Brzdná dráha vlaku

Úloha číslo: 109

Vlak jedoucí rychlostí 72 km·h−1 začne před stanicí brzdit. Zastaví za 2 minuty . Jak daleko před stanicí musí strojvůdce začít brzdit?

Předpokládejte, že během brzdění se jedná o pohyb rovnoměrně zpomalený.

  • Zápis

    v0 = 72 km·h−1 počáteční rychlost vlaku
    tz = 2 min doba, za kterou vlak zastaví
    sz = ? (m) dráha, kterou vlak ujede během brždění
  • Nápověda 1: Početní řešení – rychlost a zrychlení vlaku

    Jak se mění rychlost vlaku s časem? Jaká bude rychlost vlaku na konci pohybu? Jaké bude zrychlení vlaku? (Znáte počáteční a koncovou rychlost a čas zastavení.)

  • Nápověda 2: Početní řešení – dráha vlaku

    Jakou dráhu vlak urazí do zastavení? Znáte počáteční rychlost, čas zastavení i zrychlení.

  • Nápověda 3: Grafické řešení

    Úlohu je možné řešit také graficky.

    Nakreslete graf závislosti rychlosti vlaku na čase. Kde je v grafu schovaná dráha?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Početní řešení:

    Pro rychlost a dráhu rovnoměrně zpomaleného pohybu platí:

    \[v\,=\,v_0\,-\,at\,,\] \[s\,=\,v_0t\,-\,\frac{1}{2}at^{2}\,.\]

    Vlak ve stanici zastaví, proto bude pro konečnou rychlost vlaku platit, že v = 0, tedy:

    \[0\,=\,v_0\,-\,at_z\,.\]

    Odtud:

    \[a\,=\,\frac{v_0}{t_z}.\]

    Během brzdění až do zastavení projede vlak dráhu:

    \[s_z\,=\,v_0t_z \,-\, \frac{1}{2}at_z^{2}\,.\]

    Dosadíme za zrychlení a upravíme:

    \[s_z \,=\, v_0t_z \,-\, \frac{1}{2}\,\frac{v_0}{t_z}\,t_z^{2} \,=\, \frac{v_0\,t_z}{2}\,.\]

    Číselně:

    Zadané hodnoty převedeme na základní jednotky a dosadíme.

    v0 = 72 km·h−1 = 20 m·s−1,

    tz = 2 min = 120 s,

    Sz = 1 200 m = 1,2 km.

     

    Grafické řešení:

    Nakreslíme graf závislosti rychlosti vlaku na čase.

    Graf

    Dráha je rovna ploše pod křivkou:

    \[s_z = \frac{v_0t_z}{2}\,.\]

    Číselně po převedení na základní jednotky:

    \[s_z \,=\, \frac{20{\cdot} 120}{2}\,\mathrm{m} \,=\, 1\,200\,\mathrm{m}\,=\,1{,}2\,\mathrm{km}\,.\]
  • Odpověď

    Místo, ve kterém musí strojvůdce začít brzdit, je od stanice vzdáleno:

    \[s_z\,=\,\frac{v_0\,t_z}{2}\,.\]

    Číselně, po převedení jednotek:

    \[s_z\,=\,1\,200\,\mathrm{m}\,=\,1{,}2\,\mathrm{km}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze