Sbírka řešených úloh

Zavěšená tyč

Úloha číslo: 527

• Moment setrvačnosti

  Tabulky udávají pro otáčení homogenní tyče délky L, hmotnosti m kolem jednoho z konců moment setrvačnosti

  \[J=\frac{1}{3}mL^2\,. \]

  (Odvození tohoto vztahu je uvedeno v úloze Moment setrvačnosti tyče.)

• Nápověda

  K řešení můžete využít zákon zachování mechanické energie. Vyberte dvě situace, ve kterých budete mechanickou energii tyče srovnávat. Nezapomeňte zvolit hladinu nulové potenciální energie.

• Řešení nápovědy

  Budeme srovnávat mechanickou energii tyče v situaci (1), kdy tyč visí svisle dolů a právě jsme jejímu konci udělili rychlost v.

  Druhá situace (2) bude v okamžiku, kdy tyč dosáhne vodorovné polohy a její rychlost bude nulová.

  

  Hladinu nulové potenciální energie zvolíme ve středu tyče visící dolů.

  V situaci (1) má tyč nulovou potenciální energii. Její kinetická energie je rovna:

  \[E_\mathrm{k1}=\frac{1}{2}J\omega^2\,.\]

  Celková mechanická energie v situaci (1) je rovna:

  \[E_1 = \frac{1}{2}J\omega^2\,.\]

  V situaci (2) je kinetická energie tyče rovna nule. Potenciální energie tyče bude rovna:

  \[E_\mathrm{p2} = mg\frac{L}{2}\,.\]

  (Celá tyč je ve výšce L/2 nad nulovou hladinou.)

  Celková mechanická energie v situaci (2) je rovna:

  \[E_2 = mg\frac{L}{2}\,.\]

  Podle zákona zachování mechanické energie platí:

  \[E_1 = E_2\,,\] \[\frac{1}{2}J\omega^2 = mg\frac{L}{2}\,,\] \[\frac{1}{2}(\frac{1}{3}mL^2)\omega^2 = mg\frac{L}{2}\,,\] \[\omega^2=\frac{3g}{L}\,.\]

  Nás však zajímá obvodová rychlost, kterou získáme ze vztahu v = ωr. V našem případě je poloměr otáčení r roven délce tyče L:

  \[(\frac{v}{L})^2=\frac{3g}{L}\,,\] \[v=\sqrt{3gL}\,.\]

• Odpověď

  Koncovému bodu tyče je třeba udělit rychlost \[v=\sqrt{3gL}\,.\]

• Podobná úloha

  Vyřešeno? Vyzkoušejte si i podobnou úlohu Pozor, padá tyč!.