Výkon setrvačníku
Úloha číslo: 533
Setrvačník s momentem setrvačnosti 20 kg·m2, který pohání gyromobil, sníží své otáčky z 25 s-1 na 12,5 s-1 během půl hodiny. Jaký výkon má elektromotor rovnocenný setrvačníku?
Zápis
J = 20 kg·m2 moment setrvačnosti setrvačníku t = 0,5 h = 1800 s doba mezi měřením otáček f1 = 25 s-1 frekvence otáček na počátku f2 = 12,5 s-1 frekvence otáček po čase t P = ? (W) výkon setrvačníku Rozbor
Při snižování otáček setrvačníku se zmenšuje energie jeho rotačního pohybu. Předpokládejme, že setrvačník byl během hodiny postupně zpomalen, aby energie jeho otáčení byla přeměněna v nějakou užitečnou práci. Předpokládejme dokonce (poněkud naivně), že veškerá energie, kterou ztratil, se přeměnila v užitečnou práci, ztráty třením nebudeme uvažovat.
Výkon je množství práce odvedené za jednotku času, značíme ho P.
Nápověda 1
Ztracená energie setrvačníku je rovna odvedené práci. Jak se liší energie setrvačníku na počátku a po hodině?
Nápověda 2
Napište vztah pro výkon a uvědomte si, kam se poděje „ztracená“ část rotační energie setrvačníku.
Komentář
Nakolik je tento výkon pro auto adekvátní posuďte sami. Podle Wikipedie bude mít první sériově vyráběný elektromobil Chevy Volt 2011 špičkový výkon 120 kW, automobil nižší třídy Nissan Leaf má mít výkon 80 kW.
Pro srovnání, aby náš gyromobil dosáhl z klidu rychlosti 100 km h-1 (27,78 m s-1), musel by i při nestandardně nízké hmotnosti 500 kg získat kinetickou energii
\[E=\frac{1}{2}mv^2=250\cdot(27{,}78)^2 \,\mathrm J= 192{,}9 \,\mathrm kJ.\]S uvažovaným výkonem 103 W by jeho čas „z nuly na sto“ byl:
\[P=\frac{\Delta E}{t}\,,\] \[t=\frac{\Delta E}{P}\dot{=}1873\,\mathrm s\dot{=}31\,\mathrm{min}\,.\]Vozítko s tímto výkonem by bylo nejspíše prakticky použitelné například na golfovém nebo dětském dopravním hřišti.
Popřípadě nám lepší představu dá převod na koňskou sílu, které má tento gyromobil necelou sedminu (1 HP = 745,7 W). Například výkony motokár se mohou pohybovat mezi sedmi až deseti koňskými silami.
Celkové řešení:
Předpokládejme, že setrvačník byl během hodiny postupně zpomalen, aby energie jeho otáčení byla přeměněna v nějakou užitečnou práci. Dále uvažujme, že veškerá energie, kterou ztratil, se přeměnila v užitečnou práci. Ztráty třením nebudeme uvažovat.
Energie otáčení setrvačníku je dána vztahem:
\[E=\frac{1}{2}J\omega^2\,.\]Moment setrvačnosti J známe a pro ω platí:
\[\omega=2\pi f\,.\]Můžeme napsat rozdíl energií:
\[\Delta E = \frac{1}{2}J(2 \pi f_1)^2-\frac{1}{2}J(2\pi f_2)^2 = 2J\pi^2f_1^2-2J\pi^2f_2^2\,.\]Tedy:
\[\Delta E=2J\pi^2(f_1^2- f_2^2)\,.\tag{1}\]Pro výkon P platí:
\[P=\frac{W}{t}\,.\]Předpokládejme, že vykonaná práce je rovna úbytku rotační energie:
\[W=\Delta E\,.\]Dosadíme z (1):
\[P=\frac{2\pi^2J(f_1^2- f_2^2)}{t}\,.\]Dosadíme-li číselné hodnoty:
\[P= \frac{2\pi^2{\cdot} 20\cdot (25^2-12{,}5^2)}{1800}\,\mathrm{W}\dot{=}103\,\mathrm{W}\,.\]Odpověď
Výkon rovnocenného elektromotoru je přibližně 103 W.
