Pohyb daný graficky II

Úloha číslo: 134

Grafy na obrázcích:

a) Považujte za průběhy souřadnice x(t) přímočarého pohybu a nakreslete k nim příslušné grafy vx(t).

b) Považujte za průběhy souřadnice rychlosti vx(t) přímočarého pohybu a nakreslete k nim příslušné průběhy x(t).

Znázorňují grafy reálné pohyby? Zkuste je znázornit pohybem prstu.

Graf I
Graf II
  • Nápověda 1 pro a): Rozdělení na intervaly

    Považujte grafy na obrázcích za průběhy funkcí x(t), kde x(t) je závislost souřadnice x na čase t.

    Rozdělte si průběhy funkcí na jednotlivé časové intervaly.

    Jak se na nich souřadnice s časem mění? Zapište to rovnicemi.

  • Nápověda 2 pro a): Popisy pohybů

    Z rovnic závislostí x(t) v předchozí nápovědě odvoďte rovnice závislostí vx(t) pro jednotlivé časové intervaly a nakreslete průběhy funkcí vx(t) v těchto intervalech.

    Jaký pohyb funkce představují?

  • Nápověda 3 pro a): Reálnost pohybu

    Zkuste si znázornit uvedené pohyby pohybem prstu. Jsou možné skokové přechody rychlosti podle grafu?

  • Nápověda 4 pro b): Rozdělení na intervaly

    Považujte grafy na obrázcích za průběhy funkcí vx(t), kde vx(t) je závislost souřadnice rychlosti v na čase t.

    Postupujte podobně jako u Nápovědy 1 a 2 pro a):

    Rozdělte si průběhy funkcí na jednotlivé intervaly. O jaké funkce se na jednotlivých intervalech jedná? Napište jejich rovnice.

  • Nápověda 5 pro b): Popisy pohybů

    Z rovnic závislostí vx(t) v předchozí nápovědě odvoďte rovnice závislostí x(t) pro jednotlivé intervaly a nakreslete průběhy funkcí x(t) na těchto intervalech.

    Jaký pohyb funkce představují?

  • Nápověda 6 pro b): Reálnost pohybu

    Zkuste si znázornit uvedené pohyby pohybem prstu.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    bod a):

    Považujme grafy na obrázcích za průběhy funkcí x(t), kde x(t) je závislost souřadnice x na čase t.

    Rozdělíme si průběhy funkcí na jednotlivé časové intervaly.

    Zjistíme, o jaké funkce se na jednotlivých intervalech jedná a napíšeme jejich rovnice.

    Poznámka: Rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.

    x = 1 m − 2 m·s−1.t,

    Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

     

    U grafu I. jsou to následující časové intervaly:

    <0; 1 s> funkcí je přímka x(t) = 2t (souřadnice rovnoměrně narůstá),

    (1 s; 3 s> funkcí je přímka x(t) = −2t + 4 (souřadnice rovnoměrně klesá),

    (3 s; 5 s> funkcí je přímka x(t) = 2t − 8 (souřadnice rovnoměrně roste),

    (5 s; 6 s> funkcí je přímka x(t) = −2t + 12 (souřadnice rovnoměrně klesá).

    U grafu II. jsou to následující časové intervaly:

    <0; 0,5 s> funkcí je přímka x(t) = 4t (souřadnice rovnoměrně narůstá),

    (0,5 s; 2,5 s> funkcí je přímka x(t) = 2 (souřadnice se nemění),

    (2,5 s; 3,5 s> funkcí je přímka x(t) = −4t + 12 (souřadnice rovnoměrně klesá),

    (3,5 s; 5,5 s> funkcí je přímka x(t) = −2 (souřadnice se nemění),

    (5,5 s; 6,5 s> funkcí je přímka x(t) = 4t − 24 (souřadnice rovnoměrně roste),

    (6,5 s; 8,5 s> funkcí je přímka x(t) = 2 (souřadnice se nemění).

     

    Z rovnic závislostí x(t) odvodíme rovnice závislostí vx(t) pro jednotlivé intervaly a nakreslíme průběhy funkcí vx(t) na těchto intervalech.

    Závislost souřadnice rychlosti na čase vx(t) získáme derivováním závislosti souřadnice na čase x(t).

    Graf I.:

    Na intervalu <0; 1 s>:

    \[v_x(t) = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{d(2t)}{\mathrm{d}t} = 2.\]

    Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s−1 ve směru osy x.

     

    Na intervalu (1 s; 3 s>:

    \[v_x(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2t + 4)}{\mathrm{d}t} \,= -2.\]

    Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s−1 proti směru osy x.

     

    Na intervalu (3 s; 5 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(2t - 8)}{\mathrm{d}t} \,=\, 2.\]

    Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s−1 ve směru osy x.

     

    Na intervalu (5 s; 6 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2t + 12)}{\mathrm{d}t} \,=\, -2.\]

    Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s−1 proti směru osy x.

    Graf I - závislost rychlosti na čase

    Graf II.:

    Na intervalu <0; 0,5 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(4t)}{\mathrm{d}t} \,=\, 4.\]

    Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s−1 ve směru osy x.

     

    Na intervalu (0,5 s; 2,5 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

    Objekt se nepohybuje, je v klidu (vx = 0 m·s−1).

     

    Na intervalu (2,5 s; 3,5 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-4t + 12)}{\mathrm{d}t} \,=\, -4.\]

    Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s−1 proti směru osy x.

     

    Na intervalu (3,5 s; 5,5 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(-2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

    Objekt se nepohybuje, je v klidu (vx = 0 m·s−1).

     

    Na intervalu (5,5 s; 6,5 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{d(4t - 24)}{\mathrm{d}t} \,=\, 4.\]

    Objekt se pohybuje rovnoměrně s konstantní rychlostí o velikosti 4 m·s−1 ve směru osy x.

     

    Na intervalu (6,5 s; 8,5 s>:

    \[v_x(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}(2)}{\mathrm{d}t} \,=\, 0.\]

    Objekt se nepohybuje, je v klidu (vx = 0 m·s−1).

    Graf I - závislost rychlosti na čase
     

    Nejde o reálné pohyby.

    Při reálném pohybu se nemůže rychlost skokem změnit. Při znázornění pohybem prstu musí prst postupně zpomalit na nulovou rychlost a pak se rozjet na druhou stranu. V grafu x(t) by pro reálný pohyb nebyly ostré špičky.

     

    bod b):

    Postupujeme obdobně jako u a).

    Poznámka: Opět pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

     

    Grafy na obrázcích považujeme za průběhy funkcí vx(t), kde vx(t) je závislost souřadnice rychlosti v na čase t.

    Průběhy funkcí si rozdělíme na jednotlivé intervaly. Napíšeme, o jaké funkce se na jednotlivých intervalech jedná a zapíšeme je rovnicí.

    U grafu I. jsou to následující intervaly:

    <0; 1 s> funkcí je přímka vx(t) = 2t,

    (1 s; 3 s> funkcí je přímka vx(t) = −2t + 4,

    (3 s; 5 s> funkcí je přímka vx(t) = 2t − 8,

    (5 s; 6 s> funkcí je přímka vx(t) = −2t + 12.

    U grafu II. jsou to následující intervaly:

    <0; 0,5 s> funkcí je přímka vx(t) = 4t,

    (0,5 s; 2,5 s> funkcí je přímka vx(t) = 2,

    (2,5 s; 3,5 s> funkcí je přímka vx(t) = −4t + 12,

    (3,5 s; 5,5 s> funkcí je přímka vx(t) = −2,

    (5,5 s; 6,5 s> funkcí je přímka vx(t) = 4t − 24,

    (6,5 s; 8,5 s> funkcí je přímka vx(t) = 2.

     

    Z rovnic závislostí vx(t) v předchozí nápovědě odvodíme rovnice závislostí x(t) pro jednotlivé intervaly a nakreslíme průběhy funkcí x(t) na těchto intervalech.

     

    Závislost souřadnice x(t) na čase získáme integrováním závislosti souřadnice rychlosti vx(t) na čase.

    Poznámka: Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích opět nepíšeme.

     

    Graf I.:

    Na intervalu <0; 1 s>:

    \[x(t)\,=\,\int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2t}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t)\,=\, t^{2}+A.\]

    Konstantu A zjistíme z počátečních podmínek:

    V čase t = 0 s je x(0) = 0 m, po dosazení A = 0.

    \(x(t) \,=\, t^{2}\)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

     

    Na intervalu (1 s; 3 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-2t+4)}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, -t^{2}+4t+B.\]

    Konstantu B zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 1 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,t^{2}\), tedy x(1) = 1 m.

    Po dosazení: 1 = −12 + 4·1 + B, a tedy B = −2.

    \(x(t) \,=\, -t^{2}+4t-2\)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x. V čase t = 2 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře proti směru osy x.

     

    Na intervalu (3 s; 5 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(2t-8)}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, t^{2}-8t+C.\]

    Konstantu C zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 3 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-t^{2}+4t-2\), tedy x(3) = 1 m.

    Po dosazení: 1 = 32−8·3 + C, a tedy C = 16.

    \(x(t)\,=\,t^{2}-8t+16\)

    Objekt se začne pohybovat rovnoměrně zpomaleně přímočaře proti směru osy x. V čase t = 4 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

     

    Na intervalu (5 s; 6 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-2t+12)}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t)\,=\,-t^{2}+12t+D.\]

    Konstantu D zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x\,=\,t^{2}-8t+16\), tedy x(5) = 1 m.

    Po dosazení: 1 = −52+12·5 + D, a tedy D = −34.

