Loďky

Úloha číslo: 167

Na hladině vody jsou dvě loďky v klidu záděmi u sebe. V každé z nich sedí chlapec. Chlapec v první loďce o celkové hmotnosti m1 tlačí pádlem konstantní silou po dobu Δt do druhé loďky o celkové hmotnosti m2. Druhá loďka tak dosáhne vzhledem k hladině vody rychlosti o velikosti v2.

a) Určete konečnou velikost vzájemné rychlosti v obou loděk.

b) Určete velikost F síly, kterou chlapec působil.

c) Určete změnu vzdálenosti Δs mezi loďkami během silového působení chlapce.

d) Určete práci W vykonanou během odstrkování loděk.

e) Určete poměr kinetických energií druhé a první loďky.

Odporové síly zanedbejte. Řešte nejprve obecně, pak pro hodnoty:

m1 = 240 kg, m2 = 160 kg, v2 = 0,90 m·s-1, Δt = 1,5 s.

  • Zápis

    m1 = 240 kg hmotnost první loďky
    m2 = 160 kg hmotnost druhé loďky
    v2 = 0,90 m·s-1 rychlost druhé loďky
    Δt = 1,5 s doba, po kterou chlapec v první loďce tlačí do druhé loďky
    v = ? (m·s-1) vzájemná rychlost loďek
    F = ? (N) síla, kterou působí chlapec
    Δs = ? (m) změna vzdálenosti mezi loďkami během silového působení chlapce
    W = ? (J) práce vykonaná během odstrkování loďek

    \(\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\) = ?

    poměr kinetických energií loděk
  • Nápověda a - zákon zachování hybnosti

    Nakreslete si obrázek. Vyjádřete si ze zákona zachování hybnosti (ZZH) rychlost první loďky. Jak spočítáte vzájemnou rychlost obou loděk?

  • Nápověda b - velikost působící síly

    Chlapec působí na 2. loďku stálou silou F po dobu Δt. Během tohoto působení se změní hybnost 2. loďky o Δp. Zkuste to zapsat pomocí druhého Newtonova zákona.

  • Nápověda c - změna vzdálenosti loděk

    Jakým pohybem se pohybují loďky vzhledem k hladině při odstrkování? Jakou vzdálenost přitom urazí?

  • Nápověda d - vykonaná práce

    Na co se promění práce vykonaná během odstrkování loděk? Vyjádřete to vztahem.

  • Nápověda e - poměr kinetických energií

    Vyjádřete poměr kinetické energie druhé loďky Ek2 ke kinetické energii první loďky Ek1.

  • Číselný výpočet

    Je dáno:

    \[m_1\,=\,240\,\mathrm{kg},\] \[m_2\,=\,160\,\mathrm{kg},\] \[v_2\,=\,0{,}9\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[\Delta t\,=\,1{,}5\,\mathrm{s}.\]

    a) hledáme:

    \[v\,=\,?,\] \[v\,=\,\frac{m_1+m_2}{m_1}v_2,\] \[v\,=\,\frac{240+160}{240}\cdot 0{,}9\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[v\,=\,1{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

    b) hledáme:

    \[F\,=\,?,\] \[F\,=\,\frac{m_2v_2}{\Delta t},\] \[F\,=\,\frac{240{\cdot}0{,}9}{1{,}5}\,\mathrm{N},\] \[F\,=\,96\,\mathrm{N}.\]

    c) hledáme:

    \[\Delta s\,=\,?,\] \[\Delta s\,=\, \frac {m_1+m_2}{2m_1}v_2\Delta t,\] \[\Delta s\,=\, \frac {240+160}{2{\cdot}240}\cdot0{,}9{\cdot}1{,}5\,\mathrm{m},\] \[\Delta s\,=\, 1{,}1\,\mathrm{m}.\]

    d) hledáme:

    \[W\,=\,?,\] \[W\,=\,\frac{m_2(m_1+m_2)}{2m_1}v_2^2,\] \[W\,=\,\frac{160\cdot(240+160)}{2{\cdot}240}\cdot0{,}9^2\,\mathrm{J},\] \[W\,=\,108\,\mathrm{J}.\]

    e) hledáme:

    \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,?,\] \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{m_1}{m_2},\] \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{240}{160},\] \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{3}{2}.\]
  • Odpověď

    a) Konečná velikost vzájemné rychlosti obou loděk je \[v\,=\,\frac{m_1+m_2}{m_1}v_2\,=\,1{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

    b) Velikost síly, kterou chlapec na první loďcě působí na druhou loďku je \[F\,=\,\frac{m_2v_2}{\Delta t}\,=\,96\,\mathrm{N}.\]

    c) Změna vzdálenosti loděk během silového působení chlapce na první loďce je \[\Delta s\,=\, \frac {m_1+m_2}{2m_1}v_2\Delta t\,=\, 1{,}1\,\mathrm{m}.\]

    d) Práce vykonaná během odstrkování loděk, je rovna \[W\,=\,\frac{m_2(m_1+m_2)}{2m_1}v_2^2\,=\,108\,\mathrm{J}.\]

    e) Poměr kinetických energií druhé a první loďky je \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{m_1}{m_2}\,=\,\frac{3}{2}.\]

  • Celkové řešení bodu a)

    Loďky na vodě

    Podle zákona zachování hybnosti platí, že hybnost loděk před odstrčením bude rovna jejich hybnosti po odstrčení.

    \[\mathrm{ZZH}: \qquad \vec{p_{01}}+\vec{p_{02}}=\vec{p_1}+\vec{p_2}\]

    \(\vec{p_{01}}\)…hybnost první loďky s chlapcem před odstrčením (p01 = 0)

    \(\vec{p_{02}}\)…hybnost druhé loďky s chlapcem před odstrčením (p02 = 0)

    \(\vec{p_1}\)…hybnost první loďky s chlapcem po odstrčení

    \(\vec{p_2}\)…hybnost druhé loďky s chlapcem po odstrčení

    \[0=m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}\]

    \(m_1\)…hmotnost první loďky s chlapcem

    \(m_2\)…hmotnost druhé loďky s chlapcem

    \(v_1\)…rychlost první loďky s chlapcem po odstrčení

    \(v_2\)…rychlost druhé loďky s chlapcem po odstrčení

    Předpokládejme, že se loďky pohybují po přímce. Rovnici přepíšeme skalárně:

    \[m_1v_1-m_2v_2\,=\,0.\]

    Vyjádříme si rychlost v1:

    \[v_1\,=\,\frac{m_2v_2}{m_1}.\tag{1}\]

    Loďky se pohybují od sebe, takže jejich vzájemnou rychlost získáme, sečteme-li rychlost první loďky s rychlostí druhé loďky.

    \[v\,=\,v_1+v_2\]

    \(v\)…vzájemná rychlost obou loděk

    Za rychlost v1 dosadíme ze vztahu (1):

    \[v\,=\,\frac{m_2v_2}{m_1}+v_2,\] \[v\,=\,\frac{m_1+m_2}{m_1}v_2,\tag{2}\] \[v\,=\,\frac{240+160}{240}\cdot0{,}9\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[v\,=\,1{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

    Odpověď: Konečná velikost vzájemné rychlosti obou loděk je \[v\,=\,1{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

  • Celkové řešení bodu b)

    Druhý Newtonův zákon můžeme v naši situaci zapsat ve tvaru:

    \[F\,=\,\frac{\Delta p}{\Delta t},\]

    \(F\)…síla, kterou chlapec na první loďce působí na druhou loďku,

    \(\Delta t\)…čas, po který působí chlapec na první loďce sílou F na druhou loďku,

    \(\Delta p\)…změna hybnosti 2. loďky,

    \[\Delta p\,=\,m_2v_2-0,\] \[F\,=\,\frac{m_2v_2}{\Delta t},\] \[F\,=\,\frac{240{\cdot}0{,}9}{1{,}5}\,\mathrm{N},\] \[F\,=\,96\,\mathrm{N}.\]

    Odpověď: Velikost síly, kterou chlapec na první loďcě působí na druhou loďku je \(F\,=\,96\,\mathrm{N}.\)

  • Celkové řešení bodu c)

    Loďky se během odstrkování pohybují vzhledem k hladině rovnoměrně zrychleným pohybem.

    První loďka urazí vzdálenost s1:

    \[s_1\,=\,\frac{1}{2}a_1(\Delta t)^2.\]

    Zrychlení a1 můžeme vyjádřit jako:

    \[a_1\,=\,\frac{v_1}{\Delta t},\] \[s_1\,=\,\frac{1}{2}v_1\Delta t.\]

    Druhá loďka urazí vzdálenost s2:

    \[s_2\,=\,\frac{1}{2}a_2(\Delta t)^2.\]

    Zrychlení a2 můžeme vyjádřit jako:

    \[a_2\,=\,\frac{v_2}{\Delta t},\] \[s_2\,=\,\frac{1}{2}v_2\Delta t.\]

    Celkově se loďky vzdálí během silového působení chlapce o vzdálenost Δs:

    \[\Delta s\,=\, s_1+s_2\,=\,\frac{1}{2}v_1\Delta t+\frac{1}{2}v_2\Delta t.\]

    Za rychlost v1 dosadíme ze vztahu (1):

    \[\Delta s\,=\,\frac{1}{2}\frac{m_2v_2}{m_1}\Delta t+\frac{1}{2}v_2\Delta t,\] \[\Delta s\,=\,\frac{m_1+m_2}{2m_1}v_2\Delta t, \] \[\Delta s\,=\, \frac {240+160}{2{\cdot}240}\cdot0{,}9{\cdot}1{,}5\,\mathrm{m},\] \[\Delta s\,=\, 1{,}1\,\mathrm{m}.\]

    Situaci můžeme také řešit v soustavě spojené například s první loďkou.

    V této soustavě se druhá loďka vzdaluje rovnoměrně zrychleným pohybem a za dobu Δt dosáhne konečné rychlosti o velikosti v. Změna vzdálenosti je:

    \[\Delta s\,=\,\frac{1}{2}v\Delta t,\]

    \(\Delta s\)…změna vzdálenosti druhé loďky od první.

    Za rychlost v dosadíme ze vztahu (2):

    \[\Delta s\,=\, \frac {m_1+m_2}{2m_1}v_2\Delta t.\tag{3}\]

    Odpověď: Změna vzdálenosti loděk během silového působení chlapce na první loďce je \(\Delta s\,=\, 1{,}1\,\mathrm{m}.\)

  • Celkové řešení bodu d)

    Práce vykonaná během odstrkování loděk se projeví vzrůstem kinetické energie obou loděk. (Změny vnitřní energie neuvažujeme.)

    \[W\,=\,E_{k1}+E_{k2}\]

    \(W\)…vykonaná práce

    \(E_{k1}\)…kinetická energie první loďky s chlapcem

    \(E_{k2}\)…kinetická energie druhé loďky s chlapcem

    \[W\,=\,\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\]

    Za rychlost v1 dosadíme ze vztahu (1):

    \[W\,=\,\frac{1}{2}m_1\frac{m_2^2v_2^2}{m_1^2}+\frac{1}{2}m_2v_2^2,\] \[W\,=\,\frac{m_2^2v_2^2}{2m_1}+\frac{m_2v_2^2}{2},\] \[W\,=\,\frac{m_2(m_1+m_2)}{2m_1}v_2^2,\] \[W\,=\,\frac{160\cdot(240+160)}{2{\cdot}240}\cdot0{,}9^2\,\mathrm{J},\] \[W\,=\,108\,\mathrm{J}.\]

    Odpověď: Práce vykonaná během odstrkování loděk je rovna \(W\,=\,108\,\mathrm{J}.\)

  • Celkové řešení bodu e)

    Poměr kinetické energie druhé loďky Ek2 ke kinetické energii první loďky Ek1 je:

    \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{\frac{1}{2}m_2v_2^2}{\frac{1}{2}m_1v_1^2},\] \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{m_2v_2^2}{m_1\frac{m_2^2v_2^2}{m_1^2}},\] \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{m_1}{m_2},\] \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{240}{160},\] \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{3}{2}.\]

    Odpověď: Poměr kinetických energií druhé a první loďky je \(\frac{E_{k2}}{E_{k1}}\,=\,\frac{3}{2}\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze