Průměrná rychlost auta II

Úloha číslo: 227

Spěchající motorista se snaží překonat kopec. Stoupání i klesání jsou dlouhé 3,5 km. Má ale staré auto, takže do kopce může jet nejvýše rychlostí \(45 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\).

Jak rychle musí jet dolů, aby udržel průměrnou rychlost:

a) \(60 \,\mathrm{\frac{km}{h}},\)

b) \(90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}.\)

  • Nápověda 1: Označení veličin, vztah pro průměrnou rychlost

    Označte si potřebné veličiny a pokuste se vyjádřit průměrnou rychlost pomocí celkové dráhy a celkové doby jízdy.

  • Zápis

    \[s \,=\, 3{,}5\,\mathrm{km}\] délka stoupání i klesání
    \[v_1 \,=\, 45 \,\mathrm{\frac{km}{h}}=\,12{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}\] rychlost jízdy do kopce
    \[v_2\, =\, ?\,\left(\mathrm{\frac{km}{h}}\right)\] rychlost jízdy do kopce

    a) \( v_p \,=\, 60 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,=\,16{,}7\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)

    průměrná rychlost

    b) \(v_p \,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,=\,25\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)

    průměrná rychlost
  • Nápověda 2: Doba jízdy

    Vyjádřete si doby jízdy pomocí rychlostí auta při jízdě do kopce a z kopce. Poté je dosaďte do vzorce pro průměrnou rychlost.

  • Nápověda 3: Vyjádření hledané rychlosti

    Vyjádřete si ze vztahu (1) rychlost z kopce v2, kterou chceme spočítat.

  • Nápověda 4: Číselné dosazení

    Dosaďte do vztahu (2) zadané hodnoty a spočítejte rychlost z kopce.

  • Celkové řešení:

    Označení veličin:

    vp je průměrná rychlost auta,

    s je dráha do kopce (stejná vzdálenost je i z kopce),

    t1 je doba, za kterou auto vyjede na kopec,

    t2 je doba, za kterou auto sjede z kopce.

    Když jsme si označili veličiny, můžeme si vyjádřit průměrnou rychlost:

    \[v_p \,=\, \frac{2s}{t_{1}+t_{2}}\,.\]

    Časy t1, t2 si vyjádříme pomocí rychlosti a ujeté dráhy:

    Doba jízdy do kopce t1:

    \[t_1 \,=\, \frac{s}{v_1}\,.\]

    Doba jízdy z kopce t2:

    \[t_2 \,=\, \frac{s}{v_2}\,.\]

    Dosadíme tyto vzorce do vztahu pro průměrnou rychlost a upravíme:

    \[ v_p \,=\, \frac{2s}{t_1\,+\,t_2} \,=\, \frac{2s}{\frac{s}{v_1}\,+\, \frac{s}{v_2}} = \frac{2s}{s \left(\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\right)}\,=\, \frac{2}{\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}}. \tag{1}\]

    Vyjádříme si rychlost z kopce ze vztahu (1):

    \[ v_p \,=\, \frac{2}{\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}}\,.\]

    Obě strany vynásobíme výrazem \(\left(\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\right)\):

    \[ v_p \left(\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2}\right) \,=\, 2\,. \]

    Vynásobíme  \(\frac{1}{v_p}\) :

    \[\frac{1}{v_1}\,+\, \frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2}{v_p}\,.\]

    Odečteme  \(\frac{1}{v_1}\):

    \[\frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2}{v_p}\,-\,\frac{1}{v_1}, \] \[\frac{1}{v_2} \,=\, \frac{2v_1 \,-\,v_p}{v_p v_1},\] \[v_2 \,=\, \frac{v_p v_1}{2v_1\,-\,v_p}.\tag{2}\]

    Dosadíme zadané hodnoty do vzorce:

    a) Pro jízdu s průměrnou rychlostí \( v_p \,=\, 60 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\)  je rychlost z kopce:

     

    \[v_2 \,=\, \frac{v_p v_1}{2v_1 \,-\, v_p}\,=\, \frac{60{\cdot}45}{2{\cdot} 45 - 60} \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\]

     

    b) Pro jízdu s průměrnou rychlostí  \( v_p \,=\, 90 \,\mathrm{\frac{km}{h}}\) je rychlost z kopce:

     

    \[v_2 \,=\, \frac{v_p v_1}{2v_1 \,-\, v_p}\,=\, \frac{90{\cdot}45}{2{\cdot} 45 - 90} \,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\]

    Po dosazení hodnot zjistíme, že ve jmenovateli je nula. A tedy řidič vozidla nemůže této průměrné rychlosti dosáhnout. Nemůže jet tak rychle, aby dohnal ztrátu z jízdy do kopce.

    Nebo tento případ lze řešit úvahou. Nejprve si spočítáme čas jízdy do kopce:

    \[t_1 \,=\, \frac{s}{v_1} \,=\, \frac{3\,500}{12{,}5}\,\mathrm{s} \,=\, 280\,\mathrm{s}\,.\]

    Poté si spočítáme čas jízdy do kopce i z kopce:

    \[t_1 \,+\, t_2\,=\, \frac{2s}{v_p}\,=\, \frac{2\,\cdot\,3\,500}{25}\,\mathrm{s} \,=\,280\,\mathrm{s}\,.\]

    Jelikož jsou tyto časy stejné, tak na jízdu z kopce nezbývá žádný čas.

  • Odpověď:

    Pro rychlost jízdy z kopce platí:

    \[v_2 \,=\, \frac{v_p v_1}{2v_1\,-\,v_p}\,.\]

    a) Auto musí jet z kopce rychlostí \(90\,\mathrm{\frac{km}{h}}\), aby mělo průměrnou  rychlost \(60\,\mathrm{\frac{km}{h}}\,.\)

    b) Motorista nemůže dosáhnout průměrné rychlosti  \(90\,\mathrm{\frac{km}{h}}\), jelikož čas na celou jízdu spotřebuje už při cestě do kopce. Na cestu z kopce nezbyde žádný čas.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze