Sbírka řešených úloh

Řemenice

Úloha číslo: 14

Úhlová dráha bodu na obvodu otáčející se řemenice závisí na čase číselnou rovnicí:

\[ \{\psi(t)\}= 1 + \{t\} + \{t\}^{2} + \{t\}^{3}\,, \] \[t \in \left<0,\, \infty \right> \,\textrm{s}\,.\]

Určete poloměr řemenice R, víte-li, že v okamžiku t₁ byla velikost obvodové rychlosti řemenice v(t₁). Jak velké bylo v tomto okamžiku tečné zrychlení a_t(t₁) a kolik otáček N řemenice vykonala během prvních t₁ sekund?

 

Řešte pro hodnoty: t₁ = 2 s, v(t₁) = 20,4 m·s⁻¹.

Poznámka: Pro přehlednější zápis píšeme vztahy zjednodušeně bez jednotek a bez složených závorek.

Poznámka: Obrázek řemenice byl převzat z adresy: Střední průmyslová škola, Ostrava - Vítkovice.

• Nápověda 1: Poloměr řemenice

  Vyjděte ze vztahů pro obvodovou a úhlovou rychlost pohybu po kružnici.

  Znáte velikost obvodové rychlosti řemenice v(t₁) v okamžiku t₁ a úhlovou rychlost snadno odvodíte z průběhu úhlové dráhy bodu na obvodu řemenice.

• Řešení k nápovědě 1

  Potřebné vztahy pro velikost obvodové rychlosti v a úhlové rychlosti ω jsou:

   

  \[v=\omega\cdot R\,,\] \[\omega=\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t},\] \[v=\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}R\,,\] \[\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}=\,\frac{\mathrm{d}\left(1+t+t^{2}+t^{3}\right)}{\mathrm{d}t} \,=\,1+2t+3t^{2},\] \[v= \left(1+2t+3t^{2}\right)R\,.\]

   

  Potom: \[R= \frac{v}{1+2t+3t^{2}}.\tag{1}\]

  V čase t₁:

  \[R = \frac{v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}=\frac{20{,}4}{17}\,\mathrm{m}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m}\,.\]

• Nápověda 2: Velikost tečného zrychlení v čase t₁

  Vyjděte ze vztahů pro tečné a úhlové zrychlení pohybu po kružnici.

  Znáte velikost poloměru řemenice z předchozí nápovědy a úhlové zrychlení snadno odvodíte z průběhu úhlové dráhy bodu na obvodu řemenice.

  Pak stačí jen doplnit do průběhu tečného zrychlení čas t₁.

• Řešení k nápovědě 2

  Pro velikost tečného a úhlového zrychlení platí:

  \[a_t\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}(\omega R)}{\mathrm{d}t},\] \[a_t\,=\,\epsilon R\,,\] \[\epsilon\,=\,\frac{\mathrm{d}^{2}\psi}{\mathrm{d}t^{2}} \,=\, \frac{\mathrm{d}^{2}(1+t+t^{2}+t^{3} )}{\mathrm{d}t^{2}} \,=\, \frac{\mathrm{d}(1+2t+3t^{2})}{\mathrm{d}t}, \] \[\epsilon\,=\,2+6t\,,\] \[a_t\,=\, \left(2+6t\right)R\,.\]

   

  Za R dosadíme z (1): \[a_t \,=\,\frac{\left(2+6t\right)v}{1+2t+3t^{2}}.\]

  Potom pro velikost tečného zrychlení v čase t₁: \[a_t(t_1)\,=\,\frac{\left(2+6t_1\right)v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,=\,\frac{14 {\cdot} 20{,}4}{17} \,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,\dot=\,16{,}8\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}.\]

• Nápověda 3: Počet otáček řemenice

  Počet otáček řemenice zjistíte přímo ze zadání úlohy.

  Jaký je vztah mezi počtem otáček řemenice a úhlovou dráhou bodu na obvodu řemenice?

• Řešení k nápovědě 3

  Počet otáček N vypočítáme přímo z úhlu  \(\psi\in \left<\,0,\, {t_1}\right>\), o který se řemenice otočila do okamžiku t₁:

  \[N\,=\,\frac{\psi(t_1)}{2\pi}\,=\,\frac{t_1^{3}+t_1^{2}+t_1+1}{2\pi}\,=\,\frac{15}{2\pi}\,\dot=\,2{,}4 \,\mathrm{ot}.\]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Poloměr řemenice:

  Potřebné vztahy pro velikost obvodové rychlosti v a úhlové rychlosti ω jsou:

   

  \[v=\omega\cdot R\,,\] \[\omega=\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t},\] \[v\,=\,\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}R\,,\] \[\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}\left(1+t+t^{2}+t^{3}\right)}{\mathrm{d}t} \,=\,1+2t+3t^{2}\,,\] \[v= \left(1+2t+3t^{2}\right)R\,.\]

   

  Potom:

  \[R\,=\, \frac{v}{1+2t+3t^{2}}\,.\tag{1}\]

  V čase t₁:

  \[R \,=\, \frac{v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,=\,\frac{20{,}4}{17}\,\mathrm{m}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m}\,.\]

  Tečné zrychlení:

  Pro velikost tečného a úhlového zrychlení platí:

  \[a_t\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}(\omega R)}{\mathrm{d}t}\,,\] \[a_t\,=\,\epsilon R\,,\] \[\epsilon\,=\,\frac{\mathrm{d}^{2}\psi}{\mathrm{d}t^{2}} \,=\, \frac{\mathrm{d}^{2}(1+t+t^{2}+t^{3} )}{\mathrm{d}t^{2}} \,=\, \frac{\mathrm{d}(1+2t+3t^{2})}{\mathrm{d}t} \,,\] \[\epsilon\,=\,2+6t\,,\] \[a_t\,=\, \left(2+6t\right)R\,.\]

   

  Za R dosadíme z (1):

  \[a_t \,=\,\frac{\left(2+6t\right)v}{1+2t+3t^{2}}\,.\]

  Potom pro velikost tečného zrychlení v čase t₁:

  \[a_t(t_1)\,=\,\frac{\left(2+6t_1\right)v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,=\,\frac{14 {\cdot} 20{,}4}{17} \,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,\dot=\,16{,}8\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

  Počet otáček:

  Počet otáček N vypočítáme přímo z úhlu  \(\psi\in \left<0,\, {t_1}\right>\), o který se řemenice otočila do okamžiku t₁:

  \[N\,=\,\frac{\psi(t_1)}{2\pi}\,=\,\frac{t_1^{3}+t_1^{2}+t_1+1}{2\pi}\,=\,\frac{15}{2\pi}\,\dot=\,2{,}4 \,\mathrm{ot}.\]

• Odpověď

  Velikost poloměru řemenice je

  \[R \,=\, \frac{v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,\dot=\, 1{,}2\,\mathrm{m}\,.\]

  Velikost tečného zrychlení v čase t₁ je

  \[a_t(t_1)\,=\,\frac{(2+6t_1)v}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,\dot=\, 16{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

  Počet otáček řemenice během prvních t₁ sekund je

  \[N\,=\, \frac{t_1^{3}+t_1^{2}+t_1+1}{2\pi}\,\dot=\, 2{,}4 \,\mathrm{ot}\,.\]