Kostka ledu a časově proměnlivá síla

Úloha číslo: 80

Na kostku ledu o hmotnosti 10 kg působí ve vodorovném směru síla, která závisí na čase podle vztahu Fx = p(q − t) , kde p = 100 N·s−1, q = 1 s. V čase t = 0 s byla kostka ledu v počátku souřadné soustavy a měla velikost rychlosti 0,2 m·s−1 a síla směr rychlosti. Kostka ledu se pohybuje po vodorovné ledové ploše bez tření.

Určete, kdy a kde se kostka ledu zastaví.

Obrázek k zadání úlohy

Poznámka: Pod rychlostí a zrychlením máme dále na mysli jejich velikost.

  • Zápis

    m = 10 kg hmotnost kostky ledu
    Fx = p(qt) síla působící na kostku
    p = 100 N·s−1 konstanta
    q = 1 s−1 konstanta
    v0 = 0,2 m·s−1 počáteční rychlost kostky
    tz = ? čas zastavení kostky
    xz = ? dráha zastavení kostky
  • Nápověda 1 – zrychlení kostky ledu

    Uvědomte si, jaké síly působí na kostku ledu. Napište pro ni pohybovou rovnici a vyjádřete z ní zrychlení.

  • Nápověda 2 – závislost rychlosti a dráhy na čase

    Ve vztahu (2) jste získali zrychlení. Integrací zrychlení dostanete rychlost a integrací rychlosti dráhu.

  • Nápověda 3 – čas zastavení

    Uvědomte si, jaká bude rychlost kostky ledu v okamžiku zastavení.

  • Nápověda 4 – dráha zastavení

    Známe čas zastavení a také závislost uražené dráhy na čase. Dráhu zastavení spočítáme dosazením času zastavení do tohoto vztahu.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku nakreslíme síly působící na kostku ledu a napíšeme pro ni pohybovou rovnici.

    Síly působící na kostku ledu:

    \(\vec{F}_{G}\)…síla tíhová

    \(\vec{N}\)…síla, kterou tlačí podložka na kostku ledu

    \(\vec{F}_{x}\)…časově proměnlivá síla působící na kostku ledu

    Pohybová rovnice pro kostku ledu:

    \[\vec{F}_{x}+\vec{F}_{g}+\vec{N}\,=\, m\vec{a}\tag{1}\]
    Síly působící na kostku ledu

    Pohybovou rovnici přepíšeme skalárně. Osu x zvolíme ve směru pohybu kostky ledu. Osa y je kolmá na osu x:

    \[x:\qquad F_x \,=\, ma\] \[(q-t) \,=\, ma\] \[\frac{p(q-t)}{m} \,=\, a\tag{2}\] \[y:\qquad N - F_G\,=\,0\tag{3}\]

    (zrychlení kostky ledu ve směru osy y je nulové)

    Integrací zrychlení ve vztahu (2) dostaneme závislost rychlosti na čase:

    \[v(t)=\int{a(t)}\,dt\] \[v(t)\,= \int{\frac{p(q-t)}{m}}\,\mathrm{d}t\,= \int{\frac{pq}{m}}\,\mathrm{d}t\,-\int{\frac{pt}{m}}\,\mathrm{d}t\,= \frac{pgt}{m}\,-\,\frac{pt^2}{2m}+C\tag{4}\]

    V čase t = 0 s je rychlost rovna v0. Platí tedy:

    \[v_0\,=\,\frac{pg}{m}\cdot0\,-\,\frac{p\cdot0}{2m}\,+\,C\]

    Odtud:

    \[v_0\,=\,C\]

    Dosazením do vztahu (4) dostáváme:

    \[v(t)\,=\,\frac{pgt}{m}\,-\,\frac{pt^2}{2m}\,+\,v_0\tag{5}\]

    Integrací rychlosti ve vztahu (5) dostaneme závislost dráhy na čase:

    \[x(t)\,=\,\int{v(t)}\,\mathrm{d}t\] \[x(t)\,=\, \int{(\frac{pqt}{m}\,-\,\frac{pt^2}{2m}\,+\,v_0})\,\mathrm{d}t\,=\, \frac{pqt^2}{2m}\,-\,\frac{pt^3}{6m}\,+\,v_0t\,+\,K\tag{6}\]

    V čase t = 0 s je uražená dráha 0 m. Platí tedy:

    \[0\,=\,\frac{pq\cdot0}{2m}\,-\,\frac{p\cdot0}{6m}\,+\,v_0{\cdot}0\,+\,K\]

    Odtud:

    \[0\,=\,K\]

    Dosazením do vztahu (6) dostaneme:

    \[x(t)\,=\,\frac{pqt^2}{2m}\,-\,\frac{pt^3}{6m}\,+\,v_0t\tag{7}\]

    V okamžiku zastavení je rychlost rovna nule.

    Pro čas zastavení tz tedy podle vztahu (5) platí:

    \[0=\frac{pqt_z}{m}-\frac{pt_z^2}{2m}+v_0\]

    Dostáváme kvadratickou rovnici s neznámou tz:

    \[0=-\frac{pt_z^2}{2m}+\frac{pqt_z}{m}+v_0\tag{8}\]

    Vyřešíme rovnici (8), nejprve spočteme diskriminant:

    \[D=\frac{p^2q^2}{m^2}-4\left(-\frac{v_0p}{2m}\right)= \frac{p}{m}\left(\frac{pq^2}{m}+2v_0\right)\]

    Dále spočteme neznámou tz, dostáváme 2 matematická řešení:

    \[t_{z_1}=\frac{-\frac{pq}{m}+\sqrt{D}}{-\frac{p}{m}}\] \[t_{z_2}=\frac{-\frac{pq}{m}-\sqrt{D}}{-\frac{p}{m}}\]

    Odtud po dosazení D dostáváme:

    \[t_{z_1}=\frac{-\frac{pq}{m}+\sqrt{\frac{p}{m} \left(\frac{pq^2}{m}+2v_0\right)}}{-\frac{p}{m}}=q-\frac{m}{p}\sqrt{\frac{p}{m} \left(\frac{pq^2}{m}+2v_0\right)}\] \[t_{z_1}=q-\sqrt{q^2+\frac{2mv_0}{p}}\tag{9}\] \[t_{z_2}=\frac{-\frac{pq}{m}-\sqrt{\frac{p}{m}\left(\frac{pq^2}{m}+2v_0\right)}}{-\frac{p}{m}}= q+\frac{m}{p}\sqrt{\frac{p}{m}\left(\frac{pq^2}{m}+2v_0\right)}\] \[t_{z_2}=q+\sqrt{q^2+\frac{2mv_0}{p}}\tag{10}\]

    Do vztahu (9) a (10) dosadíme číselně:

    \[t_{z_1}=1-\sqrt{1^2+\frac{2{\cdot}10\cdot0{,}2}{100}}=1-\sqrt{\frac{104}{100}}= 1-1{,}02=-0{,}02\,\textrm{s}\] \[t_{z_2}=1+\sqrt{1^2+\frac{2{\cdot}10\cdot0{,}2}{100}}=1+\sqrt{\frac{104}{100}}= 1+1{,}02=2{,}02\,\textrm{s}\tag{11}\]

    Fyzikální význam má jen kladný čas \(t_{z_2}\) z výsledku (11).

    Známe čas zastavení tz2 = tz ve výsledku (11) a také závislost uražené dráhy na čase ze vztahu (7):

    \[x(t)=\frac{pqt^2}{2m}\,-\,\frac{pt^3}{6m}+v_0t\tag{7}\] \[t_z=2{,}02\,\mathrm{s}\tag{11}\]

    Dráhu zastavení spočítáme dosazením času zastavení (11) do vztahu (7):

    \[x(t_z)=\frac{pqt_z^2}{2m}\,-\,\frac{pt_z^3}{6m}+v_0t_z\]

    Dosadíme číselně:

    \[x(t_z)=\left(\frac{100{\cdot}1\cdot(2{,}02)^2}{2{\cdot}10}\,-\, \frac{100\cdot\left(2{,}02\right)^3}{6{\cdot}10}\,+\,0{,}2{\cdot}2{,}02\right)\,\textrm{m}\] \[x(t_z)=\left(20{,}40\,-\,13{,}74\,+\,0{,}40\right)\,\textrm{m}=7{,}06\,\textrm{m}\tag{12}\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Kostka ledu se zastavila za 2,02 s ve vzdálenosti 7,06 m od počátku zvolené soustavy souřadnic.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze