Brzdná dráha vlaku
Úloha číslo: 109
Vlak jedoucí rychlostí 72 km·h−1 začne před stanicí brzdit. Zastaví za 2 minuty. Jak daleko před stanicí musí strojvůdce začít brzdit?
Předpokládejte, že během brzdění se jedná o pohyb rovnoměrně zpomalený.
Zápis
v0 = 72 km·h−1 počáteční rychlost vlaku tz = 2 min doba, za kterou vlak zastaví sz = ? (m) dráha, kterou vlak ujede během brždění Nápověda 1: Početní řešení – rychlost a zrychlení vlaku
Jak se mění rychlost vlaku s časem? Jaká bude rychlost vlaku na konci pohybu? Jaké bude zrychlení vlaku? (Znáte počáteční a koncovou rychlost a čas zastavení.)
Nápověda 2: Početní řešení – dráha vlaku
Jakou dráhu vlak urazí do zastavení? Znáte počáteční rychlost, čas zastavení i zrychlení.
Nápověda 3: Grafické řešení
Úlohu je možné řešit také graficky.
Nakreslete graf závislosti rychlosti vlaku na čase. Kde je v grafu schovaná dráha?
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Početní řešení:
Pro rychlost a dráhu rovnoměrně zpomaleného pohybu platí:
\[v\,=\,v_0\,-\,at\,,\] \[s\,=\,v_0t\,-\,\frac{1}{2}at^{2}\,.\]Vlak ve stanici zastaví, proto bude pro konečnou rychlost vlaku platit, že v = 0, tedy:
\[0\,=\,v_0\,-\,at_\mathrm{z}\,.\]Odtud:
\[a\,=\,\frac{v_0}{t_\mathrm{z}}.\]Během brzdění až do zastavení projede vlak dráhu:
\[s_\mathrm{z}\,=\,v_0t_\mathrm{z} \,-\, \frac{1}{2}at_\mathrm{z}^{2}\,.\]Dosadíme za zrychlení a upravíme:
\[s_\mathrm{z} \,=\, v_0t_\mathrm{z} \,-\, \frac{1}{2}\,\frac{v_0}{t_\mathrm{z}}\,t_\mathrm{z}^{2} \,=\, \frac{v_0\,t_\mathrm{z}}{2}\,.\]Číselně:
Zadané hodnoty převedeme na základní jednotky a dosadíme:
v0 = 72 km·h−1 = 20 m·s−1,
tz = 2 min = 120 s,
Sz = 1 200 m = 1,2 km.
Grafické řešení:
Nakreslíme graf závislosti rychlosti vlaku na čase.
Dráha je rovna ploše pod křivkou:
\[s_\mathrm{z} = \frac{v_0t_\mathrm{z}}{2}\,.\]Číselně po převedení na základní jednotky:
\[s_\mathrm{z} \,=\, \frac{20{\cdot} 120}{2}\,\mathrm{m} \,=\, 1\,200\,\mathrm{m}\,=\,1{,}2\,\mathrm{km}\,.\]Odpověď
Místo, ve kterém musí strojvůdce začít brzdit, je od stanice vzdáleno:
\[s_\mathrm{z}\,=\,\frac{v_0\,t_\mathrm{z}}{2}\,.\]Číselně, po převedení jednotek:
\[s_\mathrm{z}\,=\,1\,200\,\mathrm{m}\,=\,1{,}2\,\mathrm{km}\,.\]
