Průměrná rychlost auta II

Úloha číslo: 227

Spěchající motorista se snaží překonat kopec. Stoupání i klesání jsou dlouhé 3,5 km. Má ale staré auto, takže do kopce může jet nejvýše rychlostí \(45 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\).

Jak rychle musí jet dolů, aby udržel průměrnou rychlost:

a) \(60 \,\mathrm{\frac{km}{h}},\)

b) \(90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}.\)

Nápověda 1: Označení veličin, vztah pro průměrnou rychlost
Označte si potřebné veličiny a pokuste se vyjádřit průměrnou rychlost pomocí celkové dráhy a celkové doby jízdy.
Řešení nápovědy 1:
v_p je průměrná rychlost auta

s je dráha do kopce (stejná vzdálenost je i z kopce)

t₁ je doba, za kterou auto vyjede na kopec

t₂ je doba, za kterou auto sjede z kopce

Když jsme si označili veličiny, můžeme si vyjádřit průměrnou rychlost:
\[v_\mathrm{p} = \frac{2s}{t_{1}+t_{2}}\,.\]

Zápis

\[s \,=\, 3{,}5\,\mathrm{km}\]	délka stoupání i klesání
\[v_1 \,=\, 45 \,\mathrm{\frac{km}{h}}=\,12{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]	rychlost jízdy do kopce
\[v_2\, =\, ?\,\left(\mathrm{\frac{km}{h}}\right)\]	rychlost jízdy z kopce
a) \( v_\mathrm{p} \,=\, 60 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,=\,16{,}7\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)	průměrná rychlost
b) \(v_\mathrm{p} \,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,=\,25\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)	průměrná rychlost

Nápověda 2: Doba jízdy
Vyjádřete si doby jízdy pomocí rychlostí auta při jízdě do kopce a z kopce. Poté je dosaďte do vzorce pro průměrnou rychlost.
Řešení nápovědy 2:
Dobu jízdy do kopce t₁ si můžeme vyjádřit pomocí vztahu
\[t_{1} \,=\, \frac{s}{v_{1}}\,.\]
Dobu jízdy z kopce t₂ si můžeme vyjádřit pomocí podobného vztahu:
\[t_{2} \,=\, \frac{s}{v_{2}}\,.\]
Dosadíme tyto vzorce do vztahu pro průměrnou rychlost a upravíme:
\[ v_\mathrm{p} \,=\, \frac{2s}{t_1\,+\,t_2} \,=\, \frac{2s}{\frac{s}{v_1}\,+\, \frac{s}{v_2}} \,=\, \frac{2s}{s \left(\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\right)}\,=\, \frac{2}{\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}}. \tag{1}\]
Nápověda 3: Vyjádření hledané rychlosti
Vyjádřete si ze vztahu (1) rychlost z kopce v₂, kterou chceme spočítat.
Řešení nápovědy 3:
Vyjádříme si rychlost z kopce ze vztahu (1):
\[ v_\mathrm{p}\, =\, \frac{2}{\frac{1}{v_{1}}\,+\, \frac{1}{v_{2}}} \,.\]
Obě strany vynásobíme výrazem \(\left({\frac{1}{v_{1}}+ \frac{1}{v_{2}}}\right)\):
\[ v_\mathrm{p}\left({\frac{1}{v_{1}}\,+\, \frac{1}{v_{2}}}\right) \,=\, \frac{2\left({\frac{1}{v_{1}}\,+\, \frac{1}{v_{2}}}\right)}{\frac{1}{v_{1}}\,+\, \frac{1}{v_{2}}} \,.\]
Zkrátíme:
\[ v_\mathrm{p}\left({\frac{1}{v_{1}}\,+\, \frac{1}{v_{2}}}\right) \,=\, 2\,. \]
Vynásobíme \(\frac{1}{v_\mathrm{p}}\):
\[ v_\mathrm{p}\left({\frac{1}{v_{1}}\,+\, \frac{1}{v_{2}}}\right)\frac{1}{v_\mathrm{p}} \,=\, \frac{2}{v_\mathrm{p}} \,.\]
Zkrátíme:
\[ {\frac{1}{v_{1}}\,+\, \frac{1}{v_{2}}} \,=\, \frac{2}{v_\mathrm{p}} \,.\]
Odečteme \(\frac{1}{v_{1}}\):
\[\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\,-\,\frac{1}{v_1} \,=\, \frac{2}{v_\mathrm{p}}\,-\,\frac{1}{v_1} \,. \]
Upravíme:
\[\frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2}{v_\mathrm{p}}\,-\,\frac{1}{v_1}, \] \[\frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2v_1\,-\,v_\mathrm{p}}{v_\mathrm{p} v_1},\] \[v_{2} \,=\, \frac{v_\mathrm{p} v_1}{2v_1\,-\,v_\mathrm{p}}.\tag{2}\]
Nápověda 4: Číselné dosazení
Dosaďte do vztahu (2) zadané hodnoty a spočítejte rychlost z kopce.
Řešení nápovědy 4:
Dosadíme zadané hodnoty do vzorce:

a) Pro jízdu s průměrnou rychlostí \( v_\mathrm{p}\,=\, 60 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\) je rychlost z kopce:

\[v_{2} \,=\, \frac{v_\mathrm{p} v_1}{2v_1 \,-\, v_\mathrm{p}}\,=\, \frac{60{\cdot}45}{2{\cdot} 45 - 60} \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\]

b) Pro jízdu s průměrnou rychlostí \( v_\mathrm{p} \,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\) je rychlost z kopce:

\[v_{2} \,=\, \frac{v_\mathrm{p} v_1}{2v_1 \,-\, v_\mathrm{p}}\,=\, \frac{90{\cdot}45}{2{\cdot} 45 - 90} \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\]
Po dosazení hodnot zjistíme, že ve jmenovateli je nula. Řidič vozidla tedy nemůže této průměrné rychlosti dosáhnout. Nemůže jet tak rychle, aby dohnal ztrátu z jízdy do kopce.

Tento případ lze také řešit úvahou. Nejprve si spočítáme čas jízdy do kopce:
\[t_1 \,=\, \frac{s}{v_1} \,=\, \frac{3\,500\,}{12{,}5}\,\mathrm{s} \,=\, 280\,\mathrm{s}\,.\]
Poté si spočítáme čas jízdy do kopce i z kopce:
\[t_1 \,+\, t_2\,=\, \frac{2s}{v_\mathrm{p}}\,=\, \frac{2\,\cdot\,3\,500}{25}\,\mathrm{s} \,=\,280\,\mathrm{s}\,.\]
Jelikož jsou tyto časy stejné, tak na jízdu z kopce nezbývá žádný čas.
Celkové řešení:
Označení veličin:

v_p je průměrná rychlost auta,

s je dráha do kopce (stejná vzdálenost je i z kopce),

t₁ je doba, za kterou auto vyjede na kopec,

t₂ je doba, za kterou auto sjede z kopce.

Když jsme si označili veličiny, můžeme si vyjádřit průměrnou rychlost:
\[v_\mathrm{p} \,=\, \frac{2s}{t_{1}+t_{2}}\,.\]
Časy t₁, t₂ si vyjádříme pomocí rychlosti a ujeté dráhy:

Doba jízdy do kopce t₁:
\[t_1 \,=\, \frac{s}{v_1}\,.\]
Doba jízdy z kopce t₂:
\[t_2 \,=\, \frac{s}{v_2}\,.\]
Dosadíme tyto vzorce do vztahu pro průměrnou rychlost a upravíme:
\[ v_\mathrm{p} \,=\, \frac{2s}{t_1\,+\,t_2} \,=\, \frac{2s}{\frac{s}{v_1}\,+\, \frac{s}{v_2}} = \frac{2s}{s \left(\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\right)}\,=\, \frac{2}{\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}}. \tag{1}\]
Vyjádříme si rychlost z kopce ze vztahu (1):
\[ v_\mathrm{p} \,=\, \frac{2}{\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}}\,.\]
Obě strany vynásobíme výrazem \(\left(\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\right)\):
\[ v_\mathrm{p} \left(\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\right) \,=\, 2\,. \]
Vynásobíme \(\frac{1}{v_\mathrm{p}}\):
\[\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2}{v_\mathrm{p}}\,.\]
Odečteme \(\frac{1}{v_1}\):
\[\frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2}{v_\mathrm{p}}\,-\,\frac{1}{v_1}, \] \[\frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2v_1 \,-\,v_\mathrm{p}}{v_\mathrm{p} v_1},\] \[v_2 \,=\, \frac{v_\mathrm{p} v_1}{2v_1\,-\,v_\mathrm{p}}.\tag{2}\]
Dosadíme zadané hodnoty do vzorce:

a) Pro jízdu s průměrnou rychlostí \( v_\mathrm{p} \,=\, 60 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\) je rychlost z kopce:

\[v_2 \,=\, \frac{v_\mathrm{p} v_1}{2v_1 \,-\, v_\mathrm{p}}\,=\, \frac{60{\cdot}45}{2{\cdot} 45 - 60} \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\]

b) Pro jízdu s průměrnou rychlostí \( v_\mathrm{p} \,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\) je rychlost z kopce:

\[v_2 \,=\, \frac{v_\mathrm{p} v_1}{2v_1 \,-\, v_\mathrm{p}}\,=\, \frac{90{\cdot}45}{2{\cdot} 45 - 90} \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\]
Po dosazení hodnot zjistíme, že ve jmenovateli je nula. Řidič vozidla tedy nemůže této průměrné rychlosti dosáhnout. Nemůže jet tak rychle, aby dohnal ztrátu z jízdy do kopce.

Tento případ lze také řešit úvahou. Nejprve si spočítáme čas jízdy do kopce:
\[t_1 \,=\, \frac{s}{v_1} \,=\, \frac{3\,500}{12{,}5}\,\mathrm{s} \,=\, 280\,\mathrm{s}\,.\]
Poté si spočítáme čas jízdy do kopce i z kopce:
\[t_1 \,+\, t_2\,=\, \frac{2s}{v_\mathrm{p}}\,=\, \frac{2\,\cdot\,3\,500}{25}\,\mathrm{s} \,=\,280\,\mathrm{s}\,.\]
Jelikož jsou tyto časy stejné, tak na jízdu z kopce nezbývá žádný čas.
Odpověď:
Pro rychlost jízdy z kopce platí:
\[v_2 \,=\, \frac{v_\mathrm{p} v_1}{2v_1\,-\,v_\mathrm{p}}\,.\]
a) Auto musí jet z kopce rychlostí \( 90\,\mathrm{\frac{km}{h}}\), aby mělo průměrnou rychlost \(60\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\)

b) Motorista nemůže dosáhnout průměrné rychlosti \(90\,\mathrm{\frac{km}{h}}\), jelikož čas na celou jízdu spotřebuje už při cestě do kopce. Na cestu z kopce nezbyde žádný čas.