Míjení vlaku II

Úloha číslo: 229

Osobní vlak dlouhý 60 m jede rychlostí \(80\,\mathrm{ \frac{km}{h}}\). Za jak dlouho mine nákladní vlak dlouhý 120 m, který jede rychlostí \(30\,\mathrm{ \frac{km}{h}}\)?

Vlaky jedou:

a) stejným směrem,

b) opačnými směry.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    \(L_1\,=\,60\,\mathrm{m}\) délka osobního vlaku
    \(v_1\,=\,80\,\mathrm{\frac{km}{h}}\) rychlost osobního vlaku
    \(L_2\,=\,120\,\mathrm{m}\) délka nákladního vlaku
    \(v_2\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\) rychlost nákladního vlaku
    t1 = ? (s) doba, za kterou mine osobní vlak nákladní, jestliže jedou stejným směrem
    t2 = ? (s) doba, za kterou mine osobní vlak nákladní, jestliže jedou opačným směrem
  • Nápověda 1: Převod jednotek

    Než se pustíte do řešení, převeďte si rychlosti vlaků do základních jednotek.

  • Nápověda 2: Vzájemná rychlost vlaků

    Nakreslete si obrázek obou situací.

    Představte si, že jste strojvedoucí nákladního vlaku. Jakou rychlostí se vůči vám bude pohybovat osobní vlak v obou situacích?

  • Nápověda 3: Ujetá vzdálenost

    Jakou vzdálenost musí ujet osobní vlak, aby minul nákladní vlak v obou případech?

  • Nápověda 4: Čas míjení

    Znáte vzdálenost, kterou musí vlaky ujet, aby se minuly. A také znáte rychlost, jakou se míjejí. Snadno tedy určíte čas, po který se budou vlaky míjet.

  • Celkové řešení: a) stejný směr

    Nejprve převedeme rychlosti vlaků do základní jednotek:

    osobní vlak: \(v_{1}\,=\,80\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 22{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\)

    nákladní vlak: \(v_{2}\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 8{,}3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\)

    Nakreslíme si obrázek situace:

    Vlaky jedou stejným směrem

    Rychlost, kterou se vlaky pohybují vůči sobě, jestliže jedou stejným směrem je :

    \[v_{a}\,=\,v_{1}\,-\,v_{2}\,=\,13{,}9\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]

    Vlak musí ujet takovou vzdálenost, jaká je vidět na obrázku (šedý osobní vlak je nakreslený v místě odkud osobní vlak vyjel).

    Vlaky jedou stejným směrem

    Lokomotiva osobního vlaku tedy musí ujet vzdálenost:

    \[L_{1}+L_{2}\,.\]

    Ze zjištěné rychlosti a dráhy snadno zjistíme čas, jak dlouho bude míjení vlaků trvat.

    \[t_{1}\,=\,\frac{L_{1}+L_{2}}{v_{a}}\,=\,\frac{60 + 120}{13{,}9}\,\mathrm{s} \,\dot= \,12{,}9\,\mathrm{s}.\]
  • Celkové řešení: b) opačný směr

    Nejprve převedeme rychlosti vlaků do základní jednotek:

    osobní vlak: \(v_{1}\,=\,80\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 22{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\)

    nákladní vlak: \(v_{2}\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 8{,}3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\)

    Nakreslíme si obrázek situace:

    Vlaky jedou opačným směrem

    Rychlost, kterou se vlaky pohybují vůči sobě, jestliže jedou opačným směrem je :

    \[v_{b}\,=\,v_{1}\,+\,v_{2}\,=\,30{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]

    Vlak musí ujet takovou vzdálenost, jaká je vidět na obrázku (šedý osobní vlak je nakreslený v místě odkud osobní vlak vyjel).

    Vlaky jedou opačným směrem

    Lokomotiva osobního vlaku tedy musí ujet vzdálenost:

    \[L_{1}+L_{2}\,.\]

    Ze zjištěné rychlosti a dráhy snadno zjistíme čas, jak dlouho bude míjení vlaků trvat:

    \[t_{2}\,=\,\frac{L_{1}+L_{2}}{v_{b}}\,=\,\frac{60 + 120}{30{,}5}\,\mathrm{s} \,\dot= \,5{,}9\,\mathrm{s}.\]
  • Odpověď

    Osobní vlak mine nákladní vlak za 12,9 s, jestliže jedou stejným směrem.

    Pokud vlaky jedou opačným směrem, tak osobnímu vlaku to bude trvat 5,9 s.

  • Odkaz na podobnou úlohu.

    Podobná, jednodušší úloha, kdy vlak míjí pevný objekt, je úloha Míjení vlaku I.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha rutinní
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze