Dokonale pružná srážka

Úloha číslo: 32

Na vzduchové dráze se srazí vozík dokonale pružně s druhým vozíkem, který byl do srážky v klidu. Po srážce se oba vozíky pohybují stejně velkými rychlostmi opačným směrem. Určete poměr hmotností obou vozíků.

  • Předpoklady

    Předpokládejme, že jde o pohyb po přímce:

    rychlosti před srážkou:   \[\vec{v_{1}},\ \vec{v_{2}}\,=\, 0\ \mathrm{m s^{-1}} \]

    rychlosti po srážce:   \[ v_{1}^{'}\, =\, v_{2}^{'},\ \vec{v_{1}^{'}}\, = \, -\vec{v_{2}^{'}}\]

  • Nápověda 1 – zákony zachování

    Jaké dva zákony zachování můžete využít při dokonale pružné srážce?

  • Nápověda 2 – ZZME a ZZH

    Rozepište oba zákony pro naši konkrétní situaci.

  • Nápověda 3 – poměr hmotností

    Z rovnic (1), (2) vyjádřete hledaný poměr \[\frac{m_{1}}{m_{2}}\] .

  • Odpověď

    Poměr hmotností vozíků je \[ \frac {m_2} {m_1} \,=\, 3\] .

  • Celkové řešení

    Předpokládejme, že jde o pohyb po přímce:

    rychlosti před srážkou:   \[\vec{v_{1}},\ \vec{v_{2}}\,=\, 0\ \mathrm{m s^{-1}} \]

    rychlosti po srážce:   \[ v_{1}^{'}\, =\, v_{2}^{'},\ \vec{v_{1}^{'}}\, = \, -\vec{v_{2}^{'}}\]

    Pro dokonale pružnou srážku platí:

    Zákon zachování hybnosti (ZZH):

    Součet hybností těles v izolované soustavě je konstantní, nebo-li celková hybnost izolované soustavy se zachovává.

    Zákon zachování mechanické energie (ZZME):

    Celková mechanická energie izolované soustavy se zachovává, neboli součet potenciální a kinetické energie je konstantní.

    Vozíky před srážkou
    Vozíky po srážkou
    \[\mathrm{ZZH}:\qquad \vec{p_1} \,+\, \vec{p_2}\ \,=\,\ \vec{p_1^{'}} \,+\, \vec{p_2^{'}} \,,\]

    kde\(\hspace{20px} \vec{p_{1}}\) – hybnost 1. vozíku před srážkou,

    \(\vec{p_{2}}\) – hybnost 2. vozíku před srážkou,

    \(\vec{p_{1}^{'}}\) – hybnost 1. vozíku po srážce,

    \(\vec{p_{2}^{'}}\) – hybnost 2. vozíku po srážce.

    Dosadíme za hybnost:

    \[m_{1}\vec{v_{1}}\,+\, 0\,=\,m_{1}\vec{v_{1}^{'}}\,+\,m_{2}\vec{v_{1}^{'}}\,.\]

    Zvolíme souřadný systém podle obrázku a přepíšeme skalárně:

    \[m_{1}v_{1}\,=\,\,-m_{1}v_{1}^{'}\,+\,m_{2}v_{1}^{'}\tag{1}\] \[\mathrm{ZZME}: \qquad E_{k1}+E_{k2}=E_{k1}^{'}+E_{k2}^{'}\,,\]

    kde \( \hspace{15px} E_{k1}\) – kinetická energie 1. vozíku před srážkou,

    \(E_{k2}\) – kinetická energie 2. vozíku před srážkou,

    \(E_{k1}^{'}\) – kinetická energie 1. vozíku po srážce,

    \(E_{k2}^{'}\) – kinetická energie 2. vozíku po srážce.

    Dosadíme za kinetickou energii:

    \[\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}\,+\,0\,=\,\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{'2}\,+\,\frac{1}{2}m_{2}v_{1}^{'2}\,.\tag{2}\]

    Rovnici (1) na pravé straně upravíme vytknutím \( v_{1}^{'}\)a pak ji umocníme. Rovnici (2) vynásobíme dvěma.

    \[\mathrm{ZZH}:\hspace{10px} m_{1}v_{1}\,=\,-m_{1}v_{1}^{'}\,+\,m_{2}v_{1}^{'}\,=\,v_{1}^{'}(m_{2}-m_{1}) \hspace{25px}\,/^2\] \[\mathrm{ZZME}:\hspace{10px} \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}\,=\,\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{'2}\,+\,\frac{1}{2}m_{2}v_{1}^{'2} \hspace{25px}\,/\cdot 2\]

    Dostali jsme tvar:

    \[\ m_{1}^{2}v_{1}^{2}\,=\,v_{1}^{'2}(m_{2}-m_{1})^{2}\] \[ m_{1}v_{1}^{2}\,=\,v_{1}^{'2}(m_{1}\,+\,m_{2})\]

    Vyjádříme si z obou rovnic \(v_{1}^{2}\) a dáme do rovnosti:

    \[\frac{v_{1}^{'2}}{m_{1}^{2}}(m_{2}-m_{1})^{2}\,=\,\frac{v_{1}^{'2}}{m_{1}}(m_{1}\,+\,m_{2})\]

    Protože složka \(\frac{v_{1}^{'2}}{m_{1}^{2}}\) je nenulová, můžeme s ní celou rovnici vydělit. Dostaneme:

    \[(m_{2}-m_{1})^{2}\,=\,m_{1}(m_{1}\,+\,m_{2})\]

    Zbývá nám rovnici upravit:

    \[m_{2}^{2}-2m_{1}m_{2}\,+\,m_{1}^{2}\,=\,m_{1}^{2}\,+\,m_{1}m_{2}\] \[m_{2}^{2}-3m_{2}m_{1}\,=\,0\] \[m_{2}(m_{2}-3m_{1})\,=\,0\]

    Protože hmotnost druhého vozíku není nula, musí platit:

    \[m_{2}\,=\,3m_{1}\,.\]

    Pro poměr hmotností vozíků pak platí:

    \[\frac{m_{2}}{m_{1}}\,=\,3\,.\]

    Odpověď: Poměr hmotností vozíků je \( \frac{m_{2}}{m_{1}}\,=\,3\,.\)

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze