Problém s trámem

Úloha číslo: 513

Dva muži nesou na ramenech homogenní dřevěný trám o délce L = 6 m. Jeden z mužů podpírá trám na jeho konci. Jak daleko od druhého konce podpírá trám druhý muž, tlačí-li trám na jeho rameno silou o 50 % větší než na rameno muže prvního?
  • Zápis

    L = 6 m délka trámu
    r1 = 3 m vzdálenost mezi místem, ve kterém podpírá trám první muž a středem trámu
    F1 síla, kterou podepírá trám první muž
    F2 =1,5·F1 síla, kterou podepírá trám druhý muž
    r2 = ? (m) vzdálenost mezi místem, ve kterém podpírá trám druhý muž a středem trámu
  • Nápověda 1

    Co vyplývá pro síly působící na trám z faktu, že trám mužům nepadá, ani se nijak neotáčí?
  • Nápověda 2

    Nakreslete si obrázek situace a vyznačte všechny síly působící na trám. Nepřipomíná vám jeden z jednoduchých strojů? Zapište si obě podmínky rovnováhy.
  • Celkové řešení

    Působící síly udržují trám v rovnováze. Situace je podobná rovnováze na dvojzvratné páce či vahadlu. Při rovnováze musí platit, že výslednice sil působících na trám musí být nulový vektor a také výslednice momentů těchto sil musí být rovna nule (vzhledem k libovolnému bodu).

    tahle to vypadá

    Pro síly tedy platí:

    \[\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_G=\vec{0}\,.\]

    Přepíšeme skalárně:

    \[{F}_1+{F}_2-{F}_G={0}\,.\]

    Pro momenty sil vzhledem k těžišti platí:

    \[\vec{M}_1+\vec{M}_2=\vec{0}\,.\]

    Přepíšeme skalárně (za kladný vezmeme M1):

    \[{M}_1-{M}_2=0\,.\]

    Pro velikosti momentů platí:

    \[{F}_1 {r}_1 = {F}_2 {r}_2\,,\tag{1}\]

    kde r1 a r2 jsou vzdálenosti mezi těžištěm a místem působení síly, moment tíhové síly je vzhledem k těžišti nulový.

    Víme, že:

    \[F_2=\frac{3}{2} F_1\,,\] \[r_1=\frac{L}{2}\,.\]

    Dosadíme za F2 a r1 do vztahu (1) a vyjádříme vzdálenost r2:

    \[F_1\frac{L}{2}=\frac{3}{2} F_1r_2\,,\] \[r_2=\frac{L}{3}\,.\]

    Číselně:

    Je dáno L = 6 m,

    \(r_2=\frac{1}{3}\cdot6m=2m\,.\)

    Druhý muž nese trám 2 metry od středu, tj. 1 metr od konce.

  • Odpověď

    Druhý muž nese trám 2 metry od středu, tj. 1 metr od konce.
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha rutinní
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze