Sbírka řešených úloh

Syrakúský král

Úloha číslo: 789

• Nápověda 1

  Jaké síly na korunu a na závaží působí na vzduchu? A jaké síly ve vodě?

• Řešení k nápovědě 1

  Na vzduchu působí na oba předměty gravitační síla a vztlaková síla vzduchu (ta je ve srovnání s gravitační silou malá a nebudeme ji uvažovat). Ve vodě působí kromě gravitační síly na oba předměty také vztlaková síla vody.

• Nápověda 2

  Liší se gravitační síla na vzduchu a ve vodě? Co tedy rozhoduje o zachování rovnováhy ve vodě?

• Řešení k nápovědě 2

  Gravitační síla na obě tělesa je na vzduchu i ve vodě stejná. Pokud se tedy rovnováha ve vodě porušila, znamená to, že na korunu a na závaží působí různá vztlaková síla.

• Nápověda 3

  Co ovlivňuje velikost vztlakové síly? Popište vztah, který vyjadřuje Archimédův zákon. Co z toho plyne pro objem a pro hustotu koruny a závaží? Na základě hustoty jste již schopni rozhodnout.

• Řešení k nápovědě 3

  Vztlakovou sílu spočítáme jako:

  \[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}g\,,\]

  kde V je objem ponořené části tělesa, ρ je hustota okolní kapaliny, g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

  Jestliže závaží korunu převáží, znamená to, že na korunu působí větší vztlaková síla. Koruna je touto silou více nadnášena. Víme, že ρ i g jsou pro korunu i závaží stejné. Rozdílnou velikost vztlakové síly způsobuje rozdílný objem koruny a závaží. Koruna má tedy větší objem.

• Poznámka

  Pro g se užívá název tíhové zrychlení. Jeho hodnota není všude na zemském povrchu stejná, největší je na pólech a nejmenší na rovníku. V našich zeměpisných šířkách je g = 9,81 N/kg. Při výpočtech zde používáme zaokrouhlenou hodnotu g = 10 N/kg.

• Nápověda 4

  Už víme, jak je to s objemem koruny a objemem závaží. Umíme rozhodnout, jak to bude s hustotami materiálů, ze kterých jsou vyrobeny? Co z toho můžeme usoudit o pravosti vyrobené koruny?

• Řešení k nápovědě 4

  Koruna má stejnou hmotnost jako závaží (na vzduchu byly oba předměty v rovnováze, mají tedy stejnou hmotnost). Proto víme, že hustota materiálu, ze kterého je koruna vyrobena, musí být nižší než hustota zlata, ze kterého je vyrobeno závaží. Koruna tedy nebyla vyrobena z čistého zlata a mistr zlatník krále podvedl.

• Celkové řešení

  Na vzduchu působí na oba předměty gravitační síla a vztlaková síla vzduchu (ta je ve srovnání s gravitační silou malá a nebudeme ji uvažovat). Ve vodě působí kromě gravitační síly na oba předměty také vztlaková síla vody.

  Gravitační síla na obě tělesa je na vzduchu i ve vodě stejná. Pokud se tedy rovnováha ve vodě porušila, znamená to, že na korunu a na závaží působí různá vztlaková síla.

  Vztlakovou sílu spočítáme jako:

  \[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}g\,,\]

  kde V je objem ponořené části tělesa, ρ je hustota okolní kapaliny, g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

  Jestliže závaží korunu převáží, znamená to, že na korunu působí větší vztlaková síla. Koruna je touto silou více nadnášena. Víme, že ρ i g jsou pro korunu i závaží stejné. Rozdílnou velikost vztlakové síly způsobuje rozdílný objem koruny a závaží. Koruna má tedy větší objem.

  Koruna má stejnou hmotnost jako závaží (na vzduchu byly oba předměty v rovnováze, mají tedy stejnou hmotnost). Proto víme, že hustota materiálu, ze kterého je koruna vyrobena, musí být nižší než hustota zlata, ze kterého je vyrobeno závaží. Koruna tedy nebyla vyrobena z čistého zlata a mistr zlatník krále podvedl.

• Odpověď

  Hustota materiálu, ze kterého je koruna vyrobena, je nižší než hustota zlata, ze kterého je vyrobeno závaží. Koruna tedy nebyla vyrobena z čistého zlata a mistr zlatník krále podvedl.