Nákladní auto a kopec

Úloha číslo: 215

Nákladní auto jede stálou rychlostí 30 km·h−1 z kopce. Hmotnost auta je 5 t. Auto brzdí pomocí motoru, celková brzdná síla působící na auto má velikost 4400 N. Určete sklon kopce.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m = 5 t hmotnost auta
    Fb = 4400 N brzdná síla
    v = 30 km·h−1 rychlost auta
    α = ? (°) sklon kopce
  • Nápověda 1

    Jaké síly na auto během pohybu působí? Jaký mají směr? Nakreslete si obrázek.

  • Nápověda 2

    Co platí podle 1. Newtonova zákona pro výslednici těchto sil?

  • Nápověda 3

    Rozložte tíhovou sílu \(\vec{F}_G\) na složku rovnoběžnou s vozovkou a na složku kolmou k vozovce. Dává 1. Newtonův zákon nějaké podmínky pro tyto složky?

  • Nápověda 4

    Umíte vyjádřit velikost složky F0 z tíhové síly? Použijte vhodnou goniometrickou funkci a pomocí známé velikosti brzdné síly Fb vyjádřete z rovnice (4) úhel α.

  • Celkové řešení

    Na auto působí celkem tři síly:

    1) Tíhová síla \(\vec{F}_G\) působí svisle dolů.

    2) Reakční síla vozovky \(\vec{R}\) (auto tlačí do vozovky a podle 3. Newtonova zákona tlačí vozovka do auta). Tato síla působí kolmo na vozovku.

    3) Brzdná síla \(\vec{F}_b\), která působí proti směru pohybu.

    Síly působící na auto

    Protože automobil se pohybuje rovnoměrně přímočaře, musí být výslednice tří výše zmíněných sil nulová (nulový vektor):

    \[\vec{F}_G \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}.\]

    Tíhovou sílu \(\vec{F}_G\) můžeme rozložit na sílu \(\vec{F}_0\) rovnoběžnou s vozovkou a na sílu\(\vec{F}_n\) kolmou k vozovce. Tento rozklad ukazuje další obrázek:

    Síly působící na auto

    Z něj je také patrné, že má-li být výslednice všech sil působících na automobil nulová, musí být nulové také výslednice ve směru rovnoběžném s vozovkou a ve směru kolmém k vozovce. Musí tedy platit:

    \[\vec{F}_n\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o},\tag{1}\] \[\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_b\,=\,\vec{o}.\tag{2}\]

    Protože síly \(\vec{F}_n\) a \(\vec{R}\) mají opačný směr a síly \(\vec{F}_0\) a \(\vec{F}_b\) mají také opačný směr, lze pro velikosti těchto sil psát:

    \[F_n\,-\,R\,=\,0,\tag{3}\] \[F_0\,-\,F_b\,=\,0.\tag{4}\]

    Pro další výpočet nám postačí pracovat s rovnicí (4).

    Z geometrie úlohy (viz obrázek výše) je patrné, že platí:

    \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_G}.\]

    Tedy:

    \[F_0\,=\,F_G\sin{\alpha}.\tag{5}\]

    Tíhovou sílu FG můžeme pomocí hmotnosti automobilu vyjádřit jako:

    \[F_G\,=\,mg\,,\tag{6}\]

    kde g je tíhové zrychlení. Dosazením vztahu (6) do vztahu (5) dostáváme:

    \[F_0\,=\,mg\sin{\alpha}.\tag{7}\]

    Konečně kombinací vztahů  (4) a (7) získáváme výslednou rovnost:

    \[ mg\sin{\alpha}\,-\,F_b\,=\,0\,\Rightarrow\,\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}.\]

    Číselně:

    \[F_b\,=\,4400\,\mathrm{N},\] \[m\,=\,5\,\mathrm{t}\,=\,5000\,\mathrm{kg},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},\] \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,(\frac{4400}{5000{\cdot}9{,}81})\,\dot{=}\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,5^{\circ}8^{\prime}.\]

    Kopec klesá pod úhlem \(5^{\circ}8^{\prime}\), přepočítáno na procenta vyjde klesání přibližně \(9\,\%.\) (Klesáním (stoupáním) se rozumí hodnota tangenty úhlu přepočtená na procenta.)

    Povšimněte si, že sklon kopce nezávisí na rychlosti, kterou má automobil „udržet“, ale pouze na brzdné síle, která je k tomu zapotřebí.

  • Výsledek

    \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_b}{mg}\,=\,0{,}090\,\Rightarrow\,\alpha\,=\,5^{\circ}8^{\prime}\]

    Kopec klesá pod úhlem přibližně \(5^{\circ}8^{\prime}\), resp. přibližně \(9\,\%\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze