Housenka

Úloha číslo: 762

Na obrázku je zaznamenaná stopa housenky s časovými údaji, kdy kde byla.

 

Obrázek:

 

Stopa housenky

 

a) Sestavte podle obrázku tabulku závislosti ulezené dráhy na čase a nakreslete graf.

b) Odpovězte na následující otázky:

1. Jakou vzdálenost housenka přibližně ulezla? (Zakřivené úseky dráhy můžete odměřit například pomocí niti.)

2. Jakou vzdálenost ulezla mezi 20. s a 40. s a mezi 100. s a 120. s?

3. Mezi kterými dvěma měřeními byla ulezená vzdálenost největší a mezi kterými nejmenší?

4. Poznáte z grafu, zda housenka někdy stála? Podle čeho?

c) Určete souřadnice housenky v čase 0 s, 20 s, 80 s, 120 s, 140 s, 260 s.

d) Určete průměrnou rychlost housenky během doby, co jste ji sledovali.

e) Určete průměrné rychlosti housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech a zapište je do tabulky. Údaje vyneste do grafu.

f) Kdy lezla housenka nejrychleji a kdy nejpomaleji? Jak to poznáte z grafu rychlosti a jak z grafu dráhy?

  • Nápověda 1 pro a):

    Uvědomte si, co obrázek představuje a kde je v něm schovaná dráha.

    Tabulku závislosti ulezené dráhy housenky na čase i graf pak snadno sestavíte.

  • Nápověda 2 pro b)1:

    Vzdálenost, kterou housenka ulezla, můžete na obrázku odměřit například pomocí niti nebo ji můžete zjistit rovnou z grafu (resp.z tabulky) z bodu a).

  • Nápověda 3 pro b)2:

    V tabulce z bodu a) máte zaznamenanou ulezenou dráhu housenky v jednotlivých časech.

    Snadno v ní najdete vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi 20.s a 40.s nebo mezi 100.s a 120.s.

  • Nápověda 4 pro b)3:

    Hledané úseky najdete snadno pohledem na stopu housenky.

    Najít je můžete i v tabulce z bodu a), kde máte zaznamenanou ulezenou dráhu housenky v jednotlivých časech. Je třeba zjistit, mezi kterými dvěma měřeními byla ulezená vzdálenost housenky největší a mezi kterými nejmenší.

  • Nápověda 5 pro b)4:

    Jak by vypadala křivka v grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)), kdyby housenka v libovolném dvacetisekundovém intervalu stála? Jaká by byla její ulezená vzdálenost?

    Promyslete si, jestli by se z grafu dalo poznat, kdyby housenka stála třeba jen 10 s.

  • Nápověda 6 pro c):

    Souřadnice housenky v jednotlivých časových okamžicích určíte z obrázku ze zadání. Na vodorovné ose odečtete x-ovou souřadnici, na svislé ose pak y-ovou souřadnici housenky.

  • Nápověda 7 pro d):

    Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) zjistěte celkovou dobu, po kterou jsme pohyb housenky sledovali, a celkovou dráhu, kterou za celkovou dobu ulezla.

    Jak z těchto údajů určíte průměrnou rychlost housenky?

  • Nápověda 8 pro e):

    Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) zjistěte přírůstky dráhy housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech.

    Znáte-li dráhu ulezenou v daném časovém intervalu a jeho délku spočítáte příslušnou průměrnou rychlost podobně jako v předchozím bodě.

  • Nápověda 9 pro f):

    Ke zjištění, kdy lezla housenka nejrychleji nebo nejpomaleji, vám pomůže odpověď na otázku b) 3 či tabulka z předchozí nápovědy nebo pohled do grafů.

    Uvědomte si, že lezla-li housenka v daném dvacetisekundovém intervalu nejrychleji (resp.nejpomaleji), byla v tomto intervalu její průměrná rychlost největší (resp.nejmenší). Rozmyslete si, jak to ovlivní tvar křivky grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    a):

    V obrázku je zachycená křivka, po které housenka lezla (trajektorie). Abychom zjistili ulezenou dráhu v daném čase, musíme změřit nebo pomocí čtvercové sítě v obrázku odhadnout délku této křivky od nuly do daného času.

    Tabulka závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

     

    čas/s 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
    dráha/cm 0 5 12 16 23 29 33 38 45 53 58 63 67 70

     

    Graf závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

    Graf závislosti ulezené dráhy housenky na čase

     

    b) 1:

    Z grafu závislosti ulezené dráhy na čase (z bodu a)) nebo rovnou z tabulky závislosti ulezené dráhy na čase (z bodu a)) vidíme, že housenka ulezla vzdálenost přibližně 70 cm.

     

    b) 2:

    Z tabulky z bodu a) závislosti ulezené dráhy housenky na čase odečteme:

     

    Ve dvacáté sekundě měla housenka ulezeno 5 cm, v čtyřicáté sekundě měla housenka ulezeno 12 cm, mezi dvacátou a čtyřicátou sekundou tedy ulezla 7 cm.

    Obdobně ve sté sekundě měla housenka ulezeno 29 cm a ve stodvacáté 33 cm, mezi stou a stodvacátou sekundou housenka tedy ulezla 4 cm.

     

    b) 3:

    Z tabulky z bodu a) závislosti ulezené dráhy housenky na čase lze vyčíst:

     

    Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, a to 8 cm.

    Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, a to 3 cm.

     

    b) 4:

    Pokud by housenka stála celých dvacet sekund, byla by křivka v grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) v daném úseku vodorovná. Ulezená vzdálenost housenky v daném dvacetisekundovém úseku by byla nulová.

    Housenka ale mohla stát třeba jen deset sekund a pak kus ulézt, a to z grafu nepoznáme.

    c):

    Souřadnice housenky v jednotlivých časových okamžicích určíme z obrázku ze zadání. Na vodorovné ose odečteme x-ovou souřadnici, na svislé ose pak y-ovou souřadnici housenky.

     

    Platí:

    V čase 0 s měla housenka souřadnice:

    \[x=0\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 20 s měla housenka souřadnice:

    \[x=5\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 80 s měla housenka souřadnice:

    \[x=14\,\mathrm{cm},\] \[y=21\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 140 s měla housenka souřadnice:

    \[x=25\,\mathrm{cm},\] \[y=24\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 260 s měla housenka souřadnice:

    \[x=47\,\mathrm{cm},\] \[y=1\,\mathrm{cm}.\]

     

    d):

    Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) zjistíme celkovou dobu, po kterou jsme pohyb housenky sledovali, a označíme si ji tc. Dále z tabulky zjistíme celkovou dráhu, kterou housenka za celkovou dobu ulezla, a označíme ji sc.

    Platí:

    \[t_c=260\,\mathrm{s},\] \[s_c=70\,\mathrm{cm}.\]

    Z těchto údajů určíme průměrnou rychlost housenky během doby, co jsme ji sledovali:

    \[v_p=\frac{s_c}{t_c},\] \[v_p=\frac{70\,\mathrm{cm}}{260\,\mathrm{s}}=0{,}27\,\mathrm{cm\cdot s^{-1}}=2{,}7\,\mathrm{mm\cdot s^{-1}}.\]

    e):

    Z tabulky závislosti ulezené dráhy housenky na čase (bod a)) zjistíme, jakou dráhu ulezla housenka v jednotlivých dvacetisekundových intervalech.

    Průměrnou rychlost v daném intervalu (v mm/s) spočítáme tak, že vydělíme dráhu ulezenou v příslušném intervalu (v mm) časem 20 s.

     

    Tabulka ulezené dráhy v závislosti na čase, přírůstků dráhy a průměrných rychlostí v jednotlivých časových intervalech:

     

    čas/s 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
    dráha/cm 0 5 12 16 23 29 33 38 45 53 58 63 67 70
    přírůstek dráhy/cm 5 7 4 7 6 4 5 7 8 5 5 4 3
    průměrná rychlost/(mm/s) 2,5 3,5 2,0 3,5 3,0 2,0 2,5 3,5 4,0 2,5 2,5 2,0 1,5

     

    Graf průměrných rychlostí housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech :

    Graf průměrných rychlostí housenky

     

    f):

    Ke zjištění, kdy lezla housenka nejrychleji nebo nejpomaleji, pomůže odpověď na otázku b) 3 či tabulka z předchozí nápovědy nebo pohled do grafů.

     

    Určení z tabulky:

     

    Z tabulky z bodu e) (řešení předchozí nápovědy 8) lze vyčíst:

    Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou a to 8 cm. Protože měření provádíme ve stále stejném dvacetisekundovém intervalu, znamená to, že v této době byla její průměrná rychlost nejvyšší.

    Housenka tedy lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou.

    Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou a to 3 cm. Protože měření provádíme ve stále stejném dvacetisekundovém intervalu, znamená to, že v této době byla její průměrná rychlost nejnižší.

    Housenka tedy lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou.

     

    Určení z grafu:

     

    Jak již bylo řečeno, lezla-li housenka v daném dvacetisekundovém intervalu nejrychleji (resp.nejpomaleji), byla v tomto intervalu její průměrná rychlost největší (resp.nejmenší).

    Z grafu průměrné rychlosti housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech tedy vyplývá:

    Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože sloupec v grafu průměrných rychlostí je nejvyšší.

    Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože sloupec v grafu průměrných rychlostí je nejnižší.

    Z grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase vyplývá:

    Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože křivka v grafu dráhy je nejstrmější.

    Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože křivka v grafu dráhy je nejméně strmá.

  • Odpověď:

    a):

    Tabulka závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

     

    čas/s 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
    dráha/cm 0 5 12 16 23 29 33 38 45 53 58 63 67 70

     

    Graf závislosti ulezené dráhy housenky na čase:

    Graf závislosti ulezené dráhy housenky na čase

    b) 1:

    Housenka ulezla vzdálenost přibližně 70 cm.

    b) 2:

    Mezi dvacátou a čtyřicátou sekundou housenka ulezla 7 cm.

    Mezi stou a stodvacátou sekundou housenka ulezla 4 cm.

     

    b) 3:

    Největší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, a to 8 cm.

    Nejmenší vzdálenost, kterou housenka ulezla mezi dvěma měřeními, byla vzdálenost mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, a to 3 cm.

     

    b) 4:

    Pokud by housenka stála celých dvacet sekund, byla by křivka v grafu závislosti ulezené dráhy housenky na čase (z bodu a)) v daném úseku vodorovná. Ulezená vzdálenost housenky v daném dvacetisekundovém úseku by byla nulová.

    Housenka ale mohla stát třeba jen deset sekund a pak kus ulézt, a to z grafu nepoznáme.

     

    c):

    V čase 0 s měla housenka souřadnice:

    \[x=0\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 20 s měla housenka souřadnice:

    \[x=5\,\mathrm{cm},\] \[y=10\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 80 s měla housenka souřadnice:

    \[x=14\,\mathrm{cm},\] \[y=21\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 140 s měla housenka souřadnice:

    \[x=25\,\mathrm{cm},\] \[y=24\,\mathrm{cm}.\]

    V čase 260 s měla housenka souřadnice:

    \[x=47\,\mathrm{cm},\] \[y=1\,\mathrm{cm}.\]

    d):

    Průměrná rychlost housenky během doby, co jsme ji sledovali, byla:

    \[v_p = \frac{s_c}{t_c} = \frac{70\,\mathrm{cm}}{260\,\mathrm{s}}= 2{,}7\,\mathrm{mm\cdot s^{-1}}.\]

    e):

    Tabulka ulezené dráhy v závislosti na čase, přírůstků dráhy a průměrných rychlostí v jednotlivých časových intervalech:

     

    čas/s 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
    dráha/cm 0 5 12 16 23 29 33 38 45 53 58 63 67 70
    přírůstek dráhy/cm 5 7 4 7 6 4 5 7 8 5 5 4 3
    průměrná rychlost/(mm/s) 2,5 3,5 2,0 3,5 3,0 2,0 2,5 3,5 4,0 2,5 2,5 2,0 1,5

     

    Graf průměrných rychlostí housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech :

    Graf průměrných rychlostí housenky v jednotlivých dvacetisekundových intervalech

     

    f):

    Určení z tabulky:

     

    Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou.

    Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou.

     

    Určení z grafu:

     

    Housenka lezla nejrychleji mezi stošedesátou a stoosmdesátou sekundou, protože schod v grafu průměrných rychlostí je nejvyšší a křivka v grafu dráhy je nejstrmější.

    Housenka lezla nejpomaleji mezi dvěstěčtyřicátou a dvěstěšedesátou sekundou, protože schod v grafu průměrných rychlostí je nejnižší a křivka v grafu dráhy je nejméně strmá.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha řešená graficky
Úloha na zjišťování faktů
Úloha na překlad, transformaci
Zaslat komentář k úloze