Sbírka řešených úloh

Pohyb daný graficky II

Úloha číslo: 134

Grafy na obrázcích:

a) Považujte za průběhy souřadnice x(t) přímočarého pohybu a nakreslete k nim příslušné grafy v_x(t).

b) Považujte za průběhy souřadnice rychlosti v_x(t) přímočarého pohybu a nakreslete k nim příslušné průběhy x(t).

Znázorňují grafy reálné pohyby? Zkuste je znázornit pohybem prstu.

• Nápověda 1 pro a): Rozdělení na intervaly

  Považujte grafy na obrázcích za průběhy funkcí x(t), kde x(t) je závislost souřadnice x na čase t.

  Rozdělte si průběhy funkcí na jednotlivé časové intervaly.

  Jak se na nich souřadnice s časem mění? Zapište to rovnicemi.

• Řešení k nápovědě 1

  Poznámka: Rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.

  x(t) = 2 m·s⁻¹t +1m.

  Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

  U grafu I. jsou to následující časové intervaly:

  <0; 1 s> funkcí je přímka x(t) = 2t (souřadnice rovnoměrně narůstá),

  (1 s; 3 s> funkcí je přímka x(t) = −2t + 4 (souřadnice rovnoměrně klesá),

  (3 s; 5 s> funkcí je přímka x(t) = 2t − 8 (souřadnice rovnoměrně roste),

  (5 s; 6 s> funkcí je přímka x(t) = −2t + 12 (souřadnice rovnoměrně klesá).

  U grafu II. jsou to následující časové intervaly:

  <0; 0,5 s> funkcí je přímka x(t) = 4t (souřadnice rovnoměrně narůstá),

  (0,5 s; 2,5 s> funkcí je přímka x(t) = 2 (souřadnice se nemění),

  (2,5 s; 3,5 s> funkcí je přímka x(t) = −4t + 12 (souřadnice rovnoměrně klesá),

  (3,5 s; 5,5 s> funkcí je přímka x(t) = −2 (souřadnice se nemění),

  (5,5 s; 6,5 s> funkcí je přímka x(t) = 4t − 24 (souřadnice rovnoměrně roste),

  (6,5 s; 8,5 s> funkcí je přímka x(t) = 2 (souřadnice se nemění).

• Nápověda 2 pro a): Popisy pohybů

  Z rovnic závislostí x(t) v předchozí nápovědě odvoďte rovnice závislostí v_x(t) pro jednotlivé časové intervaly a nakreslete průběhy funkcí v_x(t) v těchto intervalech.

  Jaký pohyb funkce představují?

• Řešení k nápovědě 2

  Závislost souřadnice rychlosti na čase v_x(t) získáme derivováním závislosti souřadnice na čase x(t).

  Graf I.:

  Na intervalu <0; 1 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{d(2t)}{\mathrm{d}t} = 2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (1 s; 3 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2t + 4)}{\mathrm{d}t} \,= -2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3 s; 5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(2t - 8)}{\mathrm{d}t} \,=\, 2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (5 s; 6 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2t + 12)}{\mathrm{d}t} \,=\, -2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ proti směru osy x.

  

  Graf II.:

  Na intervalu <0; 0,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(4t)}{\mathrm{d}t} \,=\, 4.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (0,5 s; 2,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

  Objekt se nepohybuje, je v klidu (v_x = 0 m·s⁻¹).

   

  Na intervalu (2,5 s; 3,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-4t + 12)}{\mathrm{d}t} \,=\, -4.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s⁻¹ proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3,5 s; 5,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

  Objekt se nepohybuje, je v klidu (v_x = 0 m·s⁻¹).

   

  Na intervalu (5,5 s; 6,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(4t - 24)}{\mathrm{d}t} \,=\, 4.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (6,5 s; 8,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}(2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

  Objekt se nepohybuje, je v klidu (v_x = 0 m·s⁻¹).

  

• Nápověda 3 pro a): Reálnost pohybu

  Zkuste si znázornit uvedené pohyby pohybem prstu. Jsou možné skokové přechody rychlosti podle grafu?

• Řešení k nápovědě 3

  Při reálném pohybu se nemůže rychlost skokem změnit. Prst musí postupně zpomalit na nulovou rychlost a pak se rozjet na druhou stranu. V grafu x(t) by pro reálný pohyb nebyly ostré špičky.

• Nápověda 4 pro b): Rozdělení na intervaly

  Považujte grafy na obrázcích za průběhy funkcí v_x(t), kde v_x(t) je závislost souřadnice rychlosti v na čase t.

  Postupujte podobně jako u Nápovědy 1 a 2 pro a):

  Rozdělte si průběhy funkcí na jednotlivé intervaly. O jaké funkce se na jednotlivých intervalech jedná? Napište jejich rovnice.

• Řešení k nápovědě 4

  Poznámka: Opět pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

  U grafu I. jsou to následující intervaly:

  <0; 1 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2t,

  (1 s; 3 s> funkcí je přímka v_x(t) = −2t + 4,

  (3 s; 5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2t − 8,

  (5 s; 6 s> funkcí je přímka v_x(t) = −2t + 12.

  U grafu II. jsou to následující intervaly:

  <0; 0,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 4t,

  (0,5 s; 2,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2,

  (2,5 s; 3,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = −4t + 12,

  (3,5 s; 5,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = −2,

  (5,5 s; 6,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 4t − 24,

  (6,5 s; 8,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2.

• Nápověda 5 pro b): Popisy pohybů

  Z rovnic závislostí v_x(t) v předchozí nápovědě odvoďte rovnice závislostí x(t) pro jednotlivé intervaly a nakreslete průběhy funkcí x(t) na těchto intervalech.

  Jaký pohyb funkce představují?

• Řešení k nápovědě 5

  Závislost souřadnice x(t) na čase získáme integrováním závislosti souřadnice rychlosti v_x(t) na čase.

  Poznámka: Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích opět nepíšeme.

   

  Graf I.:

  Na intervalu <0; 1 s>:

  \[x(t)\,=\,\int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2t}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t)\,=\, t^{2}+A.\]

  Konstantu A zjistíme z počátečních podmínek:

  V čase t = 0 s je x(0) = 0 m, po dosazení A = 0:

  \[x(t) \,=\, t^{2}.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

   

  Na intervalu (1 s; 3 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-2t+4)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, -t^{2}+4t+B.\]

  Konstantu B zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 1 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,t^{2}\), tedy x(1) = 1 m.

  Po dosazení: 1 = −1² + 4·1 + B, a tedy B = −2.

  \(x(t) \,=\, -t^{2}+4t-2\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x. V čase t = 2 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3 s; 5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(2t-8)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, t^{2}-8t+C.\]

  Konstantu C zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 3 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-t^{2}+4t-2\), tedy x(3) = 1 m.

  Po dosazení: 1 = 3²−8·3 + C, a tedy C = 16.

  \(x(t)\,=\,t^{2}-8t+16\)

  Objekt se začne pohybovat rovnoměrně zpomaleně přímočaře proti směru osy x. V čase t = 4 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

   

  Na intervalu (5 s; 6 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-2t+12)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t)\,=\,-t^{2}+12t+D.\]

  Konstantu D zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x\,=\,t^{2}-8t+16\), tedy x(5) = 1 m.

  Po dosazení: 1 = −5²+12·5 + D, a tedy D = −34.

  \(x(t) \,=\, -t^{2}+12t-34\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x.

  

  Graf II.:

  Na intervalu <0; 0,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{4t}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t^{2}+E.\]

  Konstantu E zjistíme z počátečních podmínek:

  V čase t = 0 s je x(0) = 0 m, po dosazení E = 0.

  \(x(t) \,=\, 2t^{2}\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

   

  Na intervalu (0,5 s; 2,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t+F. \]

  Konstantu F zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 0,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t^{2}\), tedy x(0,5) = 0,5 m.

  Po dosazení: 0,5 = 2·0,5+F, a tedy F = −0,5.

  \(x(t) \,=\, 2t-0{,}5\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (2,5 s; 3,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-4t+12)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, -2t^{2}+12t+G.\]

  Konstantu G zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 2,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t-0{,}5\), tedy x(2,5) = 4,5 m.

  Po dosazení: 4,5 = −2·2,5² + 12·2,5 + G, a tedy G = −13.

  \(x(t) \,=\, -2t^{2}+12t-13\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x. V čase t = 3 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3,5 s; 5,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{-2}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, -2t+H. \]

  Konstantu H zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 3,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-2t^{2}+12t-13\), tedy x(3,5) = 4,5 m.

  Po dosazení: 4,5 = −2·3,5 + H, a tedy H = 11,5.

  \(x(t) \,=\, -2t+11{,}5 \)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ proti směru osy x.

   

  Na intervalu (5,5 s; 6,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(4t-24)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t^{2}-24t+K.\]

  Konstantu K zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 5,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-2t+11{,}5 \), tedy x(5,5) = 0,5 m.

  Po dosazení: 0,5 = 2·5,5²−24·5,5 + K, a tedy K = 72.

  \(x(t) \,=\, 2t^{2}-24t+72\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře proti směru osy x. V čase t = 6 s je rychlost pohybu nulová směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně ve směru osy x.

   

  Na intervalu (6,5 s; 8,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t+L. \]

  Konstantu L zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 6,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t^{2}-24t+72\), tedy x(6,5) = 0,5 m.

  Po dosazení: 0,5 = 2·6,5 + L, a tedy L = −12,5.

  \(x(t) \,=\, 2t-12{,}5 \)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

  

• Nápověda 6 pro b): Reálnost pohybu

  Zkuste si znázornit uvedené pohyby pohybem prstu.

• Řešení k nápovědě 6

  Jedná se o reálný pohyb.

  Graf I: Prst se pohybuje např. směrem doprava a po dobu 1 s rovnoměrně zrychluje. Pak začne ve stejném směru po dobu 1 s rovnoměrně zpomalovat. V čase 2 s je jeho rychlost nulová a směr pohybu se obrací. Prst se pohybuje směrem doleva a po dobu 1 s rovnoměrně zrychluje, pak začne ve stejném směru po dobu 1 s rovnoměrně zpomalovat. V čase 4 s je ve stejném místě, kde pohyb začínal, jeho rychlost je nulová a pohyb se začíná opakovat.

   

  Graf II: Prst se pohybuje např. směrem doprava a po dobu 0,5 s rovnoměrně zrychluje, pak se pohybuje rovnoměrně přímočaře po dobu 2 s. Poté začne jeho rychlost rovnoměrně klesat, a to po dobu 0,5 s až na nulu. Pak se směr pohybu obrátí, rychlost prstu po dobu 0,5 s rovnoměrně narůstá, pak je jeho pohyb po dobu 2 s opět rovnoměrně přímočarý a pak po dobu 0,5 s rychlost rovnoměrně klesá až na nulu. V čase t = 6 s je prst ve stejném místě, kde pohyb začínal, jeho rychlost je nulová a pohyb se začíná opakovat.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  bod a):

  Považujme grafy na obrázcích za průběhy funkcí x(t), kde x(t) je závislost souřadnice x na čase t.

  Rozdělíme si průběhy funkcí na jednotlivé časové intervaly.

  Zjistíme, o jaké funkce se na jednotlivých intervalech jedná, a napíšeme jejich rovnice.

  Poznámka: Rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.

  x = 1 m − 2 m·s⁻¹.t,

  Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

   

  U grafu I. jsou to následující časové intervaly:

  <0; 1 s> funkcí je přímka x(t) = 2t (souřadnice rovnoměrně narůstá),

  (1 s; 3 s> funkcí je přímka x(t) = −2t + 4 (souřadnice rovnoměrně klesá),

  (3 s; 5 s> funkcí je přímka x(t) = 2t − 8 (souřadnice rovnoměrně roste),

  (5 s; 6 s> funkcí je přímka x(t) = −2t + 12 (souřadnice rovnoměrně klesá).

  U grafu II. jsou to následující časové intervaly:

  <0; 0,5 s> funkcí je přímka x(t) = 4t (souřadnice rovnoměrně narůstá),

  (0,5 s; 2,5 s> funkcí je přímka x(t) = 2 (souřadnice se nemění),

  (2,5 s; 3,5 s> funkcí je přímka x(t) = −4t + 12 (souřadnice rovnoměrně klesá),

  (3,5 s; 5,5 s> funkcí je přímka x(t) = −2 (souřadnice se nemění),

  (5,5 s; 6,5 s> funkcí je přímka x(t) = 4t − 24 (souřadnice rovnoměrně roste),

  (6,5 s; 8,5 s> funkcí je přímka x(t) = 2 (souřadnice se nemění).

   

  Z rovnic závislostí x(t) odvodíme rovnice závislostí v_x(t) pro jednotlivé intervaly a nakreslíme průběhy funkcí v_x(t) na těchto intervalech.

  Závislost souřadnice rychlosti na čase v_x(t) získáme derivováním závislosti souřadnice na čase x(t).

  Graf I.:

  Na intervalu <0; 1 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{d(2t)}{\mathrm{d}t} = 2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (1 s; 3 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2t + 4)}{\mathrm{d}t} \,= -2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3 s; 5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(2t - 8)}{\mathrm{d}t} \,=\, 2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (5 s; 6 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2t + 12)}{\mathrm{d}t} \,=\, -2.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ proti směru osy x.

  

  Graf II.:

  Na intervalu <0; 0,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(4t)}{\mathrm{d}t} \,=\, 4.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (0,5 s; 2,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

  Objekt se nepohybuje, je v klidu (v_x = 0 m·s⁻¹).

   

  Na intervalu (2,5 s; 3,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-4t + 12)}{\mathrm{d}t} \,=\, -4.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s⁻¹ proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3,5 s; 5,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

  Objekt se nepohybuje, je v klidu (v_x = 0 m·s⁻¹).

   

  Na intervalu (5,5 s; 6,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(4t - 24)}{\mathrm{d}t} \,=\, 4.\]

  Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (6,5 s; 8,5 s>:

  \[v_\mathrm{x}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}(2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

  Objekt se nepohybuje, je v klidu (v_x = 0 m·s⁻¹).

  

   

  Nejde o reálné pohyby.

  Při reálném pohybu se nemůže rychlost skokem změnit. Při znázornění pohybem prstu musí prst postupně zpomalit na nulovou rychlost a pak se rozjet na druhou stranu. V grafu x(t) by pro reálný pohyb nebyly ostré špičky.

   

  bod b):

  Postupujeme obdobně jako u a).

  Poznámka: Opět pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

   

  Grafy na obrázcích považujeme za průběhy funkcí v_x(t), kde v_x(t) je závislost souřadnice rychlosti v na čase t.

  Průběhy funkcí si rozdělíme na jednotlivé intervaly. Napíšeme, o jaké funkce se na jednotlivých intervalech jedná, a zapíšeme je rovnicí.

  U grafu I. jsou to následující intervaly:

  <0; 1 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2t,

  (1 s; 3 s> funkcí je přímka v_x(t) = −2t + 4,

  (3 s; 5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2t − 8,

  (5 s; 6 s> funkcí je přímka v_x(t) = −2t + 12.

  U grafu II. jsou to následující intervaly:

  <0; 0,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 4t,

  (0,5 s; 2,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2,

  (2,5 s; 3,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = −4t + 12,

  (3,5 s; 5,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = −2,

  (5,5 s; 6,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 4t − 24,

  (6,5 s; 8,5 s> funkcí je přímka v_x(t) = 2.

   

  Z rovnic závislostí v_x(t) v předchozí nápovědě odvodíme rovnice závislostí x(t) pro jednotlivé intervaly a nakreslíme průběhy funkcí x(t) na těchto intervalech.

   

  Závislost souřadnice x(t) na čase získáme integrováním závislosti souřadnice rychlosti v_x(t) na čase.

  Poznámka: Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích opět nepíšeme.

   

  Graf I.:

  Na intervalu <0; 1 s>:

  \[x(t)\,=\,\int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2t}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t)\,=\, t^{2}+A.\]

  Konstantu A zjistíme z počátečních podmínek:

  V čase t = 0 s je x(0) = 0 m, po dosazení A = 0.

  \(x(t) \,=\, t^{2}\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

   

  Na intervalu (1 s; 3 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-2t+4)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, -t^{2}+4t+B.\]

  Konstantu B zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 1 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,t^{2}\), tedy x(1) = 1 m.

  Po dosazení: 1 = −1² + 4·1 + B, a tedy B = −2.

  \(x(t) \,=\, -t^{2}+4t-2\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x. V čase t = 2 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3 s; 5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(2t-8)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, t^{2}-8t+C.\]

  Konstantu C zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 3 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-t^{2}+4t-2\), tedy x(3) = 1 m.

  Po dosazení: 1 = 3²−8·3 + C, a tedy C = 16.

  \(x(t)\,=\,t^{2}-8t+16\)

  Objekt se začne pohybovat rovnoměrně zpomaleně přímočaře proti směru osy x. V čase t = 4 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

   

  Na intervalu (5 s; 6 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-2t+12)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t)\,=\,-t^{2}+12t+D.\]

  Konstantu D zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x\,=\,t^{2}-8t+16\), tedy x(5) = 1 m.

  Po dosazení: 1 = −5²+12·5 + D, a tedy D = −34.

  \(x(t) \,=\, -t^{2}+12t-34\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x.

  

  Graf II.:

  Na intervalu <0; 0,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{4t}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t^{2}+E.\]

  Konstantu E zjistíme z počátečních podmínek:

  V čase t = 0 s je x(0) = 0 m, po dosazení E = 0.

  \(x(t) \,=\, 2t^{2}\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

   

  Na intervalu (0,5 s; 2,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t+F. \]

  Konstantu F zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 0,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t^{2}\), tedy x(0,5) = 0,5 m.

  Po dosazení: 0,5 = 2·0,5+F, a tedy F = −0,5.

  \(x(t) \,=\, 2t-0{,}5\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

   

  Na intervalu (2,5 s; 3,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-4t+12)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, -2t^{2}+12t+G.\]

  Konstantu G zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 2,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t-0{,}5\), tedy x(2,5) = 4,5 m.

  Po dosazení: 4,5 = −2·2,5² + 12·2,5 + G, a tedy G = −13.

  \(x(t) \,=\, -2t^{2}+12t-13\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x. V čase t = 3 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně proti směru osy x.

   

  Na intervalu (3,5 s; 5,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{-2}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, -2t+H. \]

  Konstantu H zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 3,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-2t^{2}+12t-13\), tedy x(3,5) = 4,5 m.

  Po dosazení: 4,5 = −2·3,5 + H, a tedy H = 11,5.

  \(x(t) \,=\, -2t+11{,}5 \)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ proti směru osy x.

   

  Na intervalu (5,5 s; 6,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(4t-24)}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t^{2}-24t+K.\]

  Konstantu K zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 5,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-2t+11{,}5 \), tedy x(5,5) = 0,5 m.

  Po dosazení: 0,5 = 2·5,5²−24·5,5 + K, a tedy K = 72.

  \(x(t) \,=\, 2t^{2}-24t+72\)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře proti směru osy x. V čase t = 6 s je rychlost pohybu nulová směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně ve směru osy x.

   

  Na intervalu (6,5 s; 8,5 s>:

  \[x(t) \,=\, \int{v_\mathrm{x}(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2}\mathrm{d}t,\]

  \[x(t) \,=\, 2t+L. \]

  Konstantu L zjistíme z počátečních podmínek:

  Souřadnici v čase t = 6,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t^{2}-24t+72\), tedy x(6,5) = 0,5 m.

  Po dosazení: 0,5 = 2·6,5 + L, a tedy L = −12,5.

  \(x(t) \,=\, 2t-12{,}5 \)

  Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s⁻¹ ve směru osy x.

  

   

  Jedná se o reálný pohyb.

  Graf I: Prst se pohybuje např. směrem doprava a po dobu 1 s rovnoměrně zrychluje, pak začne ve stejném směru po dobu 1 s rovnoměrně zpomalovat. V čase 2 s je jeho rychlost nulová a směr pohybu se obrací. Prst se pohybuje směrem doleva a po dobu 1 s rovnoměrně zrychluje, pak začne ve stejném směru po dobu 1 s rovnoměrně zpomalovat. V čase 4 s je ve stejném místě, kde pohyb začínal, jeho rychlost je nulová a pohyb se začíná opakovat.

   

  Graf II: Prst se pohybuje např. směrem doprava a po dobu 0,5 s rovnoměrně zrychluje, pak se pohybuje rovnoměrně přímočaře po dobu 2 s. Poté začne jeho rychlost rovnoměrně klesat, a to po dobu 0,5 s až na nulu. Pak se směr pohybu obrátí, rychlost prstu po dobu 0,5 s rovnoměrně narůstá, pak je jeho pohyb po dobu 2 s opět rovnoměrně přímočarý a pak po dobu 0,5 s rychlost rovnoměrně klesá až na nulu. V čase t = 6 s je prst ve stejném místě, kde pohyb začínal, jeho rychlost je nulová a pohyb se začíná opakovat.

• Odpověď

  a)

  

  

  Nejde o reálné pohyby.

  b)

  

  

  Jde o reálné pohyby.