Sbírka řešených úloh

Problém s trámem

Úloha číslo: 513

• Zápis

  L = 6 m	délka trámu
  r1 = 3 m	vzdálenost mezi místem, ve kterém podpírá trám první muž, a středem trámu
  F1	síla, kterou podepírá trám první muž
  F2 =1,5·F1	síla, kterou podepírá trám druhý muž
  r2 = ? (m)	vzdálenost mezi místem, ve kterém podpírá trám druhý muž, a středem trámu

• Nápověda 1

  Co vyplývá pro síly působící na trám z faktu, že trám mužům nepadá, ani se nijak neotáčí?

• Řešení k nápovědě 1

  Působící síly udržují trám v rovnováze. Znamená to, že výslednice sil působících na trám musí být nulová a také výslednice momentů těchto sil musí být rovna nule (vzhledem k libovolnému bodu).

• Nápověda 2

  Nakreslete si obrázek situace a vyznačte všechny síly působící na trám. Nepřipomíná vám jeden z jednoduchých strojů? Zapište si obě podmínky rovnováhy.

• Řešení k nápovědě 2

  

  Na trám působí v těžišti směrem dolů síla tíhová \(\vec{F}_\mathrm{G}\).

  Dále působí síly \(\vec{F}_1\) a \(\vec{F}_2\), kterými tlačí ramena mužů na trám. (Ty jsou co do velikosti stejné jako síly, kterými tlačí trám na ramena mužů, mají jen opačnou orientaci.)

  Situace je podobná dvojzvratné páce či vahadlu.

  Při rovnováze musí platit, že výslednice sil je rovna nule a také výslednice momentů sil vzhledem k libovolnému bodu je rovna nulovému vektoru.

  Pro síly tedy platí:

  \[\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_\mathrm{G}=\vec{0}\,.\]

  Přepíšeme skalárně:

  \[{F}_1+{F}_2-{F}_\mathrm{G}={0}\,.\]

  Pro momenty sil vzhledem k těžišti platí:

  \[\vec{M}_1+\vec{M}_2=\vec{0}\,.\]

  Přepíšeme skalárně (za kladný vezmeme M₁):

  \[{M}_1-{M}_2=0\,.\]

  Pro velikosti momentů platí:

  \[{F}_1 {r}_1 = {F}_2 {r}_2\,,\tag{1}\]

  kde r₁ a r₂ jsou vzdálenosti mezi těžištěm a místem působení síly, moment tíhové síly je vzhledem k těžišti nulový.

  Víme, že:

  \[F_2=\frac{3}{2} F_1\,,\] \[r_1=\frac{L}{2}\,.\]

  Dosadíme za F₂ a r₁ do vztahu (1) a vyjádříme vzdálenost r₂:

  \[F_1\frac{L}{2}=\frac{3}{2} F_1r_2\,,\] \[r_2=\frac{L}{3}\,.\]

  Číselně:

  Je dáno L = 6 m,

  \(r_2=\frac{1}{3}\cdot6 \mathrm{m}=2 \mathrm{m}\,.\)

• Celkové řešení

  Působící síly udržují trám v rovnováze. Situace je podobná rovnováze na dvojzvratné páce či vahadlu. Při rovnováze musí platit, že výslednice sil působících na trám musí být nulový vektor a také výslednice momentů těchto sil musí být rovna nule (vzhledem k libovolnému bodu).

  

  Pro síly tedy platí:

  \[\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_\mathrm{G}=\vec{0}\,.\]

  Přepíšeme skalárně:

  \[{F}_1+{F}_2-{F}_\mathrm{G}={0}\,.\]

  Pro momenty sil vzhledem k těžišti platí:

  \[\vec{M}_1+\vec{M}_2=\vec{0}\,.\]

  Přepíšeme skalárně (za kladný vezmeme M₁):

  \[{M}_1-{M}_2=0\,.\]

  Pro velikosti momentů platí:

  \[{F}_1 {r}_1 = {F}_2 {r}_2\,,\tag{1}\]

  kde r₁ a r₂ jsou vzdálenosti mezi těžištěm a místem působení síly, moment tíhové síly je vzhledem k těžišti nulový.

  Víme, že:

  \[F_2=\frac{3}{2} F_1\,,\] \[r_1=\frac{L}{2}\,.\]

  Dosadíme za F₂ a r₁ do vztahu (1) a vyjádříme vzdálenost r₂:

  \[F_1\frac{L}{2}=\frac{3}{2} F_1r_2\,,\] \[r_2=\frac{L}{3}\,.\]

  Číselně:

  Je dáno L = 6 m,

  \(r_2=\frac{1}{3}\cdot6 \mathrm{m}=2 \mathrm{m}\,.\)

  Druhý muž nese trám 2 metry od středu, tj. 1 metr od konce.

• Odpověď

  Druhý muž nese trám 2 metry od středu, tj. 1 metr od konce.