Sbírka řešených úloh

Moment setrvačnosti dvou kuliček

Úloha číslo: 1129

• Zápis

  m1	hmotnost 1. kuličky
  m2	hmotnost 2. kuličky
  L	délka spojovací tyče
  Jo = ?	moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose procházející těžištěm

• Nápověda 1

  Na úvod si situaci nakreslete a vhodně umístěte do souřadného systému. Oběma kuličkám v něm připište odpovídající souřadnice. Vzhledem k tomu, že nebyly zadány jejich rozměry, můžeme považovat kuličky za hmotné body, jejichž hmotnost je soustředěna ve středech (tedy i těžištích) původních koulí.

• Řešení nápovědy 1

  Vhodné umístění, se kterým budeme dále pracovat, ukazuje obrázek níže. Obě kuličky leží na ose x, jedna z nich je umístěna přímo v počátku souřadného systému.

  

  Souřadnice hmotných bodů A a B, které kuličky zastupují, jsou v našem případě:

  \[A\,=\,[0{,}0],\] \[B\,=\,[L,0].\]

• Nápověda 2

  Máme určit moment setrvačnosti J_o soustavy vzhledem k ose o procházející jejím těžištěm – musíme tedy nejdříve určit souřadnice samotného těžiště T. Připomeňte si vztah pro polohový vektor těžiště soustavy hmotných bodů.

  Lze jednu ze souřadnic těžiště určit okamžitě bez počítání?

• Řešení nápovědy 2

  Vztah pro polohu těžiště soustavy n hmotných bodů vypadá následovně:

  \[\vec{r}_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}\vec{r}_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}}},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jim příslušející polohové vektory.

  Protože souřadnice těžiště lze počítat po složkách, platí pro x-ovou souřadnici těžiště naší soustavy:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}x_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}0\,+\,m_2{\cdot}L}{m_1\,+\,m_2}\,=\,\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2}.\tag{1}\]

  Pro y-ovou souřadnici těžiště je možné opakovat tentýž postup, zde je ale výsledek na první pohled patrný – obě kuličky mají y-ovou souřadnici nulovou, tedy také y_T = 0.

• Nápověda 3

  Určete vzdálenosti jednotlivých kuliček (hmotných bodů A a B) od těžiště soustavy. Umíte již pomocí těchto vzdáleností určit požadovaný moment setrvačnosti? Dopočítejte ho.

• Řešení nápovědy 3

  Z obrázku je jasně patrné, že vzdálenost bodu A od těžiště soustavy je x_T, vzdálenost bodu B od těžiště je L – x_T. Přitom vzdálenost od těžiště zde znamená také vzdálenost od osy o, která těžištěm kolmo k tyči prochází. Máme tedy vše, co potřebujeme k určení momentu setrvačnosti J_o.

  Připomeňme ještě, že moment setrvačnosti soustavy n hmotných bodů je vzhledem k dané ose určen jako:

  \[J\,=\,\sum_{i\,=\,1}^n{m_\mathrm{i}r_\mathrm{i}^2},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jejich vzdálenosti od dané osy. V našem případě jde o osu o a platí:

  \[J_\mathrm{o}\,=\,m_1x_\mathrm{T}^2\,+\,m_2(L\,-\,x_\mathrm{T})^2.\tag{2}\]

  Za x_T dosadíme ze vztahu (1) a dostáváme:

  \[J_\mathrm{o}\,=\,m_1(\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2})^2\,+\,m_2(L\,-\,\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2})^2,\] \[J_\mathrm{o}\,=\,\frac{m_1m_2^2L^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,+\,m_2L^2(1\,-\,\frac{m_2}{m_1\,+\,m_2})^2,\] \[J_\mathrm{o}\,=\,\frac{m_1m_2^2L^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,+\,\frac{m_2L^2m_1^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,=\frac{m_1m_2L^2(m_1\,+\,m_2)}{(m_1\,+\,m_2)^2},\] \[J_\mathrm{o}\,=\,\frac{m_1m_2L^2}{m_1\,+\,m_2}.\]

• Celkové řešení

  Vzhledem k tomu, že nebyly zadány rozměry kuliček, můžeme je považovat za hmotné body, jejichž hmotnost je soustředěna ve středech (tedy i těžištích) původních koulí.

  Obrázek níže ukazuje naši situaci umístěnou vhodným způsobem do soustavy souřadnic. Obě kuličky leží na ose x, jedna z nich je umístěna přímo v počátku souřadného systému.

  

  Souřadnice hmotných bodů A a B, které kuličky zastupují, jsou v našem případě:

  \[A\,=\,[0{,}0],\] \[B\,=\,[L,0].\]

  Protože budeme zkoumat moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm, musíme nejdříve určit polohu těžiště. Vztah pro polohu těžiště soustavy n hmotných bodů vypadá následovně:

  \[\vec{r}_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}\vec{r}_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}}},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice těžiště lze počítat po složkách, platí pro x-ovou souřadnici těžiště naší soustavy:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}x_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}0\,+\,m_2{\cdot}L}{m_1\,+\,m_2}\,=\,\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2}.\tag{1}\]

  Pro y-ovou souřadnici těžiště je možné opakovat tentýž postup, zde je ale výsledek na první pohled patrný – obě kuličky mají y-ovou souřadnici nulovou, tedy také y_T = 0.

  Z obrázku je nyní zřejmé, že vzdálenost bodu A od těžiště soustavy je x_T, vzdálenost bodu B od těžiště je L − x_T. Přitom vzdálenost od těžiště zde znamená také vzdálenost od osy o, která těžištěm kolmo k tyči prochází. Máme tedy vše, co potřebujeme k určení momentu setrvačnosti J_o.

  Připomeňme ještě, že moment setrvačnosti soustavy n hmotných bodů je vzhledem k dané ose určen jako:

  \[J\,=\,\sum_{i\,=\,1}^n{m_\mathrm{i}r_\mathrm{i}^2},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jejich vzdálenosti od dané osy. V našem případě jde o osu o a platí:

  \[J_\mathrm{o}\,=\,m_1x_\mathrm{T}^2\,+\,m_2(L\,-\,x_\mathrm{T})^2.\tag{2}\]

  Za x_T dosadíme ze vztahu (1) a dostáváme:

  \[J_\mathrm{o}\,=\,m_1(\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2})^2\,+\,m_2(L\,-\,\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2})^2,\] \[J_\mathrm{o}\,=\,\frac{m_1m_2^2L^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,+\,m_2L^2(1\,-\,\frac{m_2}{m_1\,+\,m_2})^2,\] \[J_\mathrm{o}\,=\,\frac{m_1m_2^2L^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,+\,\frac{m_2L^2m_1^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,=\frac{m_1m_2L^2(m_1\,+\,m_2)}{(m_1\,+\,m_2)^2},\] \[J_\mathrm{o}\,=\,\frac{m_1m_2L^2}{m_1\,+\,m_2}.\]

• Odpověď

  Moment setrvačnosti J_o uvedené soustavy vzhledem k ose o procházející jejím těžištěm je:

  \[J_\mathrm{o}\,=\,\frac{m_1m_2L^2}{m_1\,+\,m_2}.\]