Vodorovně zavěšená tyč

Úloha číslo: 2092

Tuhá vodorovná zavěšená tyč všude stejného průřezu délky 1,2 m a hmotnosti 60 kg je nesena dvěma dráty, ocelovým a měděným. Oba dráty jsou stejně dlouhé a mají stejný průřez. Měděný drát je připojen k jednomu konci tyče a ocelový drát ve vzdálenosti x od druhého konce tak, že oba dráty jsou protaženy o stejnou délku. Určete síly, jimiž působí tyč na jednotlivé dráty, a určete vzdálenost x.

Zavěšená tyč
  • Zápis

    L = 1,20 m délka tyče
    m = 60 kg hmotnost tyče

    Z tabulek:

    E1 = 125·103 MPa Youngův modul pružnosti v tahu měděného drátu
    E2 = 220·103 MPa Youngův modul pružnosti v tahu ocelového drátu
    g = 9,81 ms-2 tíhové zrychlení
    F1 = ? N síla působící na měděný drát
    F2 = ? N síla působící na ocelový drát
    x = ? m vzdálenost od konce tyče
  • Rozbor

    V úloze je potřeba určit tři neznámé, k řešení budou zapotřebí tři (lineárně nezavislé) rovnice.

    Tyč visí v klidu, musí být tedy splněny podmínky rovnováhy. To znamená, že výslednice sil a výslednice momentů sil působících na tyč jsou rovny nule. Rozepsáním těchto podmínek získáme dvě rovnice pro hledané neznámé.

    Dále víme, že oba dráty mají stejné průřezy, stejnou délku, a protáhnou se o stejnou délku. Budeme uvažovat pružnou deformaci a z Hookova zákona vyjádříme relativní prodloužení drátů. Z jejich rovnosti pak získáme třetí potřebnou rovnici.

  • Nápověda 1 - podmínky rovnováhy

    Vyznačte si do obrázku, jaké síly působí na tyč. Tyč je v klidu, proto musí být splněnny podmínky rovnováhy sil a momentů sil. Zapište si je a obě rozepište skalárně.

  • Nápověda 2 - relativní prodloužení drátů

    Oba dráty mají podle zadání stejnou délku a průřez a při zavěšení tyče se protáhnou stejně. Uvažujte pružnou deformaci. Pomocí Hookova zákona si vyjádřete relativní prodloužení obou drátů a dejte je do rovnosti.

  • Řešení

    Na obrázku jsou vyznačeny síly působící na tyč:

    Síly působící na tyč

    Soustava je v rovnováze, platí tedy, že výslednice sil působících na tyč je rovna nule:

    \[\sum \vec{F}^\, =\,0.\]

    To samé platí pro momenty sil :

    \[\sum \vec{M}^\, =\,0.\]

    Obě podmínky rovnováhy přepíšeme ve skalárním tvaru Pro síly získáme rovnici:

    \[F_1+F_2\,=\,mg,\tag{1}\]

    Momenty sil budeme vztahovat k levému konci tyče. Pak platí:

    \[\left(L-x\right)F_2\,=\,\frac{L}{2}mg.\tag{2}\]

    Uvažujeme pružnou deformaci drátů. Pomocí Hookova zákona vyjádříme jejich relativní prodloužení:

    \[\frac{\Delta l}{l}\, =\,\frac{1}{E}\frac{F}{S}.\tag{3}\]

    Průřezy, délky, a změny délek obou drátů jsou podle zadání stejné. Z (3) proto získáváme:

    \[\frac{F_1}{E_1}\, =\,\frac{F_2}{E_2}.\]

    Odtud:

    \[F_1\, =\,\frac{E_1}{E_2}F_2.\tag{4}\]

    Rovnice (1) a (4) nám dávají dvě rovnice o dvou neznámých. Vyjádřením F2 v (1) a dozasením do (4) máme:

    \[F_1\, =\,\frac{E_1}{E_2}\left(mg-F_1\right).\]

    Z toho již vyjádříme sílu působící na měděný drát:

    \[F_1\, =\,\frac{E_1}{E_1+E_2}mg.\tag{5}\]

    Dosazením z (5) do (4) pak dostaneme sílu působící na ocelový drát:

    \[F_2\, =\,\frac{E_2}{E_1+E_2}mg.\tag{6}\]

    Číselným dosazením do (5) a (6) již určíme hledané velikosti sil:

    \[F_1\, =\,\frac{125{\cdot}10^{12}}{125{\cdot}10^{12}+220{\cdot}10^{12}}\cdot60{\cdot}9{,}81\,\mathrm{N}=\,213{,}261\,\mathrm{N}\,\dot= \,213{,}3\,\mathrm{N},\]

    a:

    \[F_2\, =\,\frac{220{\cdot}10^{12}}{125{\cdot}10^{12}+220{\cdot}10^{12}}\cdot60{\cdot}9{,}81\,\mathrm{N}=\,375{,}339\,\mathrm{N}\,\dot= \,375{,}3\,\mathrm{N}.\]

    Pro druhou část úlohy nejprve upravíme tvar (2) na:

    \[F_2 x\,=\, F_2 L - \frac{L}{2}mg\]

    Odtud:

    \[x\,=\,L\left(1-\frac{mg}{2F_2}\right).\tag{7}\]

    K výpočtu x stačí již dosadit (6) do (7):

    \[x\,=\,L\left(1-\frac{E_1 + E_2}{2E_2}\right).\] \[x\,=\,\frac{L}{2}\left(1-\frac{E_1}{E_2}\right).\tag{8}\]

    Na závěr už jen číselně dosadíme do (8):

    \[x\,=\,\frac{1{,}2}{2}\cdot\left(1-\frac{125{\cdot}10^{12}}{220{\cdot}10^{12}}\right)\,\mathrm{m}=\,0{,}259\,\mathrm{m}\,\dot= \,0{,}26\,\mathrm{m}.\]
  • Odpoveď

    Tahová síla působící na měděný drát je:

    \[F_1\, =\,\frac{E_1}{E_1+E_2}mg\,\dot= \,213{,}3\,\mathrm{N},\]

    a na ocelový drát:

    \[F_2\, =\,\frac{E_2}{E_1+E_2}mg\,\dot= \,375{,}3\,\mathrm{N}.\]

    Vzdálenost připojení ocelového drátu od druhého konce tyče je:

    \[x\,=\,\frac{L}{2}\left(1-\frac{E_1}{E_2}\right)\,\dot= \,0{,}26\,\mathrm{m}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze