Raketa

Úloha číslo: 2311

Raketa o hmotnosti \(M_0=2\,\mathrm{t}\) s náplní paliva \(M=12\,\mathrm{t}\) je poháněna raketovým motorem s výtokovou rychlostí \(v_R=5000\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\). Jaká je maximální možná sekundová spotřeba paliva, příslušná doba činnosti motorů a konečná rychlost rakety?

Nejvyšší povolené zrychlení posádky je \(7\,\mathrm{g}\).

  • Zápis

    \(M_0=2\,\mathrm{t}\)…hmotnost samotné rakety

    \(M=12\,\mathrm{t}\)…hmotnost paliva

    \(v_R = 5000\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\)…výtoková rychlost paliva

    \(a_{max}=7g\)…maximální zrychlení

    \(\left|\frac{dm}{dt}\right|\)…?\(\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}\)

    \(\tau\)…?\(\,\mathrm{s}\)

    \(v\)…?\(\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\)

  • Teorie

    Pohyb rakety odvodíme v několika krocích. Nejprve uvažujme raketu v izolovaném systému tzn.: v našem systému se pohybuje pouze raketa a nepůsobí na ni žádné vnější síly, nenachází se v působišti pole. Vzhledem k inerciálnímu systému se bude raketa pohybovat rychlostí \(\vec v\). Aby se raketa vůbec mohla pohybovat, musí vystřelovat palivo (spálené plyny). Řekněme, že vystřelí \(\mathrm{d}m\) spálených plynů za interval \(\mathrm{d}t\) a rychlost těchto spalin vzhledem k našemu izolovanému systému je \(\vec {v_p}\). Tím získá raketa přírůstek rychlosti \(\mathrm{d}\vec v\).

    Rychlost vystřelování spálených plynů v našem systému získáme složením rychlosti rakety \(\vec v\) a rychlosti \(\vec {v_R}\), kterou se pohybují spálené plyny vzhledem k raketě tj. \(\vec {v_p}=\vec v + \vec{v_R}\). Rychlost \(\vec {v_R}\) můžeme nazvat výtokovou rychlostí.

    V našem izolovaném systému platí zákon zachování hybnosti (ZZH), který můžeme zapsat následujícím způsobem:

    Obr. 1: Schéma ZZH pro raketu v izolovaném systému

    Situace pohybu rakety je nastíněna na obrázku, kde vidíme situaci v počátečním čase \(t\), a situaci po uplynutí doby \(\mathrm{d}t\), tedy uvolnění paliva o hmotnosti \(\mathrm{d}m\).

    Obr. 2: Náčrt situace s rychlostmi jednotlivých částí rakety za změnu času

    ZZH můžeme pro raketu v izolované soustavě zapsat jako:

    \[m\vec v = \left(m-|\mathrm{d}m|\right)\left(\vec v + \mathrm{d}\vec v\right) + |\mathrm{d}m|\vec{v_p}\]

    Uvažujme nyní pohyb rakety v gravitačním poli, a to tak, že gravitační síla působí proti směru startu. Zde je třeba využít tzv. Meščerského rovnici. Při jejím odvození se vychází z toho, že změna hybnosti se rovná impulsu působící síly:

    \[\vec p (t+\mathrm{d}t) - \vec p (t) = \vec F \mathrm{d}t\] \[\left(m-|\mathrm{d}m|\right)\left(\vec v + \mathrm{d}\vec v\right) + |\mathrm{d}m|\vec{v_p} - m\vec v = \vec F \mathrm{d}t\]

    Po úpravě a zanedbání členu \(\mathrm{d}m \mathrm{d}\vec v\) dostáváme:

    \[m\mathrm{d}\vec v + |\mathrm{d}m|(\vec{v_p} - \vec v) = \vec F \mathrm{d}t\]

    Rovnici vydělíme \(\mathrm{d}t\), odstraníme absolutní hodnotu u \(\mathrm{d}m\), za rozdíl rychlostí \(\vec{v_p} - \vec v\) dosadíme výtokovou rychlost a dostáváme Meščerského rovnici:

    \[m\frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d}t}=\vec F + \vec {v_R}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t},\]

    kde \(\vec F\) je síla působící v daném poli. Pro nás to tedy bude síla gravitační. Dosadíme za \(\vec F\) do Meščerského rovnice vztah \(m\vec g\) a přepíšeme skalárně. Kladný směr volíme ve směru pohybu rakety:

    \[m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-mg - {v_R}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\tag{1}\]

    Okomentujme změny ve znaménkách na pravé straně rovnice. Gravitační síla působí proti směru pohybu rakety, tedy musí mít opačné znaménko. Stejně je tomu i pro směr rychlosti vystřelujících spalin plynu.

    Nyní bude naším cílem najít vztah pro rychlost rakety \(v\).

    Rozšíříme rovnici (1) \(\mathrm{d}t\):

    \[m\mathrm{d}v = -mg\mathrm{d}t - v_R\mathrm{d}m\]

    Vydělíme \(m\) a pro velice malou změnu rychlosti rakety získáváme vztah:

    \[\mathrm{d}v= -v_R\frac{\mathrm{d}m}{m} - g\mathrm{d}t \tag{2}\]

    Abychom určili samotnou rychlost \(v\), je potřeba vysčítat rychlosti přes celou dobu činnosti motoru, označme ji \(\tau\). V rovnici (2) ovšem musíme integrovat několik odlišných částí, nikoli všechny podle času. Rychlost se za dobu činnosti motoru změní z počáteční rychlosti \(v_0\) na maximální rychlost rakety \(v_{max}\). Hmotnost rakety se z počáteční hodnoty \(m\), která představuje hmotnost paliva společně s hmotností rakety, změní na konečnou hmotnost samotné rakety, označme ji \(m_k\). Z rovnice (2) tedy dostáváme:

    \[\int_{v_0}^{v_{max}}1\,\mathrm{d}v=-v_R\,\int_m^{m_k}{\frac{1}{m}}\,\mathrm{d}m -g\int_0^{\tau}1\,\mathrm{d}t\]

    \[[v]_{v_0}^{v_{max}}=-v_R [\ln m]_m^{m_k}-g[t]_0^{\tau}\]

    \[v_{max}-v_0=v_R\ln{\frac{m}{m_k}}-g\tau\tag{3}\]

    Rovnice, kterou jsme právě získali, se nazývá Ciolkovského rovnice a udává nám vztah pro maximální dosažitelnou rychlost rakety po dané době činnosti motoru v závislosti na hmotnosti paliva a samotné rakety.

  • Nápověda I

    Vyjděte z Meščerského rovnice a pokuste se zjistit, jak z ní vyjádřit zrychlení rakety. Pro jakou hmotnost rakety bude zrychlení maximální?

  • Nápověda II

    Maximální sekundovou spotřebu paliva již umíte vyjádřit a znáte i hmotnost paliva. Čas, po který budou motory pracovat již snadno vyjádříte.

  • Nápověda III

    Při určení konečné rychlosti vyjděte z Ciolkovského rovnice odvozené v teoretické části.

  • Řešení

    Vyjdeme z rovnice (2) pro malou změnu rychlosti, kterou jsme odvodili v části teorie z Meščerského rovnice:

    \[dv=-v_R\frac{\mathrm{d}m}{m}-g\mathrm{d}t.\]

    Ze zadání máme dánu podmínku pro maximální zrychlení. Zrychlení je ovšem změna rychlosti za změnu času, což s využitím uvedeného vztahu dává:

    \[a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\frac{v_R}{m}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}-g\tag{4}\]

    Zde člen \(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\) znamená sekundový výtrysk tryskou, který lze považovat za konstantní. Chceme-li určit maximální možnou sekundovou spotřebu paliva, provedeme následující úvahy:

    Zrychlení \(a\) bude největší, bude-li hmotnost rakety jako celku (i s palivem) nejmenší. Nejmenší hmotnost má raketa těsně před skončením činnosti motorů, když spálí veškeré palivo a její hmotnost tvoří pouze samotná konstrukce rakety, tedy když \(m=M_0\).

    Maximální zrychlení máme zadáno formou násobků zrychlení \(g\):

    \[a_{max}=7g\]

    Označme si tedy zrychlení obecně jako n-násobek gravitačního zrychlení. Při dosazení příslušné minimální hmotnosti pro dosažení maximálního zrychlení platí podle (4):

    \[a=ng=-\frac{v_R}{M_0}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}-g\tag{5}\]

    Chceme určit příslušnou maximální možnou sekundovou spotřebu paliva, tedy hodnotu \(\left(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right)_{max}\). Vyjádřením z rovnice (5) získáváme:

    \[\left(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right)_{max}= -\left(n+1\right)g\frac{M_0}{v_R}\]

    Úbytek paliva je záporný. Při číselném dosazení vezmeme absolutní hodnotu:

    \[\left|\left(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right)_{max}\right|=\left(7+1\right)\cdot9{,}81\cdot\frac{2000}{1388{,}89}\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}=113{,}0\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}.\]

    Nyní známe množtví paliva, které se spotřebuje za \(1\,\mathrm{s}\) činnosti motoru. Chceme-li určit celkovou dobu \(\tau\), jakou je motor v činnosti, stačí celkovou hmotnost paliva vydělit získanou sekundovou spotřebou. Tedy

    \[\tau = \frac{M}{\left|\left(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right)_{max}\right|}=\frac{Mv_R}{(n+1)gM_0}.\]

    V našem případě pro číselné dosazení dostáváme

    \[\tau =\frac{12000{\cdot} 1388{,}89}{(7+1)\cdot 9{,}81{\cdot} 2000}\,\mathrm {s}=106{,}2\,\mathrm{s}\]

    Tím jsme získali odpověď i na druhou otázku. Zbývá určit konečnou rychlost rakety. Odvození vztahu z Meščerského rovnice je podrobně popsáno v sekci teorie. Dosazením do vztahu (3) za příslušné hmotnosti dle zadání a dle předchozího výpočtu za dobu \(\tau\) dostaneme:

    \[v=v_R\ln{\frac{M_0 +M}{M_0}}-g\frac{Mv_R}{(n+1)gM_0}=v_R\ln{\frac{M_0 +M}{M_0}}-\frac{Mv_R}{(n+1)M_0}\]

    Číselně dosadíme:

    \[v= (5000\cdot\ln{\frac{2000 +12000}{2000}}-\frac{12000{\cdot}5000}{(7+1)\cdot 2000})\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\doteq 6000\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]

    Tím jsme získali odpověď i na poslední část otázky.

  • Odpověď

    Maximální možná sekundová spotřeba paliva je obecně dána vztahem

    \[\left|\left(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right)_{max}\right|=\left(n+1\right)g\frac{M_0}{v_R},\]

    a pro naši raketu je rovna \(113\,\mathrm{kg\cdot s^{-1}}\).

    S tímto výkonem bude motor v činnosti po dobu

    \[\tau=\frac{Mv_R}{(n+1)gM_0},\]

    tedy \(106\,\mathrm{s}\).

    Maximální (konečná) rychlost rakety je \(6000\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\), obecně dána vztahem:

    \[v=v_R\ln{\frac{M_0 +M}{M_0}}-\frac{Mv_R}{(n+1)M_0}.\]

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze