Hod míčem

Úloha číslo: 128

Míč byl hozen svisle vzhůru počáteční rychlostí 10 m·s−1. Do jaké maximální výšky vystoupá, jestliže zanedbáme odpor vzduchu? Jak dlouho mu potrvá výstup do výšky, která je rovna právě polovině maximální výšky vrhu?

  • Zápis

    v0 = 10 m·s−1 počáteční rychlost míče
    hmax = ? (m) maximální výška
    t1 = ? (s) doba, za kterou míč vyletí do poloviny maximální výšky
    Z tabulek:
    g = 10 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Nápověda 1: Pohyb míče

    Jaký typ pohybu míč při pohybu vzhůru vykonává? Jak se mění s časem rychlost míče? Jak se s časem mění výška vrhu?

  • Nápověda 2: Bod obratu

    Jakou rychlost bude mít míč v bodě obratu, tedy v maximální výšce? Za jaký čas vystoupí do bodu obratu? Jakou dráhu přitom urazí?

  • Nápověda 3: Výška vrhu

    Víte, jak se mění s časem výška vrhu a znáte i hodnotu poloviny maximální výšky. Jak zjistíte, za jaký čas této výšky míč dosáhne?

  • Nápověda 4: Řešení kvadratické rovnice

    Řešením kvadratické rovnice pro čas dostanete dvě hodnoty. Která je řešením úlohy a jaký význam má druhá hodnota?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Jedná se o vrh svislý vzhůru. Pro závislost rychlosti míče a výšky vrhu na čase platí:

    \[v(t)\,=\, v_0\,-\,gt\,,\] \[h(t) \,=\,v_0t \,-\, \frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]

     

    1. Maximální výška

    V bodě obratu se míč zastaví, v = 0:

    \[0\,=\,v_0\,-\,gt_v\,.\]

    Doba výstupu je rovna:

    \[t_v\,=\,\frac{v_0}{g}\,.\]

    Výška výstupu je rovna:

    \[h_{max}\,=\,v_0t_v\,-\,\frac{1}{2}\,gt_v^{2}\,,\] \[h_{max}\,=\,v_0\,\frac{v_0}{g}\,-\,\frac{g}{2}\frac{v_0^{2}}{g^{2}}\,=\,\frac{v_o^{2}}{2g}\,.\]

    Číselně:

    \[t_v \,=\, \frac{10}{10}\,\mathrm{s} \,=\, 1\,\mathrm{s}\,,\] \[h_{max}\,=\,\frac{10^{2}}{2{\cdot} 10}\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m}\,.\]

     

    2. Čas výstupu do poloviny maximální výšky

    Víme, že pro okamžitou výšku vrhu platí:

    \[h \,=\, v_0t\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}\,,\]

    kde

    \[h\,=\,\frac{h_{max}}{2} \,=\, \frac{v_0^{2}}{4g}\,.\]

    Tedy:

    \[\frac{v_0^{2}}{4g} \,=\, v_0t\,-\,\frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]

    Vynásobíme 4g:

    \[v_0^{2} \,=\, 4v_0tg \,-\, 2g^{2}t^{2}\,.\]

    Jedná se o kvadratickou rovnici, v níž neznámou je čas t:

    \[2g^{2}t^{2}\,-\, 4v_0tg \,+\, v_0^{2} \,=\,0\,.\]

    Jejím řešením je:

    \[t_{1{,}2}\,=\,\frac{4v_0g\,\pm\,\sqrt{8v_0^{2}g^{2}}}{4g^{2}}\,,\] \[t_{1{,}2}\,=\,\frac{2v_0\,\pm\,\sqrt{2}v_0}{2g}\,=\,\frac{v_0}{g}\,\left(1\,\pm\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,.\]

    Po dosazení zadaných hodnot pak dostáváme dvě reálná řešení:

    \[t_1 \,=\, \frac{v_0}{g}\,\left(1\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,,\] \[t_2 \,=\, \frac{v_0}{g}\,\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,1{,}7\,\mathrm{s}\,.\]

     

    První řešení odpovídá první polovině vrhu, kdy těleso stoupá směrem vzhůru pohybem rovnoměrně zpomaleným, druhý čas pak přísluší již zpáteční cestě, kdy se těleso vrací zpět k zemi volným pádem. Povšimněte si, že obě řešení vycházejí symetricky vzhledem k času \(t_v\,=\,1\,\mathrm{s}\) (době výstupu).

  • Odpověď:

    Míč vystoupá do maximální výšky vrhu

    \[h_{max}\,=\,\frac{v_0^{2}}{2g}\,\dot=\,5\,\mathrm{m}\,.\]

    Výstup do poloviny maximální výšky vrhu míči potrvá

    \[t_1\,=\,\frac{v_0}{g}\,\left(1\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze