 cm, mezi stou a stodvacátou sekundou housenka tedy ulezla 4 cm.

Nápověda 4 pro b)3:

Hledané úseky najdete snadno pohledem na stopu housenky.

Najít je můžete i v tabulce z bodu a), kde máte zaznamenanou ulezenou dráhu housenky v jednotlivých časech. Je třeba zjistit, mezi kterými dvěma měřeními byla ulezená vzdálenost housenky největší a mezi kterými nejmenší.

Řešení k nápovědě 4

Z tabulky z bodu a) závislosti ulezené dráhy housenky na čase lze vyčíst:

Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, a to 8 cm.

Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, a to 3 cm.

Nápověda 5 pro b)4:

Jak by vypadala křivka v grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)), kdyby housenka v libovolném dvacetisekundovém intervalu stála? Jaká by byla její ulezená vzdálenost?

Promyslete si, jestli by se z grafu dalo poznat, kdyby housenka stála třeba jen 10 s.

Řešení k nápovědě 5

Pokud by housenka stála celých dvacet sekund, byla by křivka v grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) v daném úseku vodorovná. Ulezená vzdálenost housenky v daném dvacetisekundovém úseku by byla nulová.

Housenka ale mohla stát třeba jen deset sekund a pak kus ulézt a to z grafu nepoznáme.

Nápověda 6 pro c):

Souřadnice housenky v jednotlivých časových okamžicích určíte z obrázku ze zadání. Na vodorovné ose odečtete x-ovou souřadnici, na svislé ose pak y-ovou souřadnici housenky.

Řešení k nápovědě 6

Souřadnice housenky v jednotlivých časových okamžicích určíme z obrázku ze zadání. Na vodorovné ose odečteme x-ovou souřadnici, na svislé ose pak y-ovou souřadnici housenky.

Platí:

V čase 0 s měla housenka souřadnice:

\[x=0\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

V čase 20 s měla housenka souřadnice:

\[x=5\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

V čase 80 s měla housenka souřadnice:

\[x=14\,\mathrm{cm},\] \[y=21\,\mathrm{cm}.\]

V čase 140 s měla housenka souřadnice:

\[x=25\,\mathrm{cm},\] \[y=24\,\mathrm{cm}.\]

V čase 260 s měla housenka souřadnice:

\[x=47\,\mathrm{cm},\] \[y=1\,\mathrm{cm}.\]

Nápověda 7 pro d):

Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) zjistěte celkovou dobu, po kterou jsme pohyb housenky sledovali, a celkovou dráhu, kterou za celkovou dobu ulezla.

Jak z těchto údajů určíte průměrnou rychlost housenky?

Řešení k nápovědě 7

Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) zjistíme celkovou dobu, po kterou jsme pohyb housenky sledovali, a označíme si ji t_c. Dále z tabulky zjistíme celkovou dráhu, kterou housenka za celkovou dobu ulezla, a označíme ji s_c.

Platí:

\(t_\mathrm{c}=260\,\mathrm{s},\)

\(s_\mathrm{c}=70\,\mathrm{cm}.\)

Z těchto údajů určíme průměrnou rychlost housenky během doby, co jsme ji sledovali:

\[v_\mathrm{p}=\frac{s_\mathrm{c}}{t_\mathrm{c}},\] \[v_\mathrm{p}=\frac{70\,\mathrm{cm}}{260\,\mathrm{s}}=0{,}27\,\mathrm{cm\cdot s^{-1}}=2{,}7\,\mathrm{mm\cdot s^{-1}}.\]

Nápověda 8 pro e):

Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) zjistěte přírůstky dráhy housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech.

Znáte-li dráhu ulezenou v daném časovém intervalu a jeho délku, spočítáte příslušnou průměrnou rychlost podobně jako v předchozím bodě.

Řešení k nápovědě 8

Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (bod a)) zjistíme, jakou dráhu ulezla housenka v jednotlivých dvacetisekundových intervalech.

Průměrnou rychlost v daném intervalu (v mm/s) spočítáme tak, že vydělíme dráhu ulezenou v příslušném intervalu (v mm) časem 20 s.

Tabulka ulezené dráhy v závislosti na čase, přírůstků dráhy a průměrných rychlostí v jednotlivých časových intervalech:

čas/s	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
dráha/cm	0	5	12	16	23	29	33	38	45	53	58	63	67	70
přírůstek dráhy/cm		5	7	4	7	6	4	5	7	8	5	5	4	3
průměrná rychlost/(mm/s)		2,5	3,5	2,0	3,5	3,0	2,0	2,5	3,5	4,0	2,5	2,5	2,0	1,5

Graf průměrných rychlostí housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech:

Nápověda 9 pro f):

Ke zjištění, kdy lezla housenka nejrychleji nebo nejpomaleji, vám pomůže odpověď na otázku b) 3 či tabulka z předchozí nápovědy nebo pohled do grafů.

Uvědomte si, že lezla-li housenka v daném dvacetisekundovém intervalu nejrychleji (resp. nejpomaleji), byla v tomto intervalu její průměrná rychlost největší (resp. nejmenší). Rozmyslete si, jak to ovlivní tvar křivky grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase.

Řešení k nápovědě 9

Určení z tabulky:

Z tabulky z bodu e) (řešení předchozí nápovědy 8) lze vyčíst:

Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, a to 8 cm. Protože měření provádíme ve stále stejném dvacetisekundovém intervalu, znamená to, že v této době byla její průměrná rychlost nejvyšší.

Housenka tedy lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou.

Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, a to 3 cm. Protože měření provádíme ve stále stejném dvacetisekundovém intervalu, znamená to, že v této době byla její průměrná rychlost nejnižší.

Housenka tedy lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou.

Určení z grafu:

Jak již bylo řečeno, lezla-li housenka v daném dvacetisekundovém intervalu nejrychleji (resp. nejpomaleji), byla v tomto intervalu její průměrná rychlost největší (resp. nejmenší).

Z grafu průměrné rychlosti housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech tedy vyplývá:

Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože sloupec v grafu průměrných rychlostí je nejvyšší.

Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože sloupec v grafu průměrných rychlostí je nejnižší.

Z grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase vyplývá:

Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože křivka v grafu dráhy je nejstrmější.

Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože křivka v grafu dráhy je nejméně strmá.

CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

a):

V obrázku je zachycená křivka, po které housenka lezla (trajektorie). Abychom zjistili ulezenou dráhu v daném čase, musíme změřit nebo pomocí čtvercové sítě v obrázku odhadnout délku této křivky od nuly do daného času.

Tabulka závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

čas/s	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
dráha/cm	0	5	12	16	23	29	33	38	45	53	58	63	67	70

Graf závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

b) 1:

Z grafu závislosti ulezené dráhy na čase (z bodu a)) nebo rovnou z tabulky závislosti ulezené dráhy na čase (z bodu a)) vidíme, že housenka ulezla vzdálenost přibližně 70 cm.

b) 2:

Z tabulky z bodu a) závislosti ulezené dráhy housenky na čase odečteme:

Ve dvacáté sekundě měla housenka ulezeno 5 cm, v čtyřicáté sekundě měla housenka ulezeno 12 cm, mezi dvacátou a čtyřicátou sekundou tedy ulezla 7 cm.

Obdobně ve sté sekundě měla housenka ulezeno 29 cm a ve stodvacáté 33 cm, mezi stou a stodvacátou sekundou housenka tedy ulezla 4 cm.

b) 3:

Z tabulky z bodu a) závislosti ulezené dráhy housenky na čase lze vyčíst:

Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, a to 8 cm.

Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, a to 3 cm.

b) 4:

Pokud by housenka stála celých dvacet sekund, byla by křivka v grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) v daném úseku vodorovná. Ulezená vzdálenost housenky v daném dvacetisekundovém úseku by byla nulová.

Housenka ale mohla stát třeba jen deset sekund a pak kus ulézt a to z grafu nepoznáme.

c):

Souřadnice housenky v jednotlivých časových okamžicích určíme z obrázku ze zadání. Na vodorovné ose odečteme x-ovou souřadnici, na svislé ose pak y-ovou souřadnici housenky.

Platí:

V čase 0 s měla housenka souřadnice:

\[x=0\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

V čase 20 s měla housenka souřadnice:

\[x=5\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

V čase 80 s měla housenka souřadnice:

\[x=14\,\mathrm{cm},\] \[y=21\,\mathrm{cm}.\]

V čase 140 s měla housenka souřadnice:

\[x=25\,\mathrm{cm},\] \[y=24\,\mathrm{cm}.\]

V čase 260 s měla housenka souřadnice:

\[x=47\,\mathrm{cm},\] \[y=1\,\mathrm{cm}.\]

d):

Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) zjistíme celkovou dobu, po kterou jsme pohyb housenky sledovali, a označíme si ji t_c. Dále z tabulky zjistíme celkovou dráhu, kterou housenka za celkovou dobu ulezla, a označíme ji s_c.

Platí:

\[t_\mathrm{c}=260\,\mathrm{s},\] \[s_\mathrm{c}=70\,\mathrm{cm}.\]

Z těchto údajů určíme průměrnou rychlost housenky během doby, co jsme ji sledovali:

\[v_\mathrm{p}=\frac{s_\mathrm{c}}{t_\mathrm{c}},\] \[v_\mathrm{p}=\frac{70\,\mathrm{cm}}{260\,\mathrm{s}}=0{,}27\,\mathrm{cm\cdot s^{-1}}=2{,}7\,\mathrm{mm\cdot s^{-1}}.\]

e):

Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (bod a)) zjistíme, jakou dráhu ulezla housenka v jednotlivých dvacetisekundových intervalech.

Průměrnou rychlost v daném intervalu (v mm/s) spočítáme tak, že vydělíme dráhu ulezenou v příslušném intervalu (v mm) časem 20 s.

Tabulka ulezené dráhy v závislosti na čase, přírůstků dráhy a průměrných rychlostí v jednotlivých časových intervalech:

čas/s	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
dráha/cm	0	5	12	16	23	29	33	38	45	53	58	63	67	70
přírůstek dráhy/cm		5	7	4	7	6	4	5	7	8	5	5	4	3
průměrná rychlost/(mm/s)		2,5	3,5	2,0	3,5	3,0	2,0	2,5	3,5	4,0	2,5	2,5	2,0	1,5

Graf průměrných rychlostí housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech:

f):

Ke zjištění, kdy lezla housenka nejrychleji nebo nejpomaleji, pomůže odpověď na otázku b) 3, tabulka z předchozí nápovědy nebo pohled do grafů.

Určení z tabulky:

Z tabulky z bodu e) (řešení předchozí nápovědy 8) lze vyčíst:

Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, a to 8 cm. Protože měření provádíme ve stále stejném dvacetisekundovém intervalu, znamená to, že v této době byla její průměrná rychlost nejvyšší.

Housenka tedy lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou.

Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, a to 3 cm. Protože měření provádíme ve stále stejném dvacetisekundovém intervalu, znamená to, že v této době byla její průměrná rychlost nejnižší.

Housenka tedy lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou.

Určení z grafu:

Jak již bylo řečeno, lezla-li housenka v daném dvacetisekundovém intervalu nejrychleji (resp.nejpomaleji), byla v tomto intervalu její průměrná rychlost největší (resp.nejmenší).

Z grafu průměrné rychlosti housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech tedy vyplývá:

Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože sloupec v grafu průměrných rychlostí je nejvyšší.

Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože sloupec v grafu průměrných rychlostí je nejnižší.

Z grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase vyplývá:

Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože křivka v grafu dráhy je nejstrmější.

Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože křivka v grafu dráhy je nejméně strmá.

Odpověď:

a):

Tabulka závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

čas/s	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
dráha/cm	0	5	12	16	23	29	33	38	45	53	58	63	67	70

Graf závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

b) 1:

Housenka ulezla vzdálenost přibližně 70 cm.

b) 2:

Mezi dvacátou a čtyřicátou sekundou housenka ulezla 7 cm.

Mezi stou a stodvacátou sekundou housenka ulezla 4 cm.

b) 3:

Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, a to 8 cm.

Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, a to 3 cm.

b) 4:

Pokud by housenka stála celých dvacet sekund, byla by křivka v grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) v daném úseku vodorovná. Ulezená vzdálenost housenky v daném dvacetisekundovém úseku by byla nulová.

Housenka ale mohla stát třeba jen deset sekund a pak kus ulézt a to z grafu nepoznáme.

c):

V čase 0 s měla housenka souřadnice:

\[x=0\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

V čase 20 s měla housenka souřadnice:

\[x=5\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

V čase 80 s měla housenka souřadnice:

\[x=14\,\mathrm{cm},\] \[y=21\,\mathrm{cm}.\]

V čase 140 s měla housenka souřadnice:

\[x=25\,\mathrm{cm},\] \[y=24\,\mathrm{cm}.\]

V čase 260 s měla housenka souřadnice:

\[x=47\,\mathrm{cm},\] \[y=1\,\mathrm{cm}.\]

d):

Průměrná rychlost housenky během doby, co jsme ji sledovali, byla:

\[v_\mathrm{p} = \frac{s_\mathrm{c}}{t_\mathrm{c}} = \frac{70\,\mathrm{cm}}{260\,\mathrm{s}}= 2{,}7\,\mathrm{mm\cdot s^{-1}}.\]

e):

Tabulka ulezené dráhy v závislosti na čase, přírůstků dráhy a průměrných rychlostí v jednotlivých časových intervalech:

čas/s	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260
dráha/cm	0	5	12	16	23	29	33	38	45	53	58	63	67	70
přírůstek dráhy/cm		5	7	4	7	6	4	5	7	8	5	5	4	3
průměrná rychlost/(mm/s)		2,5	3,5	2,0	3,5	3,0	2,0	2,5	3,5	4,0	2,5	2,5	2,0	1,5

Graf průměrných rychlostí housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech:

f):

Určení z tabulky:

Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou.

Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou.

Určení z grafu:

Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože schod v grafu průměrných rychlostí je nejvyšší a křivka v grafu dráhy je nejstrmější.

Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože schod v grafu průměrných rychlostí je nejnižší a křivka v grafu dráhy je nejméně strmá.