Skluz tělesa po povrchu koule

Úloha číslo: 490

Z nejvyššího bodu koule s poloměrem R klouže bez tření malé těleso po povrchu koule dolů.

  • A) V jaké hloubce h pod nejvyšším bodem se těleso oddělí od povrchu koule?
  • B) Určete rychlost tělesa v okamžiku oddělení od kulové plochy, jestliže mělo v nejvyšším bodě nulovou rychlost.
  • C) V jaké vzdálenosti od bodu dotyku koule s vodorovnou podložkou dopadne těleso na podložku?
Základní situace
  • Nápověda 1A

    Udělejte si náčrtek působících sil, když je těleso na vrcholu koule a na místě, ve kterém očekáváte odloučení tělesa od povrchu koule.

    Usnadní nám nějak práci, když tyto síly vhodně rozložíme?

  • Nápověda 2A

    Napište pohybovou rovnici pro těleso a přepište ji skalárně.

  • Nápověda 3A

    Vyjádřete cosα pomocí poloměru koule a hledané hloubky h.

    Uvědomte si, jaký vztah platí pro normálové zrychlení tělesa.

  • Nápověda 4A

    Vzhledem k tomu, že těleso po kouli klouže bez tření, můžete jeho rychlost v okamžiku oddělení určit ze zákona zachování mechanické energie.

  • Nápověda 5B

    Velikost rychlosti tělesa v okamžiku oddělení je daná vztahem (5). Stačí dosadit.

    Určete ještě, jaký úhel svírá vektor rychlosti s vodorovným směrem.

  • Nápověda 6C

    O jaký typ pohybu půjde po oddělení tělesa od koule? Jak se bude s časem měnit vzdálenost, kterou urazí ve vodorovném a ve svislém směru?

  • Nápověda 7C

    Z jaké výšky těleso padá? Jak dlouho trvá pád? Jakou vzdálenost přitom těleso urazí ve vodorovném směru?

    Do konečného výsledku nezapomeňte započítat kolmou vzdálenost místa oddělení tělesa od bodu dotyku koule s podložkou.

  • Celkové řešení

    A. V jaké hloubce pod nejvyšším bodem se těleso oddělí od povrchu koule?

    Nakreslíme obrázek a vyznačíme působící síly:

    Znázornění sil

    na vrcholu koule:

    \(\vec{F}_G\) ..... tíhová síla

    \(\vec{F}_r\) ..... síla, kterou tlačí do tělesa koule

    v místě oddělení:

    (V okamžiku oddělení přestane koule do tělesa tlačit a síla \(\vec{F}_r\) je nulová.)

    Sílu \(\vec{F}_G\) rozložíme do dvou složek:

    normálové, směřující do středu koule....\(\vec{F}_n\)

    tečné, směřující ve směru rychlosti tělesa v okamžiku oddělení .... \(\vec{F}_t\)

    Napíšeme pohybovou rovnici pro těleso a přepíšeme ji skalárně:

    \[\vec{F}_{r} + \vec{F}_{G} = m\vec{a}\,.\]

    V okamžiku odpoutání tělesa od povrchu koule bude velikost síly Fr nulová, což nám vztah zjednoduší:

    \[\vec{F}_{G} = m\vec{a}\,.\]

    Přepíšeme skalárně:

    ve směru tečném: \[F_{G}\sin\alpha = ma_{t},\tag{1}\]

    ve směru normály: \[F_{G}\cos\alpha = ma_{n},\tag{2}\]

    kde at je tečné a an normálové zrychlení.

    Vyjádříme cosα pomocí poloměru koule a hledané hloubky h:

    Geometrické vztahy

    Z obrázku vyplývá, že:

    \[\cos\alpha = \frac{R-h}{R}\,.\tag{3}\]

    Pro velikost dostředivého (normálového) zrychlení při pohybu po kružnici poloměru R platí: \(a_{n} = \frac{v^2}{R}\,.\)

    Dosadíme do rovnice (2):

    \[mg\frac{R-h}{R} = m\frac{v^2}{R}\,.\]

    Odtud:

    \[v^2 = g(R-h)\,.\tag{4}\]

    Vzhledem k tomu, že těleso po kouli klouže bez tření, můžeme jeho rychlost v okamžiku oddělení určit ze zákona zachování mechanické energie:

    Hladinu nulové potenciální energie volíme v místě oddělení. Pak platí:

    \[mgh = \frac{1}{2}mv^2\,.\]

    Odtud:

    \[v^2 = 2gh\,.\tag{5}\]

    Dosadíme do vztahu (4):

    \[2gh = g(R-h)\,,\] \[3h = R\,,\] \[h = \frac{R}{3}\,.\]

    B. Jakou bude mít těleso v okamžiku odpoutání rychlost?

    Velikost rychlosti tělesa je daná vztahem (5). Stačí dosadit. Ještě určíme, jaký úhel svírá vektor rychlosti s vodorovným směrem:

    Dosadíme do vztahu (5):

    \(v^2 = 2gh\); \(h = \frac{R}{3},\)

    \[v = \sqrt{\frac{2}{3}gR}.\tag{6}\]

    V okamžiku odpoutání

    Z obrázku je patrné, že s vodorovným směrem svírá vektor rychlosti tělesa v okamžiku oddělení úhel α.


    C. V jaké vzdálenosti od koule těleso dopadne?

    Nejprve si uvědomíme, o jaký typ pohybu půjde po oddělení tělesa od koule a jak se bude s časem měnit vzdálenost, kterou urazí ve vodorovném a ve svislém směru.

    Jedná se o vrh šikmý dolů. Ve vodorovném směru jde o rovnoměrný přímočarý pohyb, ve svislém směru o vrh svislý dolů. Souřadnice se s časem mění podle následujících vztahů:

    \[x = v_x t = vt\cos\alpha,\] \[y = v_y t + \frac{1}{2}gt^2 = vt\sin\alpha + \frac{1}{2}gt^2.\]

    Podle (3):

    \[\cos\alpha = \frac{R-h}{R} = \frac{R-\frac{R}{3}}{R} = \frac{2}{3}.\]

    S užitím Pythagorovy věty:

    \[\sin\alpha = \frac{\sqrt{R^2 - (R-h)^2}}{R} = \frac{\sqrt{R^2 - \frac{4}{9}R^2}}{R} = \frac{\sqrt{5}}{3}.\]

    Dosadíme:

    \[x = \frac{2}{3}vt,\tag{7}\] \[y = \frac{\sqrt{5}}{3}vt + \frac{1}{2}gt^2.\tag{8}\]

    Těleso padá z výšky \(\frac{5}{3}R.\)

    Dobu pádu zjistíme ze vztahu (8), když uvážíme jakou dráhu musí těleso během pádu urazit k podložce:

    \[y = \frac{5}{3}R,\] \[\frac{5}{3}R = \frac{\sqrt{5}}{3}vt + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{\sqrt{5}}{3}\sqrt{\frac{2}{3}gR}t + \frac{1}{2}gt^2.\]

    Upravíme:

    \[\frac{1}{2}gt^2 + \frac{1}{3}\sqrt{\frac{10}{3}gR}t - \frac{5}{3}R = 0.\]

    Vynásobíme šesti:

    \[3gt^2 + 2\sqrt{\frac{10}{3}gR}t - 10R = 0.\]

    Čas vyjádříme podle vzorce pro kořeny kvadratické rovnice a bereme v úvahu pouze kladný kořen – záporný čas nedává fyzikální smysl.

    \[D = \frac{40}{3}gR + 120gR = \frac{400}{3}gR\]

    Odtud pak:

    \[t = \frac{-\sqrt{\frac{10}{3}gR} + 10\sqrt{\frac{1}{3}gR}}{3g}.\]

    Ve vodorovném směru těleso urazí podle vztahu (7) vzdálenost:

    \[x = \frac{2}{3}vt = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}gR}(\frac{-\sqrt{\frac{10}{3}gR} + 10\sqrt{\frac{1}{3}gR}}{3g}).\]

    Roznásobíme a upravíme:

    \[x = (\frac{20}{27}\sqrt{2} - \frac{4}{27}\sqrt{5})R =\frac{4}{27}R (5\sqrt{2} - \sqrt{5}).\]

    K této vzdálenosti musíme ještě přičíst vodorovnou vzdálenost, kterou těleso urazilo po povrchu koule.

    \[d = R\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}R\] Výsledná vzdálenost tedy bude: \[L = x + d = \frac{4}{27}R (5\sqrt{2} - \sqrt{5}) + \frac{\sqrt{5}}{3}R = \frac{R}{3}(\frac{20\sqrt{2}}{9} -\frac{4\sqrt{5}}{9} + \sqrt{5}),\] \[L = \frac{5R}{27}(4\sqrt{2} + \sqrt{5}) \dot= 1{,}46 R.\]
  • Odpověď

    A) Těleso se odpoutá od povrchu koule v hloubce rovné třetině poloměru koule:

    \[h = \frac{R}{3}\,.\]

    B) Velikost rychlosti tělesa je ve chvíli odpoutání:

    \[v = \sqrt{\frac{2}{3}gR}\,.\]

    Vektor rychlosti tělesa svírá v okamžiku odpoutání s vodorovným směrem úhel α.

    C) Vzdálenost mezi bodem, kde se koule dotýká podložky, a bodem, kde těleso dopadne, je:

    \[L = \frac{5R}{27}(4\sqrt{2} + \sqrt{5}) \dot= 1{,}46 R\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze