Syrakúský král

Úloha číslo: 789

Dle legendy si nechal syrakúský král Hieron II. zhotovit zlatou korunu ve tvaru vavřínového věnce a požádal Archiméda, aby zjistil, zda je vyrobena z ryzího zlata. Archimédes vyvážil korunu na vzduchu zlatým závažím a poté ponořil vyvážený systém do vody. Zlaté závaží korunu převážilo a zlatník přišel o hlavu.

Vysvětlete, proč stihl mistra zlatníka tak nemilosrdný trest.

  • Nápověda 1

    Jaké síly na korunu a na závaží působí na vzduchu? A jaké síly ve vodě?

  • Nápověda 2

    Liší se gravitační síla na vzduchu a ve vodě? Co tedy rozhoduje o zachování rovnováhy ve vodě?

  • Nápověda 3

    Co ovlivňuje velikost vztlakové síly? Popište vztah, který vyjadřuje Archimédův zákon. Co z toho plyne pro objem a pro hustotu koruny a závaží? Na základě hustoty jste již schopni rozhodnout.

  • Nápověda 4

    Už víme, jak je to s objemem koruny a objemem závaží. Umíme rozhodnout, jak to bude s hustotami materiálů, ze kterých jsou vyrobeny? Co z toho můžeme usoudit o pravosti vyrobené koruny?

  • Celkové řešení

    Na vzduchu působí na oba předměty gravitační síla a vztlaková síla vzduchu (ta je ve srovnání s gravitační silou malá a nebudeme ji uvažovat). Ve vodě působí kromě gravitační síly na oba předměty také vztlaková síla vody.

    Gravitační síla na obě tělesa je na vzduchu i ve vodě stejná. Pokud se tedy rovnováha ve vodě porušila, znamená to, že na korunu a na závaží působí různá vztlaková síla.

    Vztlakovou sílu spočítáme jako:

    \[F_{vz}\,=\,V{\rho}g\,,\]

    kde V je objem ponořené části tělesa, ρ je hustota okolní kapaliny, g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

    Jestliže závaží korunu převáží, znamená to, že na korunu působí větší vztlaková síla. Koruna je touto silou více nadnášena. Víme, že ρg jsou pro korunu i závaží stejné. Rozdílnou velikost vztlakové síly způsobuje rozdílný objem koruny a závaží. Koruna má tedy větší objem.

    Koruna má stejnou hmotnost jako závaží (na vzduchu byly oba předměty v rovnováze, mají tedy stejnou hmotnost). Proto víme, že hustota materiálu, ze kterého je koruna vyrobena, musí být nižší než hustota zlata, ze kterého je vyrobeno závaží. Koruna tedy nebyla vyrobena z čistého zlata a mistr zlatník krále podvedl.

  • Odpověď

    Hustota materiálu, ze kterého je koruna vyrobena, je nižší než hustota zlata, ze kterého je vyrobeno závaží. Koruna tedy nebyla vyrobena z čistého zlata a mistr zlatník krále podvedl.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha řešená úvahou
Úloha na výklad, vysvětlení smyslu nebo významu, zdůvodnění
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
×Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
Zaslat komentář k úloze