Průměrná rychlost chůze

Úloha číslo: 1150

Karel a Adam šli na výlet. Karel šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 4 km/h a pak dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 1 km/h. Adam šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 3 km/h a pak hodinu stálou rychlostí o velikosti 4 km/h. Určete:

  1. Jakou dráhu každý z chlapců urazil.
  2. Průměrné rychlosti obou chlapců během výletu.

Poznámka: Průměrnou rychlost užíváme ve smyslu průměrné velikosti rychlosti.

  • Zápis

    tk1 = 2 h Karel – doba první části chůze
    vk1 = 4 km·h-1 Karel – rychlost první části chůze
    tk2 = 2 h Karel – doba druhé části chůze
    vk2 = 1 km·h-1 Karel – rychlost druhé části chůze
    ta1 = 2 h Adam – doba první části chůze
    va1 = 3 km·h-1 Adam – rychlost první části chůze
    ta2 = 1 h Adam – doba druhé části chůze
    va2 = 4 km·h-1 Adam – rychlost druhé části chůze
    sk = ? dráha uražená Karlem
    sa = ? dráha uražená Adamem
    vpk = ? průměrná rychlost Karla
    vpa = ? průměrná rychlost Adama
  • Nápověda 1 – k části a.

    Jakým druhem pohybu se Karel v jednotlivých částech své chůze pohyboval? Jak obecně určíte dráhu uraženou při tomto druhu pohybu?

  • Nápověda 2 – k části a.

    Celkovou dráhu uraženou Karlem určete jako součet drah uražených v jednotlivých fázích jeho pohybu. Dopočítejte číselně.

  • Nápověda 3 – k části a.

    Výpočet dráhy sa, kterou urazil během svého pohybu Adam, řešte stejně jako v případě Karla, tedy podle nápověd 1 a 2. Dopočítejte číselně.

  • Nápověda 4 – k části b.

    Jaký je vztah pro výpočet průměrné rychlosti? Použijte ho na výpočet průměrné rychlosti Karla, resp. Adama, a číselně dopočítejte.

  • Celkové řešení

    Část a:

    Podle zadání je rychlost Karla i Adama v obou fázích jejich pohybu stálá – jde tedy v případě obou chlapců o rovnoměrné pohyby. Dráha rovnoměrného pohybu je dána součinem rychlosti pohybujícího se objektu a času, po který se objekt pohybuje.

    Pro celkovou dráhu uraženou Karlem platí:

    \[s_\mathrm{k}\,=\,s_\mathrm{k1}\,+\,s_\mathrm{k2},\tag{1}\]

    kde sk1 je dráha uražená Karlem během prvních dvou hodin jeho pohybu a sk2 dráha uražená Karlem během dalších dvou hodin. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:

    \[s_\mathrm{k1}\,=\,v_\mathrm{k1}t_\mathrm{k1},\tag{2}\] \[s_\mathrm{k2}\,=\,v_\mathrm{k2}t_\mathrm{k2}.\tag{3}\]

    Dosazením vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme:

    \[s_\mathrm{k}\,=\,v_\mathrm{k1}t_\mathrm{k1}\,+\,v_\mathrm{k2}t_\mathrm{k2}.\tag{4}\]

    Číselně:

    \[s_\mathrm{k}\,=\,(4{\cdot}2\,+\,1{\cdot}2)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]

    Pro celkovou dráhu uraženou Adamem platí:

    \[s_\mathrm{a}\,=\,s_\mathrm{a1}\,+\,s_\mathrm{a2},\tag{5}\]

    kde sa1 je dráha uražená Adamem během prvních dvou hodin jeho pohybu a sa2 dráha uražená Adamem během další hodiny. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:

    \[s_\mathrm{a1}\,=\,v_\mathrm{a1}t_\mathrm{a1},\tag{6}\] \[s_\mathrm{a2}\,=\,v_\mathrm{a2}t_\mathrm{a2}.\tag{7}\]

    Dosazením vztahů (6) a (7) do vztahu (5) dostáváme:

    \[s_\mathrm{a}\,=\,v_\mathrm{a1}t_\mathrm{a1}\,+\,v_\mathrm{a2}t_\mathrm{a2}.\tag{8}\]

    Číselně:

    \[s_\mathrm{a}\,=\,(3{\cdot}2\,+\,4{\cdot}1)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]

    Část b:

    Průměrnou rychlost obecně určujeme jako podíl celkové uražené dráhy a celkové doby pohybu. V našem případě pro průměrnou rychlost Karla platí:

    \[v_\mathrm{pk}\,=\,\frac{s_\mathrm{k}}{t_\mathrm{k}},\tag{9}\]

    kde sk je celková dráha uražená Karlem a tk celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:

    \[v_\mathrm{pk}\,=\,\frac{s_\mathrm{k}}{t_\mathrm{k1}\,+\,t_\mathrm{k2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,2}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,2{,}5\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{10}\]

    Analogicky pro průměrnou rychlost Adama platí:

    \[v_\mathrm{pa}\,=\,\frac{s_\mathrm{a}}{t_a},\tag{11}\]

    kde sa je celková dráha uražená Adamem a ta celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:

    \[v_\mathrm{pa}\,=\,\frac{s_\mathrm{a}}{t_\mathrm{a1}\,+\,t_\mathrm{a2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,1}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,3{,}3\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{12}\]
  • Odpověď

    Oba chlapci urazí během svého pohybu vzdálenost 10 km. Karel průměrnou rychlostí 2,5 km·h−1, Adam průměrnou rychlostí 3,3 km·h−1.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze