Průměrná rychlost chůze

Úloha číslo: 1150

Karel a Adam šli na výlet. Karel šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 4 km/h a pak dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 1 km/h. Adam šel nejdříve dvě hodiny stálou rychlostí o velikosti 3 km/h a pak hodinu stálou rychlostí o velikosti 4 km/h. Určete:

  1. Jakou dráhu každý z chlapců urazil.
  2. Průměrné rychlosti obou chlapců během výletu.

Poznámka: Průměrnou rychlost užíváme ve smyslu průměrné velikosti rychlosti.

  • Zápis

    tk1 = 2 h Karel - doba první části chůze
    vk1 = 4 km·h-1 Karel - rychlost první části chůze
    tk2 = 2 h Karel - doba druhé části chůze
    vk2 = 1 km·h-1 Karel - rychlost druhé části chůze
    ta1 = 2 h Adam - doba první části chůze
    va1 = 3 km·h-1 Adam - rychlost první části chůze
    ta2 = 1 h Adam - doba druhé části chůze
    va2 = 4 km·h-1 Adam - rychlost druhé části chůze
    sk = ? dráha uražená Karlem
    sa = ? dráha uražená Adamem
    vpk = ? průměrná rychlost Karla
    vpa = ? průměrná rychlost Adama
  • Nápověda 1 - k části a.

    Jakým druhem pohybu se Karel v jednotlivých částech své chůze pohyboval? Jak obecně určíte dráhu uraženou při tomto druhu pohybu?

  • Nápověda 2 - k části a.

    Celkovou dráhu uraženou Karlem určete jako součet drah uražených v jednotlivých fázích jeho pohybu. Dopočítejte číselně.

  • Nápověda 3 - k části a.

    Výpočet dráhy sa, kterou urazil během svého pohybu Adam, řešte stejně jako v případě Karla, tedy podle nápověd 1 a 2. Dopočítejte číselně.

  • Nápověda 4 - k části b.

    Jaký je vztah pro výpočet průměrné rychlosti? Použijte ho na výpočet průměrné rychlost Karla, resp. Adama, a číselně dopočítejte.

  • Celkové řešení

    Část a:

    Podle zadání je rychlost Karla i Adama v obou fázích jejich pohybu stálá - jde tedy v případě obou chlapců o rovnoměrné pohyby. Dráha rovnoměrného pohybu je dána součinem rychlosti pohybujícího se objektu a času, po který se objekt pohybuje.

    Pro celkovou dráhu uraženou Karlem platí:

    \[s_{k}\,=\,s_{k1}\,+\,s_{k2},\tag{1}\]

    kde sk1 je dráha uražená Karlem během prvních dvou hodin jeho pohybu a sk2 dráha uražená Karlem během dalších dvou hodin. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:

    \[s_{k1}\,=\,v_{k1}t_{k1},\tag{2}\] \[s_{k2}\,=\,v_{k2}t_{k2}.\tag{3}\]

    Dosazením vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme:

    \[s_{k}\,=\,v_{k1}t_{k1}\,+\,v_{k2}t_{k2}.\tag{4}\]

    Číselně:

    \[s_{k}\,=\,(4{\cdot}2\,+\,1{\cdot}2)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]

    Pro celkovou dráhu uraženou Adamem platí:

    \[s_{a}\,=\,s_{a1}\,+\,s_{a2},\tag{5}\]

    kde sa1 je dráha uražená Adamem během prvních dvou hodin jeho pohybu a sa2 dráha uražená Adamem během další hodiny. Pro tyto dráhy z vlastností rovnoměrného pohybu platí:

    \[s_{a1}\,=\,v_{a1}t_{a1},\tag{6}\] \[s_{a2}\,=\,v_{a2}t_{a2}.\tag{7}\]

    Dosazením vztahů (6) a (7) do vztahu (5) dostáváme:

    \[s_{a}\,=\,v_{a1}t_{a1}\,+\,v_{a2}t_{a2}.\tag{8}\]

    Číselně:

    \[s_{a}\,=\,(3{\cdot}2\,+\,4{\cdot}1)\,\mathrm{km}\,=\,10\,\mathrm{km}.\]

    Část b:

    Průměrnou rychlost obecně určujeme jako podíl celkové uražené dráhy a celkové doby pohybu. V našem případě pro průměrnou rychlost Karla platí:

    \[v_{pk}\,=\,\frac{s_k}{t_k},\tag{9}\]

    kde sk je celková dráha uražená Karlem a tk celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:

    \[v_{pk}\,=\,\frac{s_k}{t_{k1}\,+\,t_{k2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,2}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,2{,}5\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{10}\]

    Analogicky pro průměrnou rychlost Adama platí:

    \[v_{pa}\,=\,\frac{s_a}{t_a},\tag{11}\]

    kde sa je celková dráha uražená Adamem a ta celkový čas jeho pohybu. Vztah rozepíšeme a číselně dosadíme:

    \[v_{pa}\,=\,\frac{s_a}{t_{a1}\,+\,t_{a2}}\,=\,\frac{10}{2\,+\,1}\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}\,=\,3{,}3\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}.\tag{12}\]
  • Odpověď

    Oba chlapci urazí během svého pohybu vzdálenost 10 km. Karel průměrnou rychlostí 2,5 km·h−1, Adam průměrnou rychlostí 3,3 km·h−1.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze