Síly v laně

Úloha číslo: 222

Těleso o hmotnosti 20 kg je uvázáno na laně a rotuje ve svislé rovině. Poloměr rotace je 1 m.

Jaká je maximální a minimální síla působící v laně při rychlosti tělesa 10 m·s−1?

Úlohu řešte z pohledu inerciálního pozorovatele stojícího na zemi i neinerciálního pozorovatele rotujícího spolu s tělesem.

  • Zápis

    m = 20 kg hmotnost tělesa
    v = 10 m·s−1 obvodová rychlost tělesa
    r = 1 m poloměr otáčení tělesa
    Fmax = ? velikost maximální síly působící v laně
    Fmin = ? velikost minimální síly působící v laně
  • Nápověda 1 – síly z hlediska inerciálního systému

    Rozmyslete si, jaké všechny síly působí na těleso z hlediska inerciálního systému spojeného se zemí.

    Jaká síla působí v laně?

    Rozmyslete si, ve kterých místech trajektorie tělesa bude síla v laně největší a kde nejmenší.

  • Nápověda 2 – síly z hlediska neinerciálního systému

    Rozmyslete si, jaké všechny síly působí na těleso z hlediska neinerciálního systému spojeného s tělesem na laně, jak se těleso vzhledem k tomuto systému pohybuje a co bude platit pro výslednici sil.

    Rozmyslete si, ve kterých místech pohybu tělesa bude síla v laně největší a kde nejmenší. Zapište, pohybovou rovnici v těchto bodech.

  • Celkové řešení

    Úlohu lze řešit z hlediska inerciálního nebo neinerciálního vztažného systému.


    1. Z hlediska inerciálního vztažného systému spojeného se zemí

    Z hlediska inerciálního systému (spojeného se zemí) obíhá těleso po kružnici a působí na ně tíhová síla FG a tahová síla lana FL.

    Působí-li lano na těleso tahovou silou FL, působí těleso na lano stejně velkou, opačně orientovanou silou. Co do velikosti je tedy síla v laně rovna FL.

    V obrázcích jsou síly působící na těleso nakresleny pro nejvyšší a nejnižší bod trajektorie, kdy obě leží v jedné přímce.

    Síly působící na těleso nahoře
    Síly působící na těleso dole

    Výslednice sil v těchto bodech uděluje tělesu příslušné dostředivé zrychlení.

    Pro velikost sil v nejvyšším bodě platí:

    \[F_{do}\,=\, F_{L} + F_{g},\] \[F_{L} \,=\, F_{do} - F_{g} \,=\, m\frac{v^{2}}{r} - mg.\]

    Pro velikost sil v nejnižším bodě platí:

    \[F_{do} \,=\, F_{L} - F_{g},\] \[F_{L} \,=\, F_{do} + F_{g} \,=\, m\frac{v^{2}}{r} + mg.\]

    Ve vodorovné poloze je tah lana přímo silou dostředivou a je co do velikosti roven:

    \[F_{L} \,=\, F_{do} \,=\, m\frac{v^{2}}{r}.\]

    Lano bude muset tedy zatáhnout nejvíce v nejnižším bodě, kdy tíhová síla působí v opačném směru. Nejmenší tah bude v bodě nejvyšším, kdy tíhová síla působí ve stejném směru.

    Číselně:

    Maximální tah - nejnižší bod:

    \[F_{\mathrm{max}} \,=\,m\frac{v^{2}}{r}+mg\,=\,20\,\cdot\,\frac{10^{2}}{1}+20\,\cdot\,10\,\mathrm{N}\,= \, 2200\,\mathrm{N}.\]

    Minimální tah - nejvyšší bod:

    \[F_{\mathrm{min}} \,=\, m\frac{v^{2}}{r}-mg\,=\,20\,\cdot\,\frac{10^{2}}{1}-20\,\cdot\,10\,\mathrm{N}\,= \,1800\,\mathrm{N}.\]

    Za tíhové zrychlení bylo dosazeno 10 m s−2.


    1. Z hlediska neinerciálního vztažného systému spojeného s rotujícím tělesem

    Díváme-li se na těleso z hlediska neinerciálního systému (spojeného s tělesem na laně), je vzhledem k nám v klidu. Kromě tíhové síly a tahové síly lana na něj působí ještě setrvačná odstředivá síla. Výslednice sil je nulová.

    Působí-li lano na těleso tahovou silou FL, působí těleso na lano stejně velkou, opačně orientovanou silou. Co do velikosti je tedy síla v laně rovna FL.

    V obrázcích jsou síly působící na těleso nakresleny pro nejvyšší a nejnižší bod trajektorie, kdy leží v jedné přímce.

    Síly působící na těleso nahoře
    Síly působící na těleso dole

    Výslednice sil v těchto bodech je nulová.

    Pro velikost sil v nejvyšším bodě platí:

    \[F_{od} - F_{L} - F_{g}\,=\,0,\] \[F_{L} \,=\, F_{od} - F_{g} \,=\, m\frac{v^{2}}{r} - mg.\]

    Pro velikost sil v nejnižším bodě platí:

    \[F_{L} - F_{od} - F_{g} \,=\,0,\] \[F_{L} \,=\, F_{od} + F_{g} \,=\, m\frac{v^{2}}{r} + mg.\]

    Ve vodorovné poloze je tah lana roven co do velikosti setrvačné odstředivé síle:

    \[F_{L} = F_{od} \,=\, m\frac{v^{2}}{r}.\]

    Lano bude muset tedy zatáhnout nejvíce v nejnižším bodě, nejmenší tah bude v bodě nejvyšším.

    Číselně:

    Maximální tah - nejnižší bod:

    \[F_{\mathrm{max}} \,=\,m\frac{v^{2}}{r}+mg\,=\,20\,\cdot\,\frac{10^{2}}{1}+20\,\cdot\,10\,\mathrm{N}\,= \, 2200\,\mathrm{N}.\]

    Minimální tah - nejvyšší bod:

    \[F_{\mathrm{min}} \,=\, m\frac{v^{2}}{r}-mg\,=\,20\,\cdot\,\frac{10^{2}}{1}-20\,\cdot\,10\,\mathrm{N}\,= \,1800\,\mathrm{N}.\]

    Za tíhové zrychlení bylo dosazeno 10 m·s−2.

  • Odpověď

    \[F_{\mathrm{max}} \,=\,m\frac{v^{2}}{r}+mg\,=\, 2200\,\mathrm{N}\] \[F_{\mathrm{min}} \,=\,m\frac{v^{2}}{r}-mg\,=\,1800\,\mathrm{N}\]

    Za tíhové zrychlení bylo dosazeno 10 m·s−2.

    Velikost síly působící v laně nezávisí na tom, ve kterém systému počítáme. Maximální síla v laně je při průchodu tělesa nejnižším bodem a má velikost 2200 N. Minimální síla v laně je při průchodu tělesa nejvyšším bodem a má velikost 1800 N.

  • Podobná úloha

    Tahová síla provazu působícího na kouli rotující ve svislé rovině se počítá z pohledu inerciální vztažné soustavy i v úloze Koule přivázaná na konci provazu.
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze