Míjení vlaku II

Úloha číslo: 229

Osobní vlak dlouhý 60 m jede rychlostí \(80\,\mathrm{ \frac{km}{h}}\). Za jak dlouho mine nákladní vlak dlouhý 120 m, který jede rychlostí \(30\,\mathrm{ \frac{km}{h}}\)?

Vlaky jedou:

a) stejným směrem,

b) opačnými směry.

Zápis

\(L_1\,=\,60\,\mathrm{m}\)	délka osobního vlaku
\(v_1\,=\,80\,\mathrm{\frac{km}{h}}\)	rychlost osobního vlaku
\(L_2\,=\,120\,\mathrm{m}\)	délka nákladního vlaku
\(v_2\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\)	rychlost nákladního vlaku
t₁ = ? (s)	doba, za kterou mine osobní vlak nákladní, jestliže jedou stejným směrem
t₂ = ? (s)	doba, za kterou mine osobní vlak nákladní, jestliže jedou opačným směrem

Nápověda 1: Převod jednotek
Než se pustíte do řešení, převeďte si rychlosti vlaků na základní jednotky.
Řešení nápovědy 1:
Převedeme si rychlosti vlaků na základní jednotky:

osobní vlak: \(v_{1}\,=\,80\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 22{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,,\)

nákladní vlak: \(v_{2}\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 8{,}3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\)
Nápověda 2: Vzájemná rychlost vlaků
Nakreslete si obrázek obou situací.

Představte si, že jste strojvedoucí nákladního vlaku. Jakou rychlostí se vůči vám bude pohybovat osobní vlak v obou situacích?
Řešení nápovědy 2:
a) Vlaky jedou stejným směrem.

Představme si, že jsme strojvedoucí nákladního vlaku. Z takového pohledu náš vlak stojí a osobní vlak projede rychlostí
\[v_\mathrm{a}\,=\,v_{1}\,-\,v_{2}\,=\,13{,}9\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]
b) Vlaky jedou opačným směrem.

Představme si, že jsme strojvedoucí nákladního vlaku. Z takového pohledu náš vlak stojí a osobní vlak projede rychlostí
\[v_\mathrm{b}\,=\,v_{1}\,+\,v_{2}\,=\,30{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]
Nápověda 3: Ujetá vzdálenost
Jakou vzdálenost musí ujet osobní vlak, aby minul nákladní vlak v obou případech?
Řešení nápovědy 3:
Vlak musí v obou případech ujet stejnou vzdálenost, jak je vidět na obrázcích (šedý osobní vlak je nakreslený v místě, odkud osobní vlak vyjel).

a) stejným směrem

b) opačnými směry

Lokomotiva osobního vlaku tedy musí ujet v obou případech vzdálenost
\[L_{1}+L_{2}\,.\]
Nápověda 4: Čas míjení
Znáte vzdálenost, kterou musí vlaky ujet, aby se minuly. Znáte také rychlost, jakou se míjejí. Snadno tedy určíte čas, po který se budou vlaky míjet.
Řešení nápovědy 4:
Rozdělíme si počítání času na dva případy. K počítání využijeme vztahu pro dráhu přímočarého pohybu: dráha = rychlost · čas. Odtud si vyjádříme hledaný čas: čas = dráha/rychlost.

a) Vlaky jedou stejnými směry:
\[t_{1}\,=\,\frac{L_{1}+L_{2}}{v_\mathrm{a}}\,=\,\frac{60 + 120}{13{,}9}\,\mathrm{s} \,\dot= \,12{,}9\,\mathrm{s}.\]
b) Vlaky jedou opačnými směry:
\[t_{2}\,=\,\frac{L_{1}+L_{2}}{v_\mathrm{b}}\,=\,\frac{60 + 120}{30{,}5}\,\mathrm{s} \,\dot= \,5{,}9\,\mathrm{s}.\]
Celkové řešení: a) stejný směr
Nejprve převedeme rychlosti vlaků na základní jednotky:

osobní vlak: \(v_{1}\,=\,80\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 22{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,,\)

nákladní vlak: \(v_{2}\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 8{,}3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\)

Nakreslíme si obrázek situace:

Rychlost, kterou se vlaky pohybují vůči sobě, jestliže jedou stejným směrem je:
\[v_\mathrm{a}\,=\,v_{1}\,-\,v_{2}\,=\,13{,}9\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]
Vlak musí ujet takovou vzdálenost, jaká je vidět na obrázku (šedý osobní vlak je nakreslený v místě, odkud osobní vlak vyjel).

Lokomotiva osobního vlaku tedy musí ujet vzdálenost
\[L_{1}+L_{2}\,.\]
Ze zjištěné rychlosti a dráhy snadno zjistíme čas, jak dlouho bude míjení vlaků trvat:
\[t_{1}\,=\,\frac{L_{1}+L_{2}}{v_\mathrm{a}}\,=\,\frac{60 + 120}{13{,}9}\,\mathrm{s} \,\dot= \,12{,}9\,\mathrm{s}.\]
Celkové řešení: b) opačný směr
Nejprve převedeme rychlosti vlaků na základní jednotky:

osobní vlak: \(v_{1}\,=\,80\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 22{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,,\)

nákladní vlak: \(v_{2}\,=\,30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,\dot=\, 8{,}3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\)

Nakreslíme si obrázek situace:

Rychlost, kterou se vlaky pohybují vůči sobě, jestliže jedou opačným směrem je:
\[v_\mathrm{b}\,=\,v_{1}\,+\,v_{2}\,=\,30{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]
Vlak musí ujet takovou vzdálenost, jaká je vidět na obrázku (šedý osobní vlak je nakreslený v místě, odkud osobní vlak vyjel).

Lokomotiva osobního vlaku tedy musí ujet vzdálenost
\[L_{1}+L_{2}\,.\]
Ze zjištěné rychlosti a dráhy snadno zjistíme čas, jak dlouho bude míjení vlaků trvat:
\[t_{2}\,=\,\frac{L_{1}+L_{2}}{v_\mathrm{b}}\,=\,\frac{60 + 120}{30{,}5}\,\mathrm{s} \,\dot= \,5{,}9\,\mathrm{s}.\]
Odpověď
Osobní vlak mine nákladní vlak za 12,9 s, jestliže jedou stejným směrem.

Pokud vlaky jedou opačným směrem, osobní vlak mine nákladní vlak za 5,9 s.
Odkaz na podobnou úlohu.
Podobná, jednodušší úloha, kdy vlak míjí pevný objekt, je úloha Míjení vlaku I.