Punker na desce
Úloha číslo: 531
Na obvodu nehybné vodorovné homogenní kruhové desky o hmotnosti 140 kg a poloměru 4 m, volně otáčivé kolem svislé osy ve středu, stojí punker o hmotnosti 79 kg se dvěma kilogramovými závažími v rukou.
a)
Zápis
M = 140 kg hmotnost desky r = 4 m poloměr desky m1 = 79 kg hmotnost punkera m0 = 1 kg hmotnost závaží v0 = 20 m·s-1 počáteční rychlost závaží ω1 = ? (s−1) úhlová rychlost otáčení desky po odhodzení prvního závaží ω2 = ? (s−1) úhlová rychlost otáčení desky, přejde-li punker po odhození prvního závaží o 2 m blíž k ose ω3 = ? (s−1) úhlová rychlost otáčení desky po odhození druhého závaží Momenty setrvačnosti:
Podle tabulek je moment setrvačnosti desky (i válce) o hmotnosti M a poloměru r při otáčení podle osy symetrie \(J=\frac{1}{2}Mr^2\).
Těleso, jehož veškerá hmotnost m je ve vzdálenosti r od osy otáčení má moment setrvačnosti \(J=mr^2\).
Nápověda 1
K řešení úlohy využijeme zákon zachování momentu hybnosti. Uvědomte si, jak je definován moment hybnosti. Zapište jeho definici pro hmotný bod a také vztah, který můžete použít v případě tuhého tělesa otáčejícího se okolo pevné osy.
Zapište i příslušné velikosti vektoru momentu hybnosti a uvědomte si, kam vektor míří.
Nápověda 2 a)
Zapište, čemu je roven moment hybnosti soustavy deska-punker-obě závaží před odhozením prvního závaží a těsně po jeho odhození. Zjistěte směry momentů hybnosti a napište i jejich velikosti.
Nápověda 3a)
K vyjádření hledané úhlové rychlosti využijte zákon zachování momentu hybnosti.
Nápověda 4b)
Zapište, čemu je roven moment hybnosti soustavy deska-punker-zbylé závaží před přesunem punkera a po přesunu. Zjistěte směry momentů hybnosti a napište i jejich velikosti.
Nápověda 5b)
K vyjádření hledané úhlové rychlosti využijte opět zákon zachování momentu hybnosti.
Nápověda 6c):
Zapište, čemu je roven moment hybnosti soustavy deska-punker-zbylé závaží před odhozením závaží a po něm. Zjistěte směry momentů hybnosti a napište i jejich velikosti.
Nápověda 7c)
Zřejmě už nikoho nepřekvapí, že k hledání úhlové rychlosti je třeba použít zákon zachování momentu hybnosti.
Celkové řešení
Zápis:
M = 140 kg...hmotnost desky
r = 4 m...poloměr desky
m1 = 79 kg...hmotnost punkera
m0 = 1 kg...hmotnost závaží
v0 = 20 ms-1...počáteční rychlost závaží
K řešení úlohy využijeme zákon zachování momentu hybnosti.
Potřebné vztahy:
Podle tabulek je moment setrvačnosti desky (i válce) o hmotnosti m a poloměru r při otáčení podle osy symetrie \(J=\frac{1}{2}mr^2\).
Těleso, jehož veškerá hmotnost m je ve vzdálenosti r od osy otáčení má moment setrvačnosti \(J=mr^2\).
Moment hybnosti \(\vec{L}\) hmotného bodu vzhledem k bodu S je definován jako vektorový součin polohového vektoru \(\vec{r}\) a hybnosti \(\vec{p}\) hmotného bodu :
\[\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\,.\]Pro velikost vektorového součinu platí:
\[L=rp\sin\varphi\,,\] kde φ je úhel sevřený oběma vektory.Směr momentu hybnosti je kolmý na rovinu, ve které leží vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{p}\), orientace se určí pomocí pravidla pravé ruky: prsty dáme tak, aby směřovaly od \(\vec{r}\) k \(\vec{p}\) , napnutý palec pak ukazuje směr vektoru \(\vec{L}\).
Pro moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose otáčení platí:
\[\vec{L} = J\vec{\omega}\,,\]kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose otáčení a \(\vec{\omega}\) úhlová rychlost otáčení.
(Orientace \(\vec{\omega}\) odpovídá \(\vec{L}\), dá se zjistit pravidlem pravé ruky: přiložíme prsty ve směru otáčení a palec ukazuje orientaci \(\vec{\omega}\))
Skalárně
\[L=J\omega\,,\]kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose otáčení a ω úhlová rychlost otáčení.
a) odhození prvního závaží
Celkový moment hybnosti před odhozením závaží je moment hybnosti desky, punkera a dvou závaží, vše je vzhledem k okolí v klidu.
\[\vec{L_1}=J_0\vec{\omega}_k+\vec{r}\times (m_1\vec{v}_k)+2[\vec{r}\times(m_0\vec{v}_k)]\]Kde \(\vec{v}_k\) je vektor rychlosti předmětů v klidu, tedy nulový vektor. Stejně i \(\vec{\omega}_k\) je nula:
\[\vec{v}_k=0\,,\] \[\vec{\omega}_k=0\,.\] J0 je moment setrvačnosti desky \[J_0=\frac{1}{2} Mr^2\] Protože nedochází k žádnému pohybu, je \(\vec{L}_1 = 0\)Po odhození závaží se celá situace změní:
\[\vec{L_2}=J_0\vec{\omega}_1+\vec{r}\times(m_1\vec{v}_1)+ \vec{r}\times(m_0\vec{v}_1)+\vec{r}\times(m_0\vec{v}_0)\,.\]Jednotlivé členy popisují postupně: desku, punkera, neodhozené závaží, odhozené závaží.
Všimněme si, že vektory \(\vec{v}_0\) (rychlost odhozeného závaží vzhledem k okolí) a \(\vec{v}_1\) (rychlost, kterou se dá do pohybu punker s druhým závažím) mají opačný směr. Příslušné momenty hybnosti budou tedy také mířit na opačné strany. Zvolme za kladný moment hybnosti otáčející se desky, v případě popsaném na obrázku to je směr nahoru. Přepíšeme skalárně (\(\vec{r}\) je kolmý na \(\vec{v}_1 \) i \(\vec{v}_0)\):
\[L_2=J_0\omega_1+r(m_1v_1)+r(m_0v_1)-r(m_0v_0)\,.\]Ze zákona zachování momentu hybnosti dostáváme:
\[\vec{L}_1=\vec{L}_2\,.\]Rovnost platí i pro velikosti momentů hybnosti.
\[L_1=L_2\,.\] \[0 = J_0\omega_1+r(m_1v_1)+r(m_0v_1)-r(m_0v_0)\]Pro úhlovou rychlost desky a obvodovou rychlost punkera platí \[v_1=r\omega_1\,.\]
Dosadíme:
\[0 = J_0\omega_1+r(m_1r\omega_1)+r(m_0r\omega_1)-r(m_0v_0)\,.\]Vyjádříme úhlovou rychlost:
\[0 = \omega_1(J_0+r(m_1r)+r(m_0r))-r(m_0v_0)\,,\] \[\omega_1(J_0+r(m_1r)+r(m_0r))=r(m_0v_0)\,,\] \[\omega_1=\frac{rm_0v_0}{J_0+r(m_1r)+r(m_0r)}\,,\]Ještě dosadíme za J0:
\[\omega_1=\frac{rm_0v_0}{ \frac{1}{2}Mr^2+r(m_1r)+r(m_0r)}\,.\]r se pokrátí:
\[\omega_1=\frac{m_0v_0}{r(\frac{M}{2}+m_1+m_0)}\,.\]Dosadíme-li známé hodnoty, získáváme:
\[\omega_1=\frac{1{\cdot}20}{4(\frac{140}{2}+79+1)}\,\mathrm{s^{- 1}}= \frac{1}{30}\,\mathrm{s^{-1}}\dot{=}0{,}03 \,\mathrm{s^{- 1}}\,.\]b) přechod do poloviční vzdálenosti
Moment hybnosti L3 naší nové soustavy před přesunem dovedeme napsat s využitím informací, které jsme získali při řešení problému a).
\[\vec{L}_3= J_0\vec{\omega}_1+\vec{r}\times(m_1\vec{v}_1)+\vec{r}\times(m_0\vec{v}_1)\,.\]Porovnáme-li s L2:
\[\vec{L}_2=J_0\vec{\omega}_1+\vec{r}\times(m_1\vec{v}_1)+\vec{r}\times(m_0\vec{v}_1)+\vec{r}\times(m_0\vec{v}_0)\,.\]A víme-li z Řešení nápovědy 3a):
\[L_2=0\,.\]Pak:
\[\vec{L}_3+ \vec{r}\times(m_0\vec{v}_0)=\vec{0}\,,\] \[\vec{L}_3= -\vec{r}\times(m_0\vec{v}_0)\,.\]Což můžeme přepsat skalárně:
\[L_3 = r(m_0v_0)\,.\](Moment hybnosti odhozeného závaží jsme brali jako záporný.)
Situace po přechodu punkera do vzdálenosti \(\frac{r}{2}\) od středu se změní následovně:
\[\vec{L}_4= J_0\vec{\omega}_2+\frac{\vec{r}}{2}\times(m_1\vec{v}_2)+\frac{\vec{r}}{2}\times(m_0\vec{v}_2)\,,\](kde \(\omega_2\) je úhlová rychlost desky po přechodu punkera)
Což je přepsáno skalárně:
\[L_4= J_0\omega_2+\frac{r}{2}m_1v_2+\frac{r}{2}(m_0v_2)\,.\]Ze zákona zachování momentu hybnosti dostáváme
\[\vec{L}_3=\vec{L}_4\,.\]Rovnost platí i pro velikosti momentů hybnosti.
\[L_3=L_4\,.\]Dosadíme:
\[rm_0v_0= J_0\omega_2+\frac{r}{2}m_1v_2+\frac{r}{2}m_0v_2\,.\]Punker stojí ve vzdálenosti \(\frac{r}{2}\), pro obvodovou rychlost tedy platí:
\[v_2 =\frac{r}{2}\omega_2\,,\] \[rm_0v_0= J_0\omega_2+\frac{r}{2}m_1\frac{r}{2}\omega_2+\frac{r}{2}m_0\frac{r}{2}\omega_2\,.\]Obdobně jako v a) vyjádříme ω2:
\[rm_0v_0= \omega_2(J_0+\frac{r}{2}m_1\frac{r}{2}+\frac{r}{2}m_0\frac{r}{2})\,,\] \[\omega_2= \frac{rm_0v_0}{J_0+\frac{r}{2}m_1\frac{r}{2}+\frac{r}{2}m_0\frac{r}{2}}\,.\]Dosadíme za J0:
\[\omega_2= \frac{rm_0v_0}{\frac{1}{2}Mr^2+\frac{r}{2}m_1\frac{r}{2}+\frac{r}{2}m_0\frac{r}{2}}\,.\]Vydělíme R:
\[\omega_2= \frac{m_0v_0}{r(\frac{1}{2}M+\frac{1}{2}m_1\frac{1}{2}+\frac{1}{2}m_0\frac{1}{2})}\,,\] \[\omega_2= \frac{2m_0v_0}{r(M+m_1\frac{1}{2}+m_0\frac{1}{2})}\,,\] \[\omega_2= \frac{4m_0v_0}{r(2M+m_1+m_0)}\,.\]Dosadíme-li známé hodnoty, získáváme:
\[\omega_2= \frac{4{\cdot} 1\cdot 20}{4(2{\cdot} 140+79+1)}\,\mathrm{s^{-1}} = \frac{1}{18}\,\mathrm{s^{-1}}\dot{=}0{,}06 \,\mathrm{s^{-1}}\,.\]c) odhození druhého závaží
V tomto případě máme usnadněnou práci – protože se nijak nezměnila naše soustava od okamžiku, kdy punker přešel blíže ke středu. Moment hybnosti L5 je:
\[\vec{L}_5=\vec{L}_4\,.\]Dále z řešení nápovědy 5b) víme:
\[\vec{L}_5=\vec{L}_3\,.\]A o \(\vec{L}_3\) víme:
\[\vec{L}_3 = -\vec{r}\times(m_0\vec{v}_0)\,.\]Tedy:
\[\vec{L}_5 = -\vec{r}\times(m_0\vec{v}_0)\,.\]Skalárně:
\[L_5 = rm_0v_0\,.\]Situace po odhození závaží si zaslouží opět rozepsat:
\[\vec{L}_6= J_0\omega_3+\frac{\vec{r}}{2}\times(m_1\vec{v}_3)+\frac{\vec{r}}{2}\times(m_0(\vec{v}_0+\vec{v}_{ot}))\,,\](kde \(\omega_3\) je úhlová rychlost desky po odhození druhéhé závaží)
Všimněme si, že rychlost odhozeného závaží se skládá s \(\vec{v}_{ot}\). To je způsobeno tím, že punker odhodí od sebe závaží rychlostí \(\vec{v}_0\), sám se však pohybuje opačným směrem, celková rychlost závaží vůči nehybnému pozorovateli je tak složením těchto dvou rychlostí. Z tohoto důvodu se skalárně budou rychlosti odčítat.
Moment hybnosti odhozeného závaží má opačný směr než otáčející se desky, budeme ho opět brát jako záporný, proto skalárně:
\[L_6= J_0\omega_3+\frac{r}{2}m_1v_3-\frac{r}{2}m_0(v_0-v_{ot})\,.\]vot získáme snadno z ω2:
\[v_{ot} = \frac{r}{2}\omega_2 = \frac{r}{2} \frac{4(m_0v_0)}{r(2M+m_1+m_0)} =\frac{2(m_0v_0)}{2M+m_1+m_0}\,.\]Ze zákona zachování momentu hybnosti:
\[\vec{L}_5=\vec{L}_6\,.\]Rovnost platí i pro velikosti momentů hybnosti:
\[L_5=L_6\,,\] \[rm_0v_0 = J_0\omega_3+\frac{r}{2}m_1v_3-\frac{r}{2}m_0 (v_0-v_{ot})\,.\]Pro obvodovou rychlost punkera platí \(v_3 = \frac{r}{2}\omega_3\):
\[rm_0v_0 = J_0\omega_3+\frac{r}{2}m_1(\frac{r}{2}\omega_3)-\frac{r}{2}m_0(v_0-v_{ot})\,,\] \[rm_0v_0+\frac{r}{2}(m_0 (v_0-v_{ot})) = J_0\omega_3+\frac{r}{2}(m_1\frac{r}{2}\omega_3)\,.\]Dosadíme vot:
\[rm_0v_0+\frac{r}{2}(m_0 (v_0-\frac{2m_0v_0}{(2M+m_1+m_0)})) = J_0\omega_3+\frac{r}{2}(m_1\frac{r}{2}\omega_3) \,.\]A upravíme:
\[\frac{r}{2}m_0v_0(2+(1-\frac{2m_0}{2M+m_1+m_0}) = J_0\omega_3+\frac{r}{2}(m_1\frac{r}{2}\omega_3) \,,\] \[\frac{r}{2}m_0v_0(3-\frac{2m_0}{2M+m_1+m_0}) = J_0\omega_3+\frac{r}{2}(m_1\frac{r}{2}\omega_3)\,,\] \[\frac{r}{2}m_0v_0\frac{3(2M+m_1+m_0)-2m_0}{2M+m_1+m_0} = J_0\omega_3+\frac{r}{2}(m1\frac{r}{2}\omega_3)\,,\] \[\frac{r}{2}m_0v_0\frac{6M+3m_1+3m_0-2m_0}{2M+m_1+m_0} = J_0\omega_3+\frac{r}{2}(m_1\frac{r}{2}\omega_3)\,,\] \[\frac{r}{2}m_0v_0\frac{6M+3m_1+m_0}{2M+m_1+m_0} = J_0\omega_3+\frac{r}{2}(m_1\frac{r}{2}\omega_3)\,.\]Dosadíme za J0:
\[\frac{r}{2}m_0v_0\frac{6M+3m_1+m_0}{2M+m_1+m_0} = \frac{1}{2}Mr^2\omega_3+\frac{r}{2}(m_1\frac{r}{2}\omega_3)\,.\]Pokrátíme \(\frac{r}{2}\):
\[\frac{(m_0v_0)(6M+3m_1+m_0)}{2M+m_1+m_0}= Mr\omega_3+m_1\frac{r}{2}\omega_3\,.\]Vyjádříme ω3:
\[\frac{(m_0v_0)(6M+3m_1+m_0)}{2M+m_1+m_0} = \omega_3 (Mr+m_1\frac{r}{2})\,,\] \[\omega_3 = \frac{(m_0v_0) (6M+3m-1+m_0)}{r(M+\frac{m_1}{2}) (2M+m_1+m_0)}\,.\]Číselně:
\[\omega_3= \frac{(1 {\cdot} 20) (6{\cdot} 140+3{\cdot} 79-1+1)}{4(140+\frac{79}{2}) (2{\cdot} 140+79+1)}\,\mathrm{s^{-1}}= \frac{539}{6462}\,\mathrm{s^{-1}}\dot{=}0{,}08 \,\mathrm{s^{-1}}\,.\]Odpověď
Úhlová rychlost desky po odhození prvního závaží je:
\[\omega_1=\frac{m_0v_0}{r(\frac{M}{2}+m_1+m_0)}\,.\]Číselně:
\[\omega_1\dot{=}0{,}03 \,\mathrm{s^{- 1}}\,.\]Úhlová rychlost desky po přesunu punkera je:
\[\omega_2= \frac{4m_0v_0}{r(2M+m_1+m_0)}\,.\]Číselně:
\[\omega_2\dot{=}0{,}06 \,\mathrm{s^{- 1}}\,.\]Úhlová rychlost desky po odhození druhého závaží je:
\[\omega_3 = \frac{(m_0v_0) (6M+3m-1+m_0)}{r(M+\frac{m_1}{2}) (2M+m_1+m_0)}\,.\]Číselně:
\[\omega_3\dot{=}0{,}08 \,\mathrm{s^{- 1}}\,.\]
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
