Odstředivá síla na rovníku

Úloha číslo: 200

Může člověk stojící na rovníku „uletět“ vlivem odstředivé síly?

Poloměr Země na rovníku je 6378 km, úhlová rychlost rotace Země je 7,29·10−5 s−1. Hmotnost člověka předpokládejte 80 kg.

  • Zápis

    R = 6378 km poloměr Země
    ω = 7,29·10−5 s−1 úhlová rychlost rotace Země
    m = 80 kg hmotnost člověka
    Fod = ? odstředivá síla

    Z tabulek:

    Mz = 5,97·1024 kg hmotnost Země
    κ = 6,67·10−11 N m2 kg−2 gravitační konstanta
  • Nápověda 1

    Úlohu řešte z hlediska soustavy rotující spolu se Zemí. Jaké síly působí na člověka? Co platí pro jejich výslednici?

  • Nápověda 2 – velikosti sil

    Rozmyslete si, co by muselo platit pro velikosti působích sil, aby člověk odletěl.

    Spočítejte velikost gravitační a odstředivé síly působící na člověka na rovníku.

  • Celkové řešení

    Úlohu budeme počítat z hlediska soustavy rotující spolu se Zemí.

    Na člověka stojícího na Zemi působí z hlediska neinerciální vztažné soustavy spojené s rotující Zemí gravitační síla, kterou ho přitahuje Země, tlačí do něj země, na které stojí a působí na něj odstředivá síla.

     
    Síly působící na těleso
     

    Vzhledem k rotující Zemi je člověk v klidu, takže výslednice těchto sil je nulová.

    \[\vec{F}_{g}\,+\,\vec{N}\,+\,\vec{F}_{od}\,=\,\vec{o}\]

    Pro velikost sil platí:

    \[F_{g} - N - F_{od} = 0,\]

    a tedy:

    \[F_{g} = N + F_{od}.\]

    Kdyby měl člověk „odletět“, znamenalo by to, že ztratí kontakt se Zemí a ta do něj přestane tlačit. Velikost gravitační síly by v tomto okamžiku byla rovna velikosti odstředivé síly. Spočítejme tedy velikosti obou sil.

    Velikost odstředivé síly:

    \[F_{od} = m\frac{v^{2}}{R} = m\omega^{2}R = 80\,\cdot\, \left(7{,}29{\cdot}10^{-5}\right)^{2}\,\cdot \, 6378{\cdot}10^{3} \,\mathrm{N}\dot{=} 2{,}7\,\mathrm{N}.\]

     

    Velikost gravitační síly:

    \[F_{g} = \kappa \frac{mM_{z}}{R^{2}} = 6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\cdot\,\frac{80\, \cdot \, 5{,}97{\cdot}10^{24}}{\left(6378{\cdot}10^{3}\right)^{2}}\,\mathrm{N} \dot{=} 783{,}1\,\mathrm{N}.\]

    Porovnáme-li velikosti těchto sil, vyjde nám, že člověk vlivem odstředivé síly uletět nemůže.

  • Odpověď

    Člověk vlivem odstředivé síly uletět nemůže; jeho tíha (síla, kterou tlačí na zem) se vlivem odstředivé síly sníží jen asi o 0,3 %.
  • Poznámka

    Zkusme spočítat, jaká by musela být úhlová rychlost otáčení Země, aby člověk vlivem odstředivé síly „uletěl“. Aby se to stalo, musejí být gravitační a odstředivá síla stejně velké.

    \[F_{od} = F_{g}\] \[m\omega^{2}R = \kappa\frac{mM_{Z}}{R^{2}}\]

    Nyní vyjádříme omega a číselně dosadíme:

    \[\omega = \sqrt{\kappa\frac{M_{Z}}{R^{3}}} = \sqrt{6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\cdot\,\frac{5{,}97{\cdot}10^{24}}{\left( 6378{\cdot}10^{3}\right)^{3}}}\, \mathrm{s^{-1}}\dot{=} 1{,}24{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{s^{-1}}\]

     

    Obvodová rychlost na rovníku je: \[v = \omega R = 1{,}24{\cdot}10^{-3}\,\cdot\, 6378{\cdot}10^{3}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\dot{=}\,7909\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

     

    Spočítejme ještě délku jednoho dne (tj. periodu otáčení)

    \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1{,}24{\cdot}10^{-3}}\,\mathrm{s}\, \dot{=}\, 5067\,\mathrm{s}\, \dot{=}\, 1{,}4\,\mathrm{h}. \]
  • Tíhová a gravitační síla

    1) Rozdíl mezi tíhovou a gravitační silou:

    Tíhová síla se říká síle, která je výslednicí gravitační a odstředivé síly – míří tedy nepatrně jiným směrem než do středu Země a má nepatrně jinou velikost. Protože ale rozdíl velikostí a směrů tíhové a gravitační síly je velmi malý, často se zaměňují (např. v tomto příkladě činí odstředivá síla jen asi 0,3 % gravitační síly).

    2) Jak jsme řekli, je tíhová síla výslednicí gravitační a odstředivé síly. Odstředivá síla závisí na poloměru rotace, který je jiný na rovníku a u nás na 50° s. š. (viz obrázek), takže její velikost v každé zeměpisné šířce je trochu jiná.

    obrázek zeměkoule
    (viz také řešení úlohy Pružinové váhy na pólu a na rovníku). Z tohoto důvodu není velikost tíhové síly v každém místě zemského povrchu stejná a není tedy všude stejné ani tíhové zrychlení – proto bylo jako konstanta přijato tzv. normální tíhové zrychlení: gn = 9,80665 m·s−2 (přesně) – odpovídá hodnotě tíhového zrychlení na 45° s. š. na úrovni mořské hladiny. Bylo přijato na 2. generální konferenci pro míry a váhy v roce 1901.
  • Odkaz na podobnou úlohu

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na hodnocení
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze