Průměrná rychlost chůze
Úloha číslo: 1150
Karel a Adam šli na výlet. Karel šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 4 km/h a pak dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 1 km/h. Adam šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 3 km/h a pak hodinu stálou rychlostí o velikosti 4 km/h. Určete:
- Jakou dráhu každý z chlapců urazil.
- Průměrné rychlosti obou chlapců během výletu.
Poznámka: Průměrnou rychlost užíváme ve smyslu průměrné velikosti rychlosti.
Zápis
tk1 = 2 h Karel - doba první části chůze vk1 = 4 km·h-1 Karel - rychlost první části chůze tk2 = 2 h Karel - doba druhé části chůze vk2 = 1 km·h-1 Karel - rychlost druhé části chůze ta1 = 2 h Adam - doba první části chůze va1 = 3 km·h-1 Adam - rychlost první části chůze ta2 = 1 h Adam - doba druhé části chůze va2 = 4 km·h-1 Adam - rychlost druhé části chůze sk = ? dráha uražená Karlem sa = ? dráha uražená Adamem vpk = ? průměrná rychlost Karla vpa = ? průměrná rychlost Adama Nápověda 1 - k části a.
Jakým druhem pohybu se Karel v jednotlivých částech své chůze pohyboval? Jak obecně určíte dráhu uraženou při tomto druhu pohybu?
Nápověda 2 - k části a.
Celkovou dráhu uraženou Karlem určete jako součet drah uražených v jednotlivých fázích jeho pohybu. Dopočítejte číselně.
Nápověda 3 - k části a.
Výpočet dráhy sa, kterou urazil během svého pohybu Adam, řešte stejně jako v případě Karla, tedy podle nápověd 1 a 2. Dopočítejte číselně.
Nápověda 4 - k části b.
Jaký je vztah pro výpočet průměrné rychlosti? Použijte ho na výpočet průměrné rychlost Karla, resp. Adama, a číselně dopočítejte.
Celkové řešení
Část a:
Podle zadání je rychlost Karla i Adama v obou fázích jejich pohybu stálá - jde tedy v případě obou chlapců o rovnoměrné pohyby. Dráha rovnoměrného pohybu je dána součinem rychlosti pohybujícího se objektu a času, po který se objekt pohybuje.
Pro celkovou dráhu uraženou Karlem platí:
\[s_{k}\,=\,s_{k1}\,+\,s_{k2},\tag{1}\]kde sk1 je dráha uražená Karlem během prvních dvou hodin jeho pohybu a sk2 dráha uražená Karlem během dalších dvou hodin. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:
\[s_{k1}\,=\,v_{k1}t_{k1},\tag{2}\] \[s_{k2}\,=\,v_{k2}t_{k2}.\tag{3}\]Dosazením vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme:
\[s_{k}\,=\,v_{k1}t_{k1}\,+\,v_{k2}t_{k2}.\tag{4}\]Číselně:
\[s_{k}\,=\,(4{\cdot}2\,+\,1{\cdot}2)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]Pro celkovou dráhu uraženou Adamem platí:
\[s_{a}\,=\,s_{a1}\,+\,s_{a2},\tag{5}\]kde sa1 je dráha uražená Adamem během prvních dvou hodin jeho pohybu a sa2 dráha uražená Adamem během další hodiny. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:
\[s_{a1}\,=\,v_{a1}t_{a1},\tag{6}\] \[s_{a2}\,=\,v_{a2}t_{a2}.\tag{7}\]Dosazením vztahů (6) a (7) do vztahu (5) dostáváme:
\[s_{a}\,=\,v_{a1}t_{a1}\,+\,v_{a2}t_{a2}.\tag{8}\]Číselně:
\[s_{a}\,=\,(3{\cdot}2\,+\,4{\cdot}1)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]
Část b:
Průměrnou rychlost obecně určujeme jako podíl celkové uražené dráhy a celkové doby pohybu. V našem případě pro průměrnou rychlost Karla platí:
\[v_{pk}\,=\,\frac{s_k}{t_k},\tag{9}\]kde sk je celková dráha uražená Karlem a tk celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:
\[v_{pk}\,=\,\frac{s_k}{t_{k1}\,+\,t_{k2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,2}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,2{,}5\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{10}\]Analogicky pro průměrnou rychlost Adama platí:
\[v_{pa}\,=\,\frac{s_a}{t_a},\tag{11}\]kde sa je celková dráha uražená Adamem a ta celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:
\[v_{pa}\,=\,\frac{s_a}{t_{a1}\,+\,t_{a2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,1}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,3{,}3\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{12}\]Odpověď
Oba chlapci urazí během svého pohybu vzdálenost 10 km. Karel průměrnou rychlostí 2,5 km·h−1, Adam průměrnou rychlostí 3,3 km·h−1.
