Auto na mostě

Úloha číslo: 231

Auto o hmotnosti 1200 kg přejíždí most vypuklého tvaru. Jak velkou silou působí na most v jeho nejvyšším bodě, přejíždí-li ho rychlostí 54 km·h−1? Poloměr křivosti mostu je 45 m.

Řešte z hlediska inerciálního i neinerciálního systému.

  • Zápis

    m = 1200 kg hmotnost auta
    v = 54 km·h−1 rychlost auta
    r = 45 m poloměr křivosti mostu
    F = ? (N) síla, kterou působí auto na most v jeho nejvyšším bodě
  • Nápověda 1 - inerciální systém: síly

    Řešme úlohu nejdříve z hlediska inerciálního systému spojeného se zemí: Jaké síly na auto v nejvyšším bodě mostu působí? Nakreslete si obrázek.

  • Nápověda 2 - inerciální systém: druh pohybu

    Po jaké trajektorii se auto pohybuje? Čím je takový pohyb z hlediska sil charakterizován? Co z toho můžete usoudit pro výslednici dvou výše uvedených sil a její velikost?

  • Nápověda 3 - inerciální systém: velikost síly F

    Ze získaného vztahu vyjádřete velikost hledané síly F. Pro její určení potřebujete znát velikost tíhové a dostředivé síly - umíte je vypočítat?

  • Nápověda 4 - pro řešení v neinerciálním systému

    Nyní vyřešíme poblém z hlediska neinerciálního systému spojeného s autem. Tento systém se rovnoměrně otáčí kolem středu kružnice, po jejíž části auto jede. Auto je v tomto systému v klidu. Jaké síly zde na auto působí a co platí pro jejich výslednici?

  • Nápověda 5 - pro řešení v neinerciálním systému

    Podobně jako při počítání v inerciálním systému si vzpomeňte na vztahy pro tíhovou a odstředivou sílu a vypočítejte velikost síly F.

  • Celkové řešení

    Z hlediska inerciálního systému spojeného se zemí:

    Na auto působí v nejvyšším bodě mostu dvě síly:

    a) Tíhová síla \(\vec{F}_G\) kolmo dolů.

    b) Tlaková síla mostu \(\vec{F}\). Touto silou působí most svisle vzhůru na auto a podle 3. Newtonova zákona působí stejně velkou silou i auto svisle dolů na most. Právě velikost této síly chceme vypočítat.

    Poznámka: Tlaková síla mostu je ve skutečnosti rozložena na všechna čtyři kola. V obrázku je nahrazena výslednicí působící v těžišti auta.

    Síly z hlediska inerciálního systému spojeného se zemí

    Most má tvar části kružnice, auto se tedy pohybuje po části kružnice. Takový pohyb je charakterizován nějakou dostředivou silou \(\vec{F}_d\), která míří do středu opisované kružnice a zakřivuje trajektorii auta.

    Dostředivá síla není žádnám novým typem síly, její roli zastupují v různých situacích síly jiné, nám dobře známé (tíhová, třecí apod.). V naší úloze je dostředivou silou výslednice sil \(\vec{F_G}\) a \(\vec{F}\), tedy:

    \[\vec{F}_d\,=\,\vec{F_G}\,+\,\vec{F}.\]

    Protože síly \(\vec{F_G}\) a \(\vec{F}\) mají opačný směr, lze pro velikost této výslednice psát:

    \[F_d\,=\,F_G\,-\,F.\]

    Tedy:

    \[F\,=\,F_G\,-\,F_d.\tag{1}\]

    Použijeme vztahy pro velikost tíhové a dostředivé síly:

    \[F_G\,=\,mg\,,\] \[F_d\,=\,ma_d\,=\, m\frac{v^2}{r}\,,\]

    kde m je hmotnost auta, g tíhové zrychlení, v rychlost auta a r poloměr opisované (části) kružnice.

    Po dosazení do vztahu (1) tak dostáváme výsledný vzorec pro hledanou sílu F: \[F\,=\,mg\,-\,m\frac{v^2}{r}\,=\,m(g\,-\,\frac{v^2}{r}).\]

    Číselně:

    \[m\,=\,1\,200\,\mathrm{kg},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},\] \[v\,=\,54\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}\,=\,15\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}},\] \[r\,=\,45\,\mathrm{m},\] \[F\,=\,m(g\,-\,\frac{v^2}{r})\,=\,(1200{\cdot}(9{,}81\,-\,\frac{15^2}{45}))\,\mathrm{N}\,=\,5772\,\mathrm{N}.\]

    Z hlediska otáčejícího se neinerciálního systému spojeného s autem:

    Na auto působí v nejvyšším bodě mostu z hlediska našeho neinerciálního systému tři síly:

    a) Tíhová síla \(\vec{F_G}\) kolmo dolů.

    b) Tlaková síla mostu \(\vec{F}\). Touto silou působí most svisle vzhůru na auto a podle 3. Newtonova zákona působí stejně velkou silou i auto svisle dolů na most. Právě velikost této síly chceme vypočítat.

    c) Setrvačná odstředivá síla \(\vec{F}_{od}\), která míří od středu otáčení neinerciálního systému, v nejvyšším bodě mostu tedy svisle vzhůru.

    Síly z hlediska neinerciálního systému, který se otáčí kolem středu křivosti mostu

    Protože auto je z hlediska tohoto systému v klidu, musí být dle 1. Newtonova zákona výslednice sil na něj působících nulová (nulový vektor):

    \[\vec{F_G}\,+\,\vec{F}\,+\,\vec{F}_{od}\,=\,\vec{o}.\]

    Tíhová síla má opačný směr než zbylé dvě síly, pro jejich velikosti lze psát:

    \[F_G\,-\,F\,-\,F_{od}\,=\,0.\]

    Tedy:

    \[F\,=\,F_G\,-\,F_{od}.\tag{2}\]

    Připomeňme si vztahy pro velikost tíhové a setrvačné odstředivé síly (velikost setrvačné odstředivé síly je zde rovna velikosti dostředivé síly z hlediska inerciálního systému):

    \[F_G\,=\,mg\,,\] \[F_{od}\,=\,m\frac{v^2}{r}\,,\]

    kde m je hmotnost auta, g tíhové zrychlení, v rychlost auta a r poloměr opisované (části) kružnice.

    Po dosazení do vztahu (2) tak dostáváme výsledný vzorec pro hledanou sílu F:

    \[F\,=\,mg\,-\,m\frac{v^2}{r}\,=\,m(g\,-\,\frac{v^2}{r}),\]

    což je vztah, ke kterému jsme dospěli i při výpočtu z hlediska inerciálního systému - oběma postupy jsme tedy získali stejný výsledek.

  • Výsledek

    Auto působí na most silou \(F\,=\,m(g\,-\,\frac{v^2}{r})\,=\,5772\,\mathrm{N}\).

  • Komentář

    V úloze jsme počítali, jak velkou silou působí auto na most vypuklého tvaru, tedy tíhu auta. Zjistili jsme, že tíha auta je v dané situaci menší, než kdyby auto jelo po vodorovném mostě, v tom případě by síla, kterou tlačí na most (tedy jeho tíha) byla rovna \(F_G\,=\,mg\,\).

    Můžete si zkusit spočítat, při jak velké rychlosti by auto přestalo na náš vypuklý most tlačit úplně a jeho tíha by byla tedy nulová.

    Rovněž si můžete spočítat, jak velkou silou by auto tlačilo do mostu, který by byl zakřivený opačně (dolík) a měl stejný poloměr křivosti.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze