Řemenice

Úloha číslo: 14

Úhlová dráha bodu na obvodu otáčející se řemenice závisí na čase číselnou rovnicí :

\[ \{\psi(t)\}= 1 + \{t\} + \{t\}^{2} + \{t\}^{3}\,, \] \[t \in \left<0,\, \infty \right> \,\textrm{s}\,.\]

Určete poloměr řemenice R, víte-li, že v okamžiku t1 byla velikost obvodové rychlosti řemenice v(t1). Jak velké bylo v tomto okamžiku tečné zrychlení at(t1) a kolik otáček N řemenice vykonala během prvních t1 sekund?

 

Řešte pro hodnoty: t1 = 2 s, v(t1) = 20,4 m·s−1.

Poznámka: Pro přehlednější zápis píšeme vztahy zjednodušeně bez jednotek a bez složených závorek.

řemenice

Poznámka: Obrázek řemenice byl převzat z adresy: Střední průmyslová škola, Ostrava - Vítkovice.

  • Nápověda 1: Poloměr řemenice

    Vyjděte ze vztahů pro obvodovou a úhlovou rychlost pohybu po kružnici.

    Znáte velikost obvodové rychlosti řemenice v(t1) v okamžiku t1 a úhlovou rychlost snadno odvodíte z průběhu úhlové dráhy bodu na obvodu řemenice.

  • Nápověda 2: Velikost tečného zrychlení v čase t1

    Vyjděte ze vztahů pro tečné a úhlové zrychlení pohybu po kružnici.

    Znáte velikost poloměru řemenice z předchozí nápovědy a úhlové zrychlení snadno odvodíte z průběhu úhlové dráhy bodu na obvodu řemenice.

    Pak stačí jen doplnit do průběhu tečného zrychlení čas t1.

  • Nápověda 3: Počet otáček řemenice

    Počet otáček řemenice zjistíte přímo ze zadání úlohy.

    Jaký je vztah mezi počtem otáček řemenice a úhlovou dráhou bodu na obvodu řemenice?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Poloměr řemenice:

    Potřebné vztahy pro velikost obvodové rychlosti v a úhlové rychlosti ω jsou:

     

    \[v=\omega\cdot R\,,\] \[\omega=\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t},\] \[v\,=\,\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}R\,,\] \[\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}\left(1+t+t^{2}+t^{3}\right)}{\mathrm{d}t} \,=\,1+2t+3t^{2}\,,\] \[v= \left(1+2t+3t^{2}\right)R\,.\]

     

    Potom:

    \[R\,=\, \frac{v}{1+2t+3t^{2}}\,.\tag{1}\]

    V čase t1:

    \[R \,=\, \frac{v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,=\,\frac{20{,}4}{17}\,\mathrm{m}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m}\,,\]

    Tečné zrychlení:

    Pro velikost tečného a úhlového zrychlení platí:

    \[a_t\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}(\omega R)}{\mathrm{d}t}\,,\] \[a_t\,=\,\epsilon R\,,\] \[\epsilon\,=\,\frac{\mathrm{d}^{2}\psi}{\mathrm{d}t^{2}} \,=\, \frac{\mathrm{d}^{2}(1+t+t^{2}+t^{3} )}{\mathrm{d}t^{2}} \,=\, \frac{\mathrm{d}(1+2t+3t^{2})}{\mathrm{d}t} \,,\] \[\epsilon\,=\,2+6t\,,\] \[a_t\,=\, \left(2+6t\right)R\,.\]

     

    Za R dosadíme z (1):

    \[a_t \,=\,\frac{\left(2+6t\right)v}{1+2t+3t^{2}}\,.\]

    Potom pro velikost tečného zrychlení v čase t1:

    \[a_t(t_1)\,=\,\frac{\left(2+6t_1\right)v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,=\,\frac{14 {\cdot} 20{,}4}{17} \,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,\dot=\,16{,}8\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

    Počet otáček:

    Počet otáček N vypočítáme přímo z úhlu  \(\psi\in \left<0,\, {t_1}\right>\), o který se řemenice otočila do okamžiku t1:

    \[N\,=\,\frac{\psi(t_1)}{2\pi}\,=\,\frac{t_1^{3}+t_1^{2}+t_1+1}{2\pi}\,=\,\frac{15}{2\pi}\,\dot=\,2{,}4 \,\mathrm{ot}.\]
  • Odpověď

    Velikost poloměru řemenice je

    \[R \,=\, \frac{v(t_1)}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,\dot=\, 1{,}2\,\mathrm{m}\,.\]

    Velikost tečného zrychlení v čase t1 je

    \[a_t(t_1)\,=\,\frac{(2+6t_1)v}{1+2t_1+3t_1^{2}}\,\dot=\, 16{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

    Počet otáček řemenice během prvních t1 sekund je

    \[N\,=\, \frac{t_1^{3}+t_1^{2}+t_1+1}{2\pi}\,\dot=\, 2{,}4 \,\mathrm{ot}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mičkal, K: Sbírka úloh z technické mechaniky. SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mičkal, K: Sbírka úloh z technické mechaniky. SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze