Cyklista jede po silnici

Úloha číslo: 83

Po vodorovné přímé silnici jede cyklista stálou rychlostí 27 km·h−1. Odporová síla má velikost Fodp = kv2, kde číselná hodnota {k} = 0,3, přičemž rychlost uvádíme v jednotkách m·s−1 a sílu v newtonech. Hmotnost cyklisty i s kolem je 70 kg. Valivý odpor neuvažujte.

a) Jak velkou silou musí do kola strkat silnice, aby jelo rovnoměrným pohybem?

b) Jakou práci musí cyklista vykonat na trase 1 200 m? Jaký je výkon cyklisty při jízdě? Předpokládejte, že nedochází ke ztrátám mechanické energie.

c) Jakou největší rychlost může vyvinout cyklista při stálem výkonu 600 W?

  • Zápis

    v = 27 km·h−1 rychlost cyklisty
    Fodp = kv2 odporová síla
    {k} = 0,3 konstanta
    m = 70 kg hmotnost cyklisty s kolem
    F = ? síla jakou musíme do kola strkat, aby se pohybovalo rovnoměrně
    W = ? práce jakou vykoná cyklista na trase 1200 m
    P = ? výkon cyklisty při jízdě
    v = ? největší rychlost může vyvinout cyklista při stálem výkonu 600 W
  • Nápověda a) – síla, kterou strká silnice

    Nakreslete si obrázek jedoucího cyklisty a vyznačte do něj působící síly.

    Co můžete říct o výsledné síle, která musí působit na kolo s cyklistou, jede-li stálou rychlostí?

  • Nápověda b1) – práce cyklisty

    Předpokládáme-li, že nedochází ke ztrátám mechanické energie, je práce vykonaná cyklistou rovna práci, kterou vykoná síla, kterou strká silnice do kola, na dané dráze.

  • Nápověda b2) – výkon cyklisty

    Jak můžeme spočítat výkon, známe-li sílu a rychlost, jakou se cyklista pohybuje?

  • Nápověda c) – maximalní rychlost při daném výkonu

    Nyní je daný výkon a potřebujeme zjistit rychlost.

    Nezapomeňte, že síla, kterou působí silnice na kolo, se rovná odporové síle. Platí pro ni vztah:

    \[F\,=\,kv^{2}\,.\tag{2}\]
  • Číselný výpočet

    a)

    Dáno:

    k = 0,3 kg·m−1

    v = 27 km·h−1 = 7,5 m·s−1

    Hledáme:

    F = ?


    \[F\,=\,kv^{2}\,=\,0{,}3{\cdot}7{,}5^{2}\,\mathrm{N}\] \[F\,=\,16{,}9\, \mathrm{N}\]

    b)

    Dáno:

    F = 16,9 N

    s = 1 200 m

    v = 7,5 m·s−1

    Hledáme:

    W = ?

    P = ?


    \[W\,=\,Fs\,=\,16{,}9\,\cdot\,1\,200\,\mathrm{J}\] \[W\,=\,20\,280\, \mathrm{J}\,\,\dot=\,20{,}3\ \mathrm{kJ}\] \[P\,=\,Fv\,=\,16{,}9{\cdot}7{,}5\,\mathrm{W}\] \[P\,=\,127\, \mathrm{W}\]

    c)

    Dáno:

    P = 600 W

    k = 0,3 kg·m−1

    Hledáme:

    v = ?


    \[v=\sqrt[3]{\frac{P}{k}}\,=\,\sqrt[3]{\frac{600}{0{,}3}}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[v\,=\,12{,}6\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\,=\,45{,}4\, \mathrm{km \cdot h^{-1}}\]
  • Odpověď

    a) Síla, kterou silnice strká do kola, je rovna \(F\,=\,kv^2\,=\,16{,}9\,\mathrm{N}\).

    b) Na trase 1 200 m musí cyklista vykonat práci, rovnou \(W\,=\,Fs\,\,\dot=\,20{,}3\ \mathrm{kJ}\,.\) Výkon cyklisty při jízdě je \(P\,=\,Fv\,=\,127\,\mathrm{W}\).

    c) Maximální rychlost, kterou může cyklista vyvinout při stálem výkonu 600 W, je\(v\,=\,\sqrt[3]{\frac{P}{k}}\,=\,45{,}4\, \mathrm{km \cdot h^{-1}}\).

  • Poznámka: Co by se změnilo, kdyby...

    Zkusme ještě spočítat, co a jak by se změnilo, kdyby byla rychlost cyklisty 18 km·h−1 nebo 45 km·h−1.

    Pro rychlost cyklisty 18 km·h−1:

    a)

    k = 0,3 kg·m−1

    v = 18 km·h−1 = 5 m·s−1

    F = ?


    \[F\,=\,kv^2\,=\,0{,}3{\cdot} 5^2\,\mathrm{N}\] \[F\,=\,7{,}5 \,\mathrm{N}\]

    b)

    F = 7,5 N

    s = 1 200 m

    v =¯5 m·s−1


    \[W\,=\,Fs\,=\,7{,}5 \cdot\, 1\,200\,\mathrm{J}\] \[W\,=\,9\,000\, \mathrm{J}\,=\,9\, \mathrm{kJ}\] \[P\,=\,Fv\,=\,7{,}5{\cdot} 5\,\mathrm{W}\] \[P\,=\,37{,}5\, \mathrm{W}\]

    c)

    P = 600 W

    k = 0,3


    \[v\,=\,\sqrt[3]{\frac{P}{k}}\,=\,\sqrt[3]{\frac {600}{0{,}3}}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[v\,=\,12{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\]

    Při menší rychlosti cyklisty se zmenší odporová síla a tím pádem i síla, kterou silnice strká do kola. Menší bude i práce, kterou cyklista vykonal, i jeho výkon. Pro bod c) zůstal výsledek stejný.

    Pro rychlost cyklisty 45 km·h−1:

    a)

    k = 0,3 kg·m−1

    v = 45 km·h−1 = 12,5 m·s−1

    F = ?


    \[F\,=\,kv^2\,=\,0{,}3{\cdot} 12{,}5^2\,\mathrm{N}\] \[F\,=\,46{,}9 \,\mathrm{N}\]

    b)

    F = 46,9 N

    s = 1 200 m

    v = 12,5 m·s−1


    \[W\,=\,Fs\,=\,46{,}9 \cdot \,1\,200\,\mathrm{J}\] \[W\,=\,56\,280\, \mathrm{J}\,\,\dot=\,56{,}3\ \mathrm{kJ}\] \[P\,=\,Fv\,=\,46{,}9{\cdot} 12{,}5\,\mathrm{W}\] \[P\,=\,586\, \mathrm{W}\]

    c)

    P = 600 W

    k = 0,3


    \[v\,=\,\sqrt[3]{\frac{P}{k}}\,=\,\sqrt[3]{\frac {600}{0{,}3}}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[v\,=\,12{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\]

    Při větší rychlosti cyklisty se zvětší odporová síla a tím pádem i síla, kterou silnice strká do kola. Větší bude i práce, kterou cyklista vykonal, i jeho výkon. Pro bod c) zůstal výsledek stejný.

  • Celkové řešení bodu a)

    Cyklista na silnici

    Pro zjednodušení si představíme cyklistu s kolem jako jedno těleso. Zakreslíme si do obrázku všechny půdobící síly.

    Cyklista na silnici

    \(\vec{F}\)…hledaná síla, kterou do kola strká silnice

    \(\vec{N}\)…síla, kterou do kola tlačí silnice

    \(\vec{F}_g\)…tíhová síla

    \(\vec{F}_{odp}\)…odporová síla

    Výsledná síla působící na cyklistu s kolem musí být při rovnoměrném přímočarém pohybu rovna nule.

    \[\vec{F}_g\,\,+\,\,\vec{N}\,\,+\,\,\vec{F}_{odp}\,\,+\,\,\vec{F}\,=\,O.\]

    Tíhová síla, kterou na cyklistu s kolem působí Země, se vyruší se silou, kterou do kola tlačí silnice.

    \[F_g-N\,=\,0.\]

    Síla, kterou do kola strká silnice, musí být rovna odporové síle.

    \[F\,=\,F_{odp}\,=\,kv^{2},\] \[F\,=\,0{,}3{\cdot}7{,}5^{2}\,\mathrm{N},\] \[F\,=\,16{,}9\, \mathrm{N}.\]

    k…konstanta

    v…rychlost cyklisty

    Odpověď: Síla, kterou silnice strká do kola, je F = 16,9 N.

  • Celkové řešení bodu b)

    Síla, kterou strká do kola silnice, je konstantní a působí ve směru posunutí cyklisty, takže práci spočítáme podle vztahu:

    \[W\,=\,Fs\,=\,kv^2s,\] \[W\,=\,16{,}9\cdot\,1\,200\,\mathrm{J},\] \[W\,=\,20\,280\, \mathrm{J}\,\dot=20{,}3\ \mathrm{kJ}.\]

    W…vykonaná práce

    F…síla, kterou strká silnice do kola

    s…ujetá dráha

    v…rychlost cyklisty

    Pro okamžitý výkon platí:

    \[P\,=\,\frac{dW}{dt}\,=\,\frac {\mathrm{d}F\cdot s}{\mathrm{d}t}\,=\,F\cdot\frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,=\,F\cdot v.\tag{1}\] \[P\,=\,Fv,\] \[P\,=\,16{,}9{\cdot}7{,}5\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,127\, \mathrm{W}.\]

    Odpověď:

    Na trase 1 200 m musí cyklista vykonat práci, rovnou \(W\,\dot=\,20{,}3\ \mathrm{kJ}.\)

    Výkon cyklisty při jízdě je \(P\,=\,127\,\mathrm{W}.\)

  • Celkové řešení bodu c)

    Do vztahu pro okamžitý výkon \(P=Fv\) dosadíme za sílu F:

    \[F\,=\,kv^{2},\] \[P\,=\,kv^{3}.\]

    Odsud vyjádříme rychlost:

    \[v^{3}\,=\,\frac{P}{k}.\]

    Rovnici odmocníme:

    \[v\,=\,\sqrt[3]{\frac{P}{k}},\] \[v\,=\,\sqrt[3]{\frac{600}{0{,}3}}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[v\,=\,12{,}6\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,=\,45{,}4\, \mathrm{km \cdot h^{-1}}.\]

    Odpověď: Maximální rychlost, kterou může cyklista vyvinout při stálem výkonu 600 W, je\(v=45{,}4\, \mathrm{km \cdot h^{-1}}\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze