Moment setrvačnosti dvou kuliček

Úloha číslo: 1129

Dvě malé homogenní kuličky o hmotnostech m1, m2 jsou spojeny tyčí o délce L, jejíž hmotnost můžeme zanedbat. Určete moment setrvačnosti Jo soustavy vzhledem k ose o, která je kolmá na tyč a prochází těžištěm soustavy.

  • Zápis

    m1 hmotnost 1. kuličky
    m2 hmotnost 2. kuličky
    L délka spojovací tyče
    J0 = ? moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose procházející těžištěm
  • Nápověda 1

    Na úvod si situaci nakreslete a vhodně umístěte do souřadného systému. Oběma kuličkám v něm připište odpovídající souřadnice. Vzhledem k tomu, že nebyly zadány jejich rozměry, můžeme považovat kuličky za hmotné body, jejichž hmotnost je soustředěna ve středech (tedy i těžištích) původních koulí.

  • Nápověda 2

    Máme určit moment setrvačnosti Jo soustavy vzhledem k ose o procházející jejím těžištěm – musíme tedy nejdříve určit souřadnice samotného těžiště T. Připomeňte si vztah pro polohový vektor těžiště soustavy hmotných bodů.

    Lze jednu ze souřadnic těžiště určit okamžitě bez počítání?

  • Nápověda 3

    Určete vzdálenosti jednotlivých kuliček (hmotných bodů A a B) od těžiště soustavy. Umíte již pomocí těchto vzdáleností určit požadovaný moment setrvačnosti? Dopočítejte ho.

  • Celkové řešení

    Vzhledem k tomu, že nebyly zadány rozměry kuliček, můžeme je považovat hmotné body, jejichž hmotnost je soustředěna ve středech (tedy i těžištích) původních koulí.

    Obrázek níže ukazuje naši situaci umístěnou vhodným způsobem do soustavy souřadnic. Obě kuličky leží na ose x, jedna z nich je umístěna přímo v počátku souřadného systému.

    Umístění kuliček do soustavy souřadnic

    Souřadnice hmotných bodů A a B, které kuličky zastupují, jsou v našem případě:

    \[A\,=\,[0{,}0],\] \[B\,=\,[L,0].\]

    Protože budeme zkoumat moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm, musíme nejdříve určit polohu těžiště. Vztah pro polohu těžiště soustavy n hmotných bodů vypadá následovně:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_i\vec{r}_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\]

    kde mi jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a ri jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice těžiště lze počítat po složkách, platí pro x-ovou souřadnici těžiště naší soustavy:

    \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}0\,+\,m_2{\cdot}L}{m_1\,+\,m_2}\,=\,\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2}.\tag{1}\]

    Pro y-ovou souřadnici těžiště je možné opakovat tentýž postup, zde je ale výsledek na první pohled patrný - obě kuličky mají y-ovou souřadnici nulovou, tedy také yT = 0.

    Z obrázku je nyní zřejmé, že vzdálenost bodu A od těžiště soustavy je xT, vzdálenost bodu B od těžiště je L - xT. Přitom vzdálenost od těžiště zde znamená také vzdálenost od osy o, která těžištěm kolmo k tyči prochází. Máme tedy vše, co potřebujeme k určení momentu setrvačnosti Jo.

    Připomeňme ještě, že moment setrvačnosti soustavy n hmotných bodů je vzhledem k dané ose určen jako:

    \[J\,=\,\sum_{i\,=\,1}^n{m_ir_i^2},\]

    kde mi jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a ri jejích vzdálenosti od dané osy. V našem případě jde o osu o a platí:

    \[J_o\,=\,m_1x_T^2\,+\,m_2(L\,-\,x_T)^2.\tag{2}\]

    Za xT dosadíme ze vztahu (1) a dostáváme:

    \[J_o\,=\,m_1(\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2})^2\,+\,m_2(L\,-\,\frac{m_2L}{m_1\,+\,m_2})^2,\] \[J_o\,=\,\frac{m_1m_2^2L^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,+\,m_2L^2(1\,-\,\frac{m_2}{m_1\,+\,m_2})^2,\] \[J_o\,=\,\frac{m_1m_2^2L^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,+\,\frac{m_2L^2m_1^2}{(m_1\,+\,m_2)^2}\,=\frac{m_1m_2L^2(m_1\,+\,m_2)}{(m_1\,+\,m_2)^2},\] \[J_o\,=\,\frac{m_1m_2L^2}{m_1\,+\,m_2}.\]
  • Odpověď

    Moment setrvačnosti Jo uvedené soustavy vzhledem k ose o procházející jejím těžištěm je:

    \[J_o\,=\,\frac{m_1m_2L^2}{m_1\,+\,m_2}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze