Mars v opozici se Sluncem

Úloha číslo: 1238

V roce 1672, když se nacházel Mars nejblíže Zemi (viz Obrázek k zadání), astronomové zjistili, že vzdálenost Marsu a Země je \(73{\cdot}10^6 \mathrm{km}\). Dále znali oběžnou dobu Země \(365  \mathrm{d}\) a Marsu \(687  \mathrm{d}\) kolem Slunce a Keplerovy zákony. To jim umožnilo vypočítat do té doby neznámou vzdálenost Země a Slunce.

Obrázek k 
 zadání

Jaká vzdálenost jim vyšla? Jak moc se liší od hodnoty, kterou známe dnes?

Poznámka: Trajektorie planet považujte za kružnice.

  • Zápis

    \(d=73{\cdot}10^6 \mathrm{km}\) vzdálenost Marsu a Země
    \(T_{Z}=365 \mathrm{d}\) oběžná doba Země
    \(T_{M}=687 \mathrm{d}\) oběžná doba Marsu
    \(r_{Z}= ?\) vzdálenost Země od Slunce

  • Rozbor

    Zamysleme se, který z Keplerových zákonů pomohl astronomům spočítat hledanou vzdálenost Země a Slunce.

    Známe oběžné doby Země a Marsu kolem Slunce. Poloměr trajektorie Marsu umíme vyjádřit pomocí známé vzdálenosti Země a Marsu a hledaného poloměru trajektorie Země.

    Oběžné doby planet a délky hlavních poloos jejich trajektorií (my je považujeme za kružnice) dává do souvislosti 3. Keplerův zákon. Zapíšeme-li ho, získáme rovnici, ze které již dokážeme vyjádřit hledanou vzdálenost Země a Slunce.

  • Nápověda 1

    Nakreslete obrázek se Sluncem, Zemí a Marsem. Zakreslete do něj kruhové trajektorie Země a Marsu. Vyznačte v něm poloměr trajektorie Země \(r_{Z}\), poloměr trajektorie Marsu \(r_{M}\) a vzdálenost Země a Marsu \(d\).

  • Nápověda 2

    Na základě obrázku (trajektorie) napište jaký je vztah mezi \(r_{M}\), \(r_{Z}\) a \(d\).

  • Nápověda 3

    Formulujte třetí Keplerův zákon pro Zemi a Mars.

  • Nápověda 4

    Do (2) dosaďte dle (1) za \(r_{M}\) a vyjádřete \(r_{Z}\). Dopočítejte číselně.

  • Celkové řešení

    Obrázek trajektorie Země a Marsu

     

    trajektorie

     

    Vztah mezi \(r_{M}\), \(r_{Z}\) a \(d\)

     

    Bude platit: \[r_{M}=r_{Z}+d.\tag{1}\]

     

    Třetí Keplerův zákon pro Zemi a Mars

     

    Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin délek hlavních poloos jejich trajektorií.

    V našem případě bude platit: \[\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}=\frac{r_{Z}^3}{r_{M}^3}.\tag{2}\]

     

    Vyjádření \(r_{Z}\)

     

    Dosadíme dle (1) za \(r_{M}\) do (2): \[\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}=\frac{r_{Z}^3}{\left(r_{Z}+d \right)^3}.\]

    Obě strany rovnice odmocníme třetí odmocninou: \[\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}=\frac{r_{Z}}{r_{Z}+d }.\] Nejprve obě strany rovnice vynásobíme \(r_{Z}+d\) a poté od obou stran rovnice odečteme \(r_{Z}\): \[ \sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}r_{Z}+\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}d-r_{Z}=0.\] Od obou stran rovnice odečteme člen \(\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}d\) a na levé straně rovnice vytkneme \(-r_{Z}\): \[ -r_{Z}\left(1-\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}\right)=-\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}d.\] Obě strany rovnice vydělíme \(-\left(1-\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}} \right)\) a dostáváme: \[r_{Z}=\frac{\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}d}{1-\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}}.\]

    Číselné řešení:

    Ze zadání víme, že \(d=73{\cdot}10^6 \mathrm{km}\), \(T_{Z}=365 \mathrm{d}\) a \(T_{M}=687 \mathrm{d}\).

    \[r_{Z}=\frac{\sqrt[3]{\frac{365^2}{687^2}}\cdot73{\cdot}10^6}{1-\sqrt[3]{\frac{365^2}{687^2}}} \mathrm{km} \dot= \frac{47{,}89}{0{,}34}\cdot10^6 \mathrm{km} \dot= 140{\cdot}10^6 \mathrm{km}.\]

  • Odpověď

    Vzdálenost Země a Slunce jim vyšla \(r_{Z}=\frac{\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}d}{1-\sqrt[3]{\frac{T_{Z}^2}{T_{M}^2}}}\), což je číselně přibližně \(140{\cdot}10^6 \mathrm{km}\). Průměrná hodnota vzdálenosti, kterou známe dnes je \(149{,}6{\cdot}10^6 \mathrm{km} \). Hodnota vypočítaná astronomy v roce 1672 je dobrým přiblížením dnešní hodnotě.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Upraveno podle: Nahodil J.: Sbírka úloh z fyziky kolem nás pro střední
školy
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Upraveno podle: Nahodil J.: Sbírka úloh z fyziky kolem nás pro střední školy
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze