Opřený žebřík

Úloha číslo: 523

Ke stěně je přistaven žebřík. Koeficient statického tření žebříku o stěnu je f1 = 0,3, o podlahu f2 = 0,4. Těžiště žebříku je v jeho středu. Určete, jaký nejmenší úhel α může svírat žebřík s podlahou, aby neklouzal.
  • Zápis

    f1 = 0,3 koeficient statického tření žebříku o stěnu
    f2 = 0,4 koeficient statického tření žebříku o podlahu
    α = ?(°) nejmenší možný úhel jaký může svírat žebřík s podlahou, tak aby neklouzal
  • Koeficient statického tření

    Možná znáte koeficient statického tření jako součinitel klidového tření. Obojí znamená to samé, záleží jen jestli holdujete více cizím slovům nebo českým ekvivalentům.

  • Nápověda 1

    Jaké síly na žebřík působí? Zakreslete je do obrázku.
  • Nápověda 2

    Co vyplývá pro síly působící na žebřík z faktu, že je v klidu a nepadá?
  • Nápověda 3

    Zapište podmínky rovnováhy a přepište je skalárně.
  • Nápověda 4

    Uvědomte si, co bude platit pro velikosti klidových třecích sil Ftp a Fts, máme-li stanovit nejmenší úhel, při kterém žebřík ještě nespadne.
  • Nápověda 5

    Dosaďte vztahy pro třecí síly do rovnic (1), (2) a (3) a vyjádřete z nich hledaný úhel α.
  • Celkové řešení

    Nakreslíme obrázek, vyznačíme působící síly a zvolíme soustavu souřadnic.

    osy na žebříku

    Působící síly udržují žebřík v rovnováze. Znamená to, že výslednice sil působících na žebřík musí být nulová a také výslednice momentů těchto sil musí být rovna nule (vzhledem k libovolnému bodu).

    Výslednice sil je nulová: \[\vec{F}_G + \vec{F}_p + \vec{F}_s + \vec{F}_{tp}+ \vec{F}_{ts} = \vec{0}\,.\]

    Zvolíme soustavu souřadnic podle obrázku a přepíšeme skalárně:

    \[x:\hspace{50px}F_s-F_{tp}=0,\tag{1}\] \[y:\hspace{10px}F_p+ F_{ts} - F_G =0.\tag{2}\]

    Výslednice momentů sil je vzhledem k libovolnému bodu nulová :

    \[\vec{M}_g+\vec{M}_p+\vec{M}_s+\vec{M}_tp+\vec{M}_{ts}=\vec{0}\,.\]

    Momenty sil budeme určovat například vůči těžišti. Z toho plyne \(\vec{M}_g=\vec{0}.\)

    Připomeňme si ještě vztah pro moment síly \(\vec{F}\) vzhledem k bodu O:

    \[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\,.\]

    Pro velikost momentu platí: \(M = rF\sin \varphi\), kde \(\varphi\) je úhel, který svírají vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{F}\).

    ilustrace vektorového součinu

    Směr momentu síly je kolmý na rovinu, ve které leží vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{F}\), orientace se určí pomocí pravidla pravé ruky: prsty této ruky dáme tak, aby směřovaly od \(\vec{r}\) k \(\vec{F}\) , napnutý palec pak ukazuje směr vektoru \(\vec{M}\). Více k vektorovému součinu v úloze Moment síly a vektorový součin.

    Za záporný směr otáčení zvolíme směr otáčení hodinových ručiček, momenty sil mířící „za papír“ budeme uvažovat se záporným znaménkem. Pak

    \[M_p-M_s-M_{tp}-M_{ts}=0\,.\]

    Pro velikosti momentů platí:

    \[ \frac{L}{2}F_p\sin(90^{\circ}-\alpha)-\frac{L}{2}F_{tp}\sin\alpha - \frac{L}{2}F_s \sin \alpha- \frac{L}{2}F_{ts}\sin(90^{\circ}-\alpha)=0\,.\]

    Vydělíme L/2 a upravíme:

    \[ F_s \sin \alpha + F_{tp}\sin\alpha +F_{ts}\cos\alpha=F_p\cos\alpha\,.\tag{3}\]

    Při mezním úhlu α platí, že klidová třecí síla dosáhne své maximální hodnoty.

    \[F_{tp}=F_p f_2\,,\tag{4}\] \[F_{ts}=F_s f_1\,.\tag{5}\] Dosadíme a vyjádříme.

    Z (1):

    \[F_{tp}=F_s\,.\]

    Dosadíme do (3):

    \[F_s \sin \alpha + F_{ts} \cos \alpha + F_s \sin \alpha = F_p \cos \alpha\,.\tag{6}\]

    Podle (4) a (5):

    \[F_s=F_p f_2\,,\] \[F_{ts}=F_s f_1 = F_p f_1 f_2\,.\]

    Dosadíme do (6):

    \[F_p f_2\sin\alpha+F_p f_1 f_2 \cos\alpha+F_p f_2\sin\alpha=F_p\cos\alpha \,.\]

    Velikost Fp rozhodně není rovna nule, takže jí můžeme krátit:

    \[f_2\sin\alpha+f_1 f_2\cos\alpha+f_2\sin\alpha=\cos\alpha\,.\]

    Sečteme členy u sinů a cosinů:

    \[2f_2\sin\alpha=(1-f_1 f_2)\cos\alpha\,.\]

    Rovnici upravíme, aby na jedné straně byly členy s α, na druhé zbytek. Vydělíme obě strany 2f2 cosα.

    \[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1-f_1 f_2}{2f_2}\]

    Dostáváme výsledek:

    \[\mathrm{tg}\alpha=\frac{1-f_1 f_2}{2f_2}\,.\]

    Dosadíme číselně:

    \[\mathrm{tg}\alpha=\frac{1- 0{,}4{\cdot}0{,}3}{2{\cdot}0{,}4} = 1{,}1,\] \[\alpha \dot= 48^{\circ}\,.\]
  • Odpověď

    Pro hledaný úhel platí:

    \[\mathrm{tg}\alpha=\frac{1-f_2 f_1}{2f_2}\,.\]

    Číselně:

    \[\alpha \dot= 48^{\circ}\,.\]
  • Podobná úloha

    Vyřešeno? Vyzkoušejte si i podobnou úlohu Tyč opřená o schod.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze