Princip Pitotovy trubice

Úloha číslo: 1038

Do vodorovného potrubí jsou vložené dvě manometrické trubice; jedna z nich je rovná, druhá ohnutá do pravého úhlu a obrácená otvorem proti směru proudění kapaliny. Jaká je rychlost tohoto proudění, jestliže v rovné trubici vystoupila voda do výšky 10 cm a v ohnuté trubici do výšky 30 cm?

Nákres situace
  • Zápis

    h1 = 30 cm = 0,30 m výška hladiny v zahnuté trubici
    h2 = 10 cm = 0,10 m výška hladiny v rovné trubici
    v = ? rychlost proudící kapaliny
  • Nápověda 1

    Zadání se nás ptá na rychlost proudící vody. Vybavíte si nějaký fyzikální vztah, který se věnuje proudění kapalin a přitom se v něm pracuje s rychlostí? Prozradíme, že další veličinou, která ve vztahu vystupuje, je tlak.

  • Nápověda 2

    Použijte Bernoulliho rovnici na náš příklad – rozepište výraz na levé straně vztahu (1) pro ústí ohnuté trubice (bod A) i ústí rovné trubice (bod B). Uvědomte si, že tento součet zůstává pro dané vodorovné potrubí konstantní.

  • Nápověda 3

    Jaká je rychlost proudění v1 v bodě A? Zjednodušte Bernoulliho rovnici ze (2). Které veličiny zbývá ještě určit?

  • Nápověda 4

    Jakým způsobem určíme tlak v místech A a B? Uvědomte si, jaké zadané údaje jsme zatím nevyužili.

  • Nápověda 5

    Dosaďte ze vztahů (4) a (5) do rovnice (2) a vyjádřete hledanou rychlost v. Dopočítejte číselně.

  • Použití tohoto jevu - Pitotova trubice

    Konstrukce popsaná na obrázku k této úloze našla uplatnění zejména v leteckém průmyslu při konstrukci rychloměrů letadel. Proudícím médiem není kapalina, ale vzduch, a zjednodušeně lze říci, že z rozdílu tlaků v rovné a ohnuté trubici lze určit rychlost letadla.

  • Celkové řešení

    Proudění kapaliny vodorovným potrubím nejjednodušeji popisuje Bernoulliho rovnice, která má tvar:

    \[\frac{1}{2}{\rho_k}v_k^2\,+\,p\,=\,konst.\tag{1}\]

    kde ρk je hustota proudící kapaliny, vk její rychlost a p tlak v kapalině v daném místě potrubí. (Jde vlastně o zákon zachování mechanické energie pro ustálené proudění ideální kapaliny vztažený na jednotkový objem kapaliny.)

    Označíme v1 rychlost proudění v bodě A a p1 tlak v bodě A, v2 rychlost proudění v bodě B a p2 tlak v bodě B. Podle Bernoulliho rovnice platí:

    \[\frac{1}{2}{\rho}v_1^2\,+\,p_1\,=\,\frac{1}{2}{\rho}v_2^2\,+\,p_2\,,\tag{2}\]

    kde ρ je hustota vody. Levá část rovnosti popisuje proudění v bodě A, pravá strana proudění v bodě B.

    Jakmile se kapalina dostane k ústí zahnuté trubice, zastaví se, tj. v1 = 0 m·s-1. Ve vztahu (2) zůstává tedy pouze jediná nenulová rychlost v2 = v a tento vztah lze potom přepsat jako:

    \[p_1\,=\,\frac{1}{2}{\rho}v^2\,+\,p_2\,.\tag{3}\]

    Máme zadánu výšku vody h1, h2 v obou manometrických trubicích, což nám umožňuje počítat tlak p1, resp. p2 jako hydrostatický tlak vodního sloupce v trubici - na tomto principu je koneckonců manometrické měření tlaku založeno. Ze známého vztahu pro hydrostatický tlak dostáváme:

    \[p_1\,=\,h_1{\rho}g\,,\tag{4}\] \[p_2\,=\,h_2{\rho}g\,,\tag{5}\]

    kde ρ je hustota vody a g tíhové zrychlení.

    Dosazením vztahů (4) a (5) do rovnice (3) dostáváme:

    \[h_1{\rho}g\,=\,\frac{1}{2}{\rho}v^2\,+\,h_2{\rho}g\,,\] \[h_1g\,=\,\frac{1}{2}v^2\,+\,h_2g\,,\] \[v\,=\,\sqrt{2g(h_1\,-\,h_2)}\,.\]

    Číselně:

    \[v\,=\,\sqrt{2{\cdot}9{,}81(0{,}30\,-\,0{,}10)}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}\,\dot=\,2\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}\,.\]
  • Odpověď

    Rychlost proudění vody v potrubí je přibližně 2 m·s-1.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ
sdělovací techniky Praha
×Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ sdělovací techniky Praha
Zaslat komentář k úloze