Změna průměru drátu při jeho protažení

Úloha číslo: 2093

Drát původní délky 10 m je na jednom konci upevněný, a na druhém se napíná silou 200 N, čímž se prodlouží o 4 mm. Najděte původní průměr drátu a jeho změnu při prodloužení, je-li modul pružnosti drátu v tahu 2·1011 Nm-2 a modul pružnosti ve smyku 7,5·1010 Nm-2.

Průměr drátu
  • Zápis

    l = 10 m délka drátu
    F = 200 N tahová síla
    E = 200·103 MPa modul pružnosti v tahu
    G = 75·103 MPa modul pružnosti ve smyku
    d = ? m původní průměr drátu
    Δd = ? m změna průměru drátu
  • Rozbor

    Při řešení budeme uvažovat pružnou deformaci a k určení průměru drátu použijeme Hookův zákon.

    Poměr mezi relativním prodloužením a relativním zúžením drátu při jeho protažení udává Poissonova konstanta. Tu můžeme vyjádřit také pomocí modulů pružnosti v tahu a smyku, které známe. Porovnáním obou vztahů získáme hledanou změnu průměru drátu.

  • Nápověda 1

    Budeme uvažovat pružnou deformaci. Napište si Hookův zákon, napětí v drátu vyjádřete pomocí působící síly a plochy průřezu drátu. Ze známé plochy průřezu drátu pak již určíte průměr drátu.

  • Nápověda 2

    Zapište si Poissonovu konstantu jako poměr mezi relativním prodloužením a relativním zúžením drátu. Pak ji vyjádřete pomocí modulu pružnosti drátu v tahu a ve smyku. Z rovnosti obou vztahů pak již získáte hledanou změnu průměru drátu.

  • Řešení

    K vyjádření protažení napínaného drátu použijeme Hookův zákon:

    \[\frac{F}{S}\,=\,E\frac{\Delta l}{l}.\tag{1}\]

    Jelikož S je plocha průřezu drátu, můžeme (1) přepsat na:

    \[\frac{4F}{\pi d^2}\,=\,E\frac{\Delta l}{l}.\tag{2}\]

    Ze (2) již není problém si vyjádřit hledaný průměr drátu:

    \[{d}\,=\,2\sqrt{\frac{Fl}{\pi \Delta lE}}.\tag{3}\]

    Když do (3) číselně dosadíme, tak:

    \[{d}\,=\,2\cdot\sqrt{\frac{200{\cdot}10}{\pi \cdot0{,}004{\cdot}2\cdot10^{11}}} \mathrm{m}\,=\,1{,}78{\cdot}10^{-3} \mathrm{m}.\]

    Vztah mezi relativním prodloužením a relativním zúžením se vyjadřuje pomocí Poissonovy konstanty m (pozor, neplést s Poissonovým číslem, které má převrácenou hodnotu), tedy:

    \[m\,=\, \frac{\frac{\Delta l}{l}}{\frac{\Delta d}{d}}.\tag{4}\]

    Poissonovu konstantu lze vyjádřit pomocí modulů pružnosti:

    \[m\,=\,\frac{2G}{E-2G}.\tag{5}\]

    Porovnáním vztahu (4) a (5) dostáváme:

    \[\frac{\Delta l}{l}\,=\,\frac{\Delta d}{d}\frac{2G}{E-2G}.\tag{6}\]

    Ze vztahu (6) již vyjádříme změnu průměru drátu při jeho prodloužení:

    \[\Delta d\,=\,\frac{d\left({E-2G}\right)\Delta l}{2Gl}.\tag{7}\]

    Číselným dosazením do (7) pak:

    \[\Delta d\,=\,\frac{1{,}784{\cdot}10^{-3}\cdot\left({2{\cdot}10^{11}-2{\cdot}7{,}5{\cdot}10^{10}}\right)\cdot4{\cdot}10^{-3}}{2{\cdot}7{,}5{\cdot}10^{10}\cdot10} \mathrm{m}\,=\,2{,}38{\cdot}10^{-7} \mathrm{m}.\]
  • Odpoveď

    Průměr drátu je:

    \[{d}\,=\,1{,}78{\cdot}10^{-3} \mathrm{m},\]

    a změna průměru při jeho prodloužení pak:

    \[\Delta d\,=\,2{,}38{\cdot}10^{-7} \mathrm{m}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze