Sbírka řešených úloh

Změna průměru drátu při jeho protažení

Úloha číslo: 2093

Drát původní délky 10 m je na jednom konci upevněný a na druhém se napíná silou 200 N, čímž se prodlouží o 4 mm. Najděte původní průměr drátu a jeho změnu při prodloužení, je-li modul pružnosti drátu v tahu 2·10¹¹ Nm^-2 a modul pružnosti ve smyku 7,5·10¹⁰ Nm^-2.

 

• Zápis

  l = 10 m	délka drátu
  F = 200 N	tahová síla
  E = 200·103 MPa	modul pružnosti v tahu
  G = 75·103 MPa	modul pružnosti ve smyku
  d = ? m	původní průměr drátu
  Δd = ? m	změna průměru drátu

• Rozbor

  Při řešení budeme uvažovat pružnou deformaci a k určení průměru drátu použijeme Hookův zákon.

  Poměr mezi relativním prodloužením a relativním zúžením drátu při jeho protažení udává Poissonova konstanta. Tu můžeme vyjádřit také pomocí modulů pružnosti v tahu a smyku, které známe. Porovnáním obou vztahů získáme hledanou změnu průměru drátu.

• Nápověda 1

  Budeme uvažovat pružnou deformaci. Napište si Hookův zákon, napětí v drátu vyjádřete pomocí působící síly a plochy průřezu drátu. Ze známé plochy průřezu drátu pak již určíte průměr drátu.

• Nápověda 2

  Zapište si Poissonovu konstantu jako poměr mezi relativním prodloužením a relativním zúžením drátu. Pak ji vyjádřete pomocí modulu pružnosti drátu v tahu a ve smyku. Z rovnosti obou vztahů pak již získáte hledanou změnu průměru drátu.

• Řešení

  K vyjádření protažení napínaného drátu použijeme Hookův zákon:

  \[\frac{F}{S}\,=\,E\frac{\Delta l}{l}.\tag{1}\]

  Jelikož S je plocha průřezu drátu, můžeme (1) přepsat na:

  \[\frac{4F}{\pi d^2}\,=\,E\frac{\Delta l}{l}.\tag{2}\]

  Ze (2) již není problém si vyjádřit hledaný průměr drátu:

  \[{d}\,=\,2\sqrt{\frac{Fl}{\pi \Delta lE}}.\tag{3}\]

  Když do (3) číselně dosadíme, tak:

  \[{d}\,=\,2\cdot\sqrt{\frac{200{\cdot}10}{\pi \cdot0{,}004{\cdot}2\cdot10^{11}}} \mathrm{m}\,=\,1{,}78{\cdot}10^{-3} \mathrm{m}.\]

  Vztah mezi relativním prodloužením a relativním zúžením se vyjadřuje pomocí Poissonovy konstanty m (pozor, neplést s Poissonovým číslem, které má převrácenou hodnotu), tedy:

  \[m\,=\, \frac{\frac{\Delta l}{l}}{\frac{\Delta d}{d}}.\tag{4}\]

  Poissonovu konstantu lze vyjádřit pomocí modulů pružnosti:

  \[m\,=\,\frac{2G}{E-2G}.\tag{5}\]

  Porovnáním vztahu (4) a (5) dostáváme:

  \[\frac{\Delta l}{l}\,=\,\frac{\Delta d}{d}\frac{2G}{E-2G}.\tag{6}\]

  Ze vztahu (6) již vyjádříme změnu průměru drátu při jeho prodloužení:

  \[\Delta d\,=\,\frac{d\left({E-2G}\right)\Delta l}{2Gl}.\tag{7}\]

  Číselným dosazením do (7) pak:

  \[\Delta d\,=\,\frac{1{,}784{\cdot}10^{-3}\cdot\left({2{\cdot}10^{11}-2{\cdot}7{,}5{\cdot}10^{10}}\right)\cdot4{\cdot}10^{-3}}{2{\cdot}7{,}5{\cdot}10^{10}\cdot10} \mathrm{m}\,=\,2{,}38{\cdot}10^{-7} \mathrm{m}.\]

• Odpoveď

  Průměr drátu je:

  \[{d}\,=\,1{,}78{\cdot}10^{-3} \mathrm{m}\]

  a změna průměru při jeho prodloužení pak:

  \[\Delta d\,=\,2{,}38{\cdot}10^{-7} \mathrm{m}.\]