Plování skleněné trubice

Úloha číslo: 1035

Skleněná trubice ve tvaru dutého válce o vnějším průměru 40 mm má délku 1 m. Trubice je naplněna vzduchem a na obou koncích uzavřena zátkami. Určete, jaký je vnitřní průměr trubice, jestliže se tato ve vodě volně vznáší. Hustota použitého skla je 2500 kg·m-3, hmotnost zátek a vzduchu uvnitř trubice zanedbejte.

  • Zápis

    d1 = 40 mm = 0,040 m vnější průměr trubice
    l = 1 m délka trubice
    ρs = 2500 kg·m−3 hustota skla
    d2 = ? vnitřní průměr trubice
  • Nápověda 1

    Nakreslete si obrázek. Jaké síly na trubici ponořenou ve vodě působí a jaký mají směr? Co pro tyto síly platí, víte-li, že se trubice ve vodě volně vznáší?

  • Nápověda 2 - určení tíhové síly

    Určete velikost tíhové síly působící na trubici. Jak si poradíte s tím, že neznáte hmotnost trubice? Využijte definiční vztah pro hustotu. I po jeho použití ale ve vztahu pro tíhovou sílu zbyde veličina, jež není explicitně zadaná - která?

  • Nápověda 3 - určení tíhové síly

    K určení objemu skla, ze kterého je trubice vyrobená (potřebného k výpočtu tíhové síly) budete muset spočítat objemy dvou válců. Jakých? Kde je v obrázku najdete? Výsledný objem skla dosaďte do vztahu pro tíhovou sílu.

  • Nápověda 4 - určení vztlakové síly

    Nyní určete vztlakovou sílu působící na trubici. Ve vztahu pro její výpočet vystupuje objem - bude to stejný objem, jako ve výpočtu tíhové síly? Uvědomte si, že trubice je na obou koncích uzavřena zátkami.

  • Nápověda 5

    Velikost tíhové a vztlakové síly položte do rovnosti dle vztahu (1) a vyjádřete vnitřní průměr trubice d2. Číselně dopočítejte.

  • Celkové řešení

    Nákres situace a působící síly

    Na trubici působí:

    • tíhová síla FG směrem svisle dolů,
    • vztlaková síla Fvz směrem svisle vzhůru.

    Jestliže se trubice ve vodě volně vznáší (tj. je v klidu), je výsledná síla na ni působící nulová, tedy:

    \[\vec{F}_G\,+\,\vec{F}_{vz}\,=\,\vec{o}\,.\]

    Protože výše uvedené dvě síly mají opačný směr, lze pro jejich velikosti psát:

    \[F_G\,-\,F_{vz}\,=\,0\,\Rightarrow\,F_G\,=\,F_{vz}\,.\tag{1}\]

    Při určování tíhové síly působící na trubici vyjdeme ze známého vztahu:

    \[F_G\,=\,mg\,,\tag{2}\]

    kde m je hmotnost trubice a g tíhové zrychlení. Neznáme sice hmotnost trubice m, ale je zadána hustota skla ρs, ze kterého je trubice vyrobena - hmotnost m tedy vyjádříme z definičního vztahu pro hustotu:

    \[{\rho_s}\,=\,\frac{m}{V}\,\Rightarrow\,m\,=\,{\rho_s}V\,,\tag{3}\]

    kde V je objem skla, ze kterého je trubice vyrobená. Spojením vztahů (2) a (3) dostáváme pro tíhovou sílu:

    \[F_G\,=\,{\rho_s}Vg\,.\tag{4}\]

    Stále ovšem neznáme objem skla, ze kterého je trubice vyrobená. Žádný obecně známý vztah nám sice neříká, jak jej počítat, snadnou úvahou jej ale určíme. V našem obrázku si představte dva válce:

    • Větší válec (objem V1) o výšce l a poloměru podstavy d1.
    • Menší válec (objem V2) o výšce rovněž l a poloměru podstavy d2.

    Z obrázku je ihned patrné, že objem skla, ze kterého je trubice vyrobená, je roven rozdílu objemů V1 a V2, tedy:

    \[V\,=\,V_1\,-\,V_2\,.\tag{5}\]

    Za pomoci vztahu pro objem válce pak platí:

    \[V\,=\,{\pi}(\frac{d_1}{2})^2l\,-\,{\pi}(\frac{d_1}{2})^2l\,=\,\frac{{\pi}l}{4}(d_1^2\,-\,d_2^2)\,.\tag{6}\]

    Dosazením do vztahu (4) konečně dostáváme finální vztah pro výpočet tíhové síly:

    \[F_G\,=\,{\rho_s}\frac{{\pi}l}{4}(d_1^2\,-\,d_2^2)g\,.\tag{7}\]

    Vztlakovou sílu určíme podle známého vztahu:

    \[F_{vz}\,=\,V'{\rho}g\,,\tag{8}\]

    kde je objem vymezený ponořenou trubicí, ρ hustota kapaliny (zde tedy vody) a g tíhové zrychlení. Je třeba si uvědomit, že objem vymezený ponořenou trubicí zahrnuje jak objem V vlastní trubice (určený vztahem (6)), tak objem její dutiny - jde tedy o válec výšky l s poloměrem podstavy d1:

    \[V'\,=\,{\pi}(\frac{d_1}{2})^2l\,.\tag{9}\]

    Dosazením do vztahu (8) pro vztlakovou sílu:

    \[F_{vz}\,=\,{\pi}(\frac{d_1}{2})^2l{\rho}g\,.\tag{10}\]

    Nyní máme k dispozici obecné vyjádření velikosti obou sil, které dle vztahu (1) položíme do rovnosti. Dosazením (7) a (10) do (1) dostáváme:

    \[{\rho_s}\frac{{\pi}l}{4}(d_1^2\,-\,d_2^2)g\,=\,{\pi}(\frac{d_1}{2})^2l{\rho}g\,,\] \[{\rho_s}\frac{{\pi}l}{4}(d_1^2\,-\,d_2^2)\,=\,\frac{{\pi}l}{4}d_1^2{\rho}\,,\] \[{\rho_s}(d_1^2\,-\,d_2^2)\,=\,d_1^2{\rho}\,,\] \[d_1^2 (\rho_s-\rho) = \rho_s d_2^2\,,\] \[d_2\,=\,d_1\sqrt{1\,-\,\frac{\rho}{\rho_s}}\,.\]

    Číselně:

    \[d_2\,=\,0{,}040\sqrt{1\,-\,\frac{1000}{2500}}\,\mathrm{m}\,\dot=\,31\,\mathrm{mm}\,.\]
  • Odpověď

    Vnitřní průměr trubice je asi 31 mm.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ
sdělovací techniky Praha
×Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ sdělovací techniky Praha
Zaslat komentář k úloze