Hod míčem
Úloha číslo: 128
Míč byl hozen svisle vzhůru počáteční rychlostí 10 m·s−1. Do jaké maximální výšky vystoupá, jestliže zanedbáme odpor vzduchu? Jak dlouho mu potrvá let do výšky, která je rovna právě polovině maximální výšky vrhu?
Zápis
v0 = 10 m·s−1 počáteční rychlost míče hmax = ? (m) maximální výška t1 = ? (s) doba, za kterou míč vyletí do poloviny maximální výšky Z tabulek: g = 10 m·s−2 tíhové zrychlení Nápověda 1: Pohyb míče
Jaký typ pohybu míč při pohybu vzhůru vykonává? Jak se mění s časem rychlost míče? Jak se s časem mění výška vrhu?
Nápověda 2: Bod obratu
Jakou rychlost bude mít míč v bodě obratu, tedy v maximální výšce? Za jaký čas vystoupí do bodu obratu? Jakou dráhu přitom urazí?
Nápověda 3: Výška vrhu
Víte, jak se mění s časem výška vrhu, a znáte i hodnotu poloviny maximální výšky. Jak zjistíte, za jaký čas této výšky míč dosáhne?
Nápověda 4: Řešení kvadratické rovnice
Řešením kvadratické rovnice pro čas dostanete dvě hodnoty. Která je řešením úlohy a jaký význam má druhá hodnota?
CELKOVÉ ŘEŠENÍ:
Jedná se o vrh svislý vzhůru. Pro závislost rychlosti míče a výšky vrhu na čase platí:
\[v(t)\,=\, v_0\,-\,gt\,,\] \[h(t) \,=\,v_0t \,-\, \frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]1. Maximální výška
V bodě obratu se míč zastaví, v = 0:
\[0\,=\,v_0\,-\,gt_\mathrm{v}\,.\]Doba výstupu je rovna:
\[t_\mathrm{v}\,=\,\frac{v_0}{g}\,.\]Výška výstupu je rovna:
\[h_\mathrm{max}\,=\,v_0t_\mathrm{v}\,-\,\frac{1}{2}\,gt_\mathrm{v}^{2}\,,\] \[h_\mathrm{max}\,=\,v_0\,\frac{v_0}{g}\,-\,\frac{g}{2}\frac{v_0^{2}}{g^{2}}\,=\,\frac{v_0^{2}}{2g}\,.\]Číselně:
\[t_\mathrm{v} \,=\, \frac{10}{10}\,\mathrm{s} \,=\, 1\,\mathrm{s}\,,\] \[h_\mathrm{max}\,=\,\frac{10^{2}}{2{\cdot} 10}\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m}\,.\]2. Čas výstupu do poloviny maximální výšky
Víme, že pro okamžitou výšku vrhu platí:
\[h \,=\, v_0t\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}\,,\]kde
\[h\,=\,\frac{h_\mathrm{max}}{2} \,=\, \frac{v_0^{2}}{4g}\,.\]Tedy:
\[\frac{v_0^{2}}{4g} \,=\, v_0t\,-\,\frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]Vynásobíme 4g:
\[v_0^{2} \,=\, 4v_0tg \,-\, 2g^{2}t^{2}\,.\]Jedná se o kvadratickou rovnici, v níž neznámou je čas t:
\[2g^{2}t^{2}\,-\, 4v_0tg \,+\, v_0^{2} \,=\,0\,.\]Jejím řešením je:
\[t_{1{,}2}\,=\,\frac{4v_0g\,\pm\,\sqrt{8v_0^{2}g^{2}}}{4g^{2}}\,,\] \[t_{1{,}2}\,=\,\frac{2v_0\,\pm\,\sqrt{2}v_0}{2g}\,=\,\frac{v_0}{g}\,\left(1\,\pm\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,.\]Po dosazení zadaných hodnot pak dostáváme dvě reálná řešení:
\[t_1 \,=\, \frac{v_0}{g}\,\left(1\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,,\] \[t_2 \,=\, \frac{v_0}{g}\,\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,1{,}7\,\mathrm{s}\,.\]První řešení odpovídá první polovině vrhu, kdy těleso stoupá směrem vzhůru pohybem rovnoměrně zpomaleným, druhý čas pak přísluší již zpáteční cestě, kdy se těleso vrací zpět k zemi volným pádem. Povšimněte si, že obě řešení vycházejí symetricky vzhledem k času \(t_\mathrm{v}\,=\,1\,\mathrm{s}\) (době výstupu).
Odpověď:
Míč vystoupá do maximální výšky vrhu
\[h_\mathrm{max}\,=\,\frac{v_0^{2}}{2g}\,\dot=\,5\,\mathrm{m}\,.\]Výstup do poloviny maximální výšky vrhu míči potrvá
\[t_1\,=\,\frac{v_0}{g}\,\left(1\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,.\]