    \(x(t) \,=\, -t^{2}+12t-34\)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x.

    Graf I - závislost souřadnice na čase

    Graf II.:

    Na intervalu <0; 0,5 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{4t}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, 2t^{2}+E.\]

    Konstantu E zjistíme z počátečních podmínek:

    V čase t = 0 s je x(0) = 0 m, po dosazení E = 0.

    \(x(t) \,=\, 2t^{2}\)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně přímočaře ve směru osy x.

     

    Na intervalu (0,5 s; 2,5 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, 2t+F. \]

    Konstantu F zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 0,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t^{2}\), tedy x(0,5) = 0,5 m.

    Po dosazení: 0,5 = 2·0,5+F, a tedy F = −0,5.

    \(x(t) \,=\, 2t-0{,}5\)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s−1 ve směru osy x.

     

    Na intervalu (2,5 s; 3,5 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(-4t+12)}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, -2t^{2}+12t+G.\]

    Konstantu G zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 2,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t-0{,}5\), tedy x(2,5) = 4,5 m.

    Po dosazení: 4,5 = −2·2,52 + 12·2,5 + G, a tedy G = −13.

    \(x(t) \,=\, -2t^{2}+12t-13\)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře ve směru osy x. V čase t = 3 s je rychlost nulová, směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně proti směru osy x.

     

    Na intervalu (3,5 s; 5,5 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{-2}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, -2t+H. \]

    Konstantu H zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 3,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-2t^{2}+12t-13\), tedy x(3,5) = 4,5 m.

    Po dosazení: 4,5 = −2·3,5 + H, a tedy H = 11,5.

    \(x(t) \,=\, -2t+11{,}5 \)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s−1 proti směru osy x.

     

    Na intervalu (5,5 s; 6,5 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{(4t-24)}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, 2t^{2}-24t+K.\]

    Konstantu K zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 5,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,-2t+11{,}5 \), tedy x(5,5) = 0,5 m.

    Po dosazení: 0,5 = 2·5,52−24·5,5 + K, a tedy K = 72.

    \(x(t) \,=\, 2t^{2}-24t+72\)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně zpomaleně přímočaře proti směru osy x. V čase t = 6 s je rychlost pohybu nulová směr pohybu se obrací a objekt se pohybuje rovnoměrně zrychleně ve směru osy x.

     

    Na intervalu (6,5 s; 8,5 s>:

    \[x(t) \,=\, \int{v_x(t)}\mathrm{d}t\,=\,\int{2}\mathrm{d}t,\]

    \[x(t) \,=\, 2t+L. \]

    Konstantu L zjistíme z počátečních podmínek:

    Souřadnici v čase t = 6,5 s zjistíme dosazením do předchozí závislosti \(x(t)\,=\,2t^{2}-24t+72\), tedy x(6,5) = 0,5 m.

    Po dosazení: 0,5 = 2·6,5 + L, a tedy L = −12,5.

    \(x(t) \,=\, 2t-12{,}5 \)

    Objekt se pohybuje rovnoměrně přímočaře s konstantní rychlostí o velikosti 2 m·s−1 ve směru osy x.

    Graf II - závislost souřadnice na čase
     

    Jedná se o reálný pohyb.

    Graf I: Prst se pohybuje např. směrem doprava a po dobu 1 s rovnoměrně zrychluje, pak začne ve stejném směru po dobu 1 s rovnoměrně zpomalovat. V čase 2 s je jeho rychlost nulová a směr pohybu se obrací. Prst se pohybuje směrem doleva a po dobu 1 s rovnoměrně zrychluje, pak začne ve stejném směru po dobu 1 s rovnoměrně zpomalovat. V čase 4 s je ve stejném místě, kde pohyb začínal, jeho rychlost je nulová a pohyb se začíná opakovat.

     

    Graf II: Prst se pohybuje např. směrem doprava a po dobu 0,5 s rovnoměrně zrychluje, pak se pohybuje rovnoměrně přímočaře po dobu 2 s. Poté začne jeho rychlost rovnoměrně klesat, a to po dobu 0,5 s až na nulu. Pak se směr pohybu obrátí, rychlost prstu po dobu 0,5 s rovnoměrně narůstá, pak je jeho pohyb po dobu 2 s opět rovnoměrný přímočarý a pak po dobu 0,5 s rychlost rovnoměrně klesá až na nulu. V čase t = 6 s je prst ve stejném místě, kde pohyb začínal, jeho rychlost je nulová a pohyb se začíná opakovat.

  • Odpověď

    a)

    Graf I - Závislost rychlosti na čase
    Graf I - Závislost rychlosti na čase

    Nejde o reálné pohyby.

    b)

    Graf I - Závislost souřadnice na čase
    Graf I - Závislost souřadnice na čase

    Jde o reálné pohyby.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená graficky
Úloha na překlad, transformaci
Úloha na hodnocení
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze