Průměrná rychlost chůze

Úloha číslo: 1150

Karel a Adam šli na výlet. Karel šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 4 km/h a pak dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 1 km/h. Adam šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 3 km/h a pak hodinu stálou rychlostí o velikosti 4 km/h. Určete:

Jakou dráhu každý z chlapců urazil.
Průměrné rychlosti obou chlapců během výletu.

Poznámka: Průměrnou rychlost užíváme ve smyslu průměrné velikosti rychlosti.

Zápis

t_k1 = 2 h	Karel – doba první části chůze
v_k1 = 4 km·h^-1	Karel – rychlost první části chůze
t_k2 = 2 h	Karel – doba druhé části chůze
v_k2 = 1 km·h^-1	Karel – rychlost druhé části chůze
t_a1 = 2 h	Adam – doba první části chůze
v_a1 = 3 km·h^-1	Adam – rychlost první části chůze
t_a2 = 1 h	Adam – doba druhé části chůze
v_a2 = 4 km·h^-1	Adam – rychlost druhé části chůze
s_k = ?	dráha uražená Karlem
s_a = ?	dráha uražená Adamem
v_pk = ?	průměrná rychlost Karla
v_pa = ?	průměrná rychlost Adama

Nápověda 1 – k části a.
Jakým druhem pohybu se Karel v jednotlivých částech své chůze pohyboval? Jak obecně určíte dráhu uraženou při tomto druhu pohybu?
Řešení nápovědy 1
Podle zadání je rychlost Karla v obou fázích jeho pohybu stálá – jde tedy v obou případech o rovnoměrný pohyb. Dráha rovnoměrného pohybu je dána součinem rychlosti pohybujícího se objektu a času, po který se objekt pohybuje.
Nápověda 2 – k části a.
Celkovou dráhu uraženou Karlem určete jako součet drah uražených v jednotlivých fázích jeho pohybu. Dopočítejte číselně.
Řešení nápovědy 2
Pro celkovou dráhu uraženou Karlem platí:
\[s_\mathrm{k}\,=\,s_\mathrm{k1}\,+\,s_\mathrm{k2},\tag{1}\]
kde s_k1 je dráha uražená Karlem během prvních dvou hodin jeho pohybu a s_k2 dráha uražená Karlem během dalších dvou hodin. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:
\[s_\mathrm{k1}\,=\,v_\mathrm{k1}t_\mathrm{k1},\tag{2}\] \[s_\mathrm{k2}\,=\,v_\mathrm{k2}t_\mathrm{k2}.\tag{3}\]
Dosazením vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme:
\[s_\mathrm{k}\,=\,v_\mathrm{k1}t_\mathrm{k1}\,+\,v_\mathrm{k2}t_\mathrm{k2}.\tag{4}\]
Číselně:
\[s_\mathrm{k}\,=\,(4{\cdot}2\,+\,1{\cdot}2)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]
Nápověda 3 – k části a.
Výpočet dráhy s_a, kterou urazil během svého pohybu Adam, řešte stejně jako v případě Karla, tedy podle nápověd 1 a 2. Dopočítejte číselně.
Řešení nápovědy 3
Také Adam se v obou fázích své chůze pohyboval rovnoměrným pohybem. Pro celkovou dráhu uraženou Adamem platí:
\[s_\mathrm{a}\,=\,s_\mathrm{a1}\,+\,s_\mathrm{a2},\tag{5}\]
kde s_a1 je dráha uražená Adamem během prvních dvou hodin jeho pohybu a s_a2 dráha uražená Adamem během další hodiny. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:
\[s_\mathrm{a1}\,=\,v_\mathrm{a1}t_\mathrm{a1},\tag{6}\] \[s_\mathrm{a2}\,=\,v_\mathrm{a2}t_\mathrm{a2}.\tag{7}\]
Dosazením vztahů (6) a (7) do vztahu (5) dostáváme:
\[s_\mathrm{a}\,=\,v_\mathrm{a1}t_\mathrm{a1}\,+\,v_\mathrm{a2}t_\mathrm{a2}.\tag{8}\]
Číselně:
\[s_\mathrm{a}\,=\,(3{\cdot}2\,+\,4{\cdot}1)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]
Nápověda 4 – k části b.
Jaký je vztah pro výpočet průměrné rychlosti? Použijte ho na výpočet průměrné rychlosti Karla, resp. Adama, a číselně dopočítejte.
Řešení nápovědy 4
Průměrnou rychlost obecně určujeme jako podíl celkové uražené dráhy a celkové doby pohybu. V našem případě pro průměrnou rychlost Karla platí:
\[v_\mathrm{pk}\,=\,\frac{s_\mathrm{k}}{t_\mathrm{k}},\tag{9}\]
kde s_k je celková dráha uražená Karlem a t_k celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:
\[v_\mathrm{pk}\,=\,\frac{s_\mathrm{k}}{t_\mathrm{k1}\,+\,t_\mathrm{k2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,2}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,2{,}5\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{10}\]
Analogicky pro průměrnou rychlost Adama platí:
\[v_\mathrm{pa}\,=\,\frac{s_\mathrm{a}}{t_\mathrm{a}},\tag{11}\]
kde s_a je celková dráha uražená Adamem a t_a celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:
\[v_\mathrm{pa}\,=\,\frac{s_\mathrm{a}}{t_\mathrm{a1}\,+\,t_\mathrm{a2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,1}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,3{,}3\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{12}\]
Celkové řešení
Část a:

Podle zadání je rychlost Karla i Adama v obou fázích jejich pohybu stálá – jde tedy v případě obou chlapců o rovnoměrné pohyby. Dráha rovnoměrného pohybu je dána součinem rychlosti pohybujícího se objektu a času, po který se objekt pohybuje.

Pro celkovou dráhu uraženou Karlem platí:
\[s_\mathrm{k}\,=\,s_\mathrm{k1}\,+\,s_\mathrm{k2},\tag{1}\]
kde s_k1 je dráha uražená Karlem během prvních dvou hodin jeho pohybu a s_k2 dráha uražená Karlem během dalších dvou hodin. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:
\[s_\mathrm{k1}\,=\,v_\mathrm{k1}t_\mathrm{k1},\tag{2}\] \[s_\mathrm{k2}\,=\,v_\mathrm{k2}t_\mathrm{k2}.\tag{3}\]
Dosazením vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme:
\[s_\mathrm{k}\,=\,v_\mathrm{k1}t_\mathrm{k1}\,+\,v_\mathrm{k2}t_\mathrm{k2}.\tag{4}\]
Číselně:
\[s_\mathrm{k}\,=\,(4{\cdot}2\,+\,1{\cdot}2)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]
Pro celkovou dráhu uraženou Adamem platí:
\[s_\mathrm{a}\,=\,s_\mathrm{a1}\,+\,s_\mathrm{a2},\tag{5}\]
kde s_a1 je dráha uražená Adamem během prvních dvou hodin jeho pohybu a s_a2 dráha uražená Adamem během další hodiny. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:
\[s_\mathrm{a1}\,=\,v_\mathrm{a1}t_\mathrm{a1},\tag{6}\] \[s_\mathrm{a2}\,=\,v_\mathrm{a2}t_\mathrm{a2}.\tag{7}\]
Dosazením vztahů (6) a (7) do vztahu (5) dostáváme:
\[s_\mathrm{a}\,=\,v_\mathrm{a1}t_\mathrm{a1}\,+\,v_\mathrm{a2}t_\mathrm{a2}.\tag{8}\]
Číselně:
\[s_\mathrm{a}\,=\,(3{\cdot}2\,+\,4{\cdot}1)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]

Část b:

Průměrnou rychlost obecně určujeme jako podíl celkové uražené dráhy a celkové doby pohybu. V našem případě pro průměrnou rychlost Karla platí:
\[v_\mathrm{pk}\,=\,\frac{s_\mathrm{k}}{t_\mathrm{k}},\tag{9}\]
kde s_k je celková dráha uražená Karlem a t_k celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:
\[v_\mathrm{pk}\,=\,\frac{s_\mathrm{k}}{t_\mathrm{k1}\,+\,t_\mathrm{k2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,2}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,2{,}5\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{10}\]
Analogicky pro průměrnou rychlost Adama platí:
\[v_\mathrm{pa}\,=\,\frac{s_\mathrm{a}}{t_a},\tag{11}\]
kde s_a je celková dráha uražená Adamem a t_a celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:
\[v_\mathrm{pa}\,=\,\frac{s_\mathrm{a}}{t_\mathrm{a1}\,+\,t_\mathrm{a2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,1}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,3{,}3\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{12}\]
Odpověď
Oba chlapci urazí během svého pohybu vzdálenost 10 km. Karel průměrnou rychlostí 2,5 km·h⁻¹, Adam průměrnou rychlostí 3,3 km·h⁻¹.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy

Průměrná rychlost chůze

Úloha číslo: 1150

Zápis

Nápověda 1 – k části a.

Řešení nápovědy 1

Nápověda 2 – k části a.

Řešení nápovědy 2

Nápověda 3 – k části a.

Řešení nápovědy 3

Nápověda 4 – k části b.

Řešení nápovědy 4

Celkové řešení

Odpověď