Chataři od Lančovské zátoky

Úloha číslo: 124

Obyvatelé Lančovské zátoky mají postavené chatky blízko řeky Dyje, která je v úseku zátoky široká L. Když se chtějí sousedé navštívit, použijí k dopravě loďku.

Chatař Nesnídal vlastní loďku, která jezdí na klidné vodě konstantní rychlostí o velikosti vl. Rozhodne se, že spolu se svým sousedem Nekvapilem navštíví chataře Nesvačila.

Určete, jak dlouho jim celá plavba potrvá, víte-li následující:

Nesnídal pojede nejprve pro Nekvapila, který bydlí na téže straně řeky proti proudu řeky ve vzdálenosti x od něj. Poté oba poplují k Nesvačilově chatce, která se nachází na druhém břehu přímo proti Nekvapilově chatě.

Předpokládejte, že rychlost proudu řeky je konstantní a má velikost vr.

Řešte pro hodnoty: L = 200 m, vl = 2 m·s-1, vr = 1 m·s-1, x = 500 m.

  • Zápis

    L = 200 m šířka řeky
    vl = 2 m·s−1 ryhlost loďky na stojaté vodě
    vr = 1 m·s−1 ryhlost říčního proudu
    x = 500 m vzdálenost chatek sousedů Nesnídala a Nekvapila ve směru proti proudu řeky
    t = ? (s) doba celé plavby
  • Nápověda 1: Čas t1 od Nesnídala k Nekvapilovi

    Určete čas t1, za který dopluje Nesnídal k Nekvapilovi.

    Znáte délku trasy. Jak velkou rychlostí v1 plul Nesnídal k Nekvapilovi?

    Nakreslete si obrázek situace.

  • Nápověda 2 : Čas t2 od Nekvapila k Nesvačilovi

    Určete čas t2, za který Nesnídal s Nekvapilem doplují k Nesvačilovi.

    Délku trasy opět znáte. Jakým způsobem poplují? Mohou si to namířit přímo k Nesvačilově chatě?

    Jak velkou rychlostí v2 poplují? Nakreslete si obrázek.

  • Nápověda 3: Výsledná doba t plavby

    Co platí pro výslednou dobu t celé plavby? Stačí vám k jejímu vyjádření předchozí výpočty?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Nejprve určíme čas t1, za který dopluje Nesnídal k Nekvapilovi a poté čas t2, za který oba doplují k Nesvačilovi. Sečtením obou časů získáme výslednou dobu celé plavby:

    \[t=t_1+t_2.\]

    Čas t1 od Nesnídala k Nekvapilovi:

    Obrázek 1:

     

    Náčrtek situace

     

    Velikost rychlosti v1 loďky vzhledem k břehu, pluje-li proti proudu, je daná rozdílem rychlosti loďky vzhledem ke klidné vodě vl a rychlosti proudu vr:

    \[v_1=v_l-v_r.\]

    Touto rychlostí má loďka uplout vzdálenost x. Potrvá jí to čas t1:

    \[t_1=\frac{x}{v_l-v_r}.\]

     

    Čas t2 od Nekvapila k Nesvačilovi:

    Chtějí-li Nesnídal s Nekvapilem přistát u Nesvačilovy chaty, nemohou si to namířit přímo na ni (proud by je snesl), ale tak, jak je naznačeno na obrázku:

    Obrázek 2:

     

    Skládání rychlostí

     

    Výsledná rychlost:

    \[v_2=\sqrt{v_l^{2}-v_r^{2}}.\]

    Čas t2:

    \[t_2=\frac{L}{v_2}=\frac{L}{\sqrt{v_l^{2}-v_r^{2}}}.\]

     

    Určili jsme čas t1, za který doplul Nesnídal k Nekvapilovi a poté čas t2, za který oba dopluli k Nesvačilovi.

    Sečtením obou časů získáme výslednou dobu t celé plavby:

    \[ t=t_1+t_2=\frac{x}{v_l-v_r}+\frac{L}{\sqrt{v_l^{2}-v_r^{2}}}.\]

     

    Číselně:

    \[t=\left(\frac{500}{2-1}+\frac{200}{\sqrt{3}}\right)\,\mathrm{s}=615\,\mathrm{s}.\]
  • Odpověď

    Chataři Nesnídal a Nekvapil doplují k chataři Nesvačilovi za dobu t :

    \[ t=\frac{x}{v_l-v_r}+\frac{L}{\sqrt{v_l^{2}-v_r^{2}}}.\]

     

    Číselně:

    \[t=615\,\mathrm{s}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze