Záchranný letoun

Úloha číslo: 130

Záchranný letoun letí na pomoc tonoucímu. Pilot udržuje stálou výšku 1 200 m nad hladinou a směřuje přímo nad hlavu člověka (viz obrázek). Rychlost letadla má velikost 430 km·h−1.

Při jakém zorném úhlu musí pilot uvolnit záchranný vak, aby dopadl co nejblíže k tonoucímu?

Odpor prostředí neuvažujte.

Obrázek celé situace
  • Zápis

    h = 1 200 m výška letadla nad hladinou
    v = 430 km·h−1 rychlost letadla
    ψ = ? (°) zorný úhel
    Z tabulek:
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Nápověda 1: Počáteční rychlost vaku

    Jaká je počáteční rychlost vaku? Znáte její velikost?

  • Nápověda 2: Doba pádu vaku na hladinu

    Jakým pohybem se vak po vypuštění pohybuje ve svislém směru?

    Jak zjistíte dobu jeho pádu t na hladinu, víte-li, v jak velké výšce h nad hladinou byl vypuštěn?

  • Nápověda 3: Vzdálenost  L

    Jak se vak pohybuje ve vodorovném směru?

    Jak velkou vzdálenost L ve vodorovném směru urazí vak za dobu t, tedy za dobu pádu na hladinu? Dobu pádu t znáte z předchozí nápovědy.

  • Nápověda 4: Zorný úhel ψ

    Jak zjistíte velikost zorného úhlu ψ, při kterém musí pilot uvolnit záchranný vak, aby dopadl co nejblíže k tonoucímu?

    Podívejte se na obrázek. Jakou goniometrickou funkci k výpočtu použijete?

    Které veličiny k vyjádření zorného úhlu ψ potřebujete? Znáte je?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Počáteční rychlost vaku je shodná s rychlostí letadla. Má tedy velikost \(v\).

    Neuvažujeme-li odpor prostředí, pohybuje se vak ve svislém směru volným pádem.

    Protože víme, v jak velké výšce je vak vypuštěn, můžeme snadno určit dobu jeho pádu na hladinu. Ve směru osy y platí:

    \[-h\,=\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}\,,\]

    tedy:

    \[h\,=\,\frac{1}{2}gt^{2}\,.\]

    (ve směru osy y na vak působí jen tíhová síla).

    Řešením této rovnice dostáváme pro dobu letu t :

    \[t\,=\,\sqrt{\frac{2h}{g}}\,.\]

     

    Ve vodorovném směru se vak (i letadlo) pohybuje stálou rychlostí v.

    Za tuto dobu urazí vak ve vodorovném směru vzdálenost:

    \[L\,=\,vt\,.\]

    Po dosazení za t dostáváme:

    \[L\,=\,v\sqrt{\frac{2h}{g}}\,.\]

     

    Výpočet zorného úhlu ψ je zřejmý z obrázku.

    Použijeme goniometrickou funkci tangens.

    K výpočtu potřebujeme znát vzdálenost L, kterou ve vodorovném směru urazí vak za dobu t svého pádu na hladinu, a výšku, ze které padá. Obojí již známe.

     

    Platí:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\frac{L}{h}=\frac{v\sqrt{\frac{2h}{g}}}{h}=v\sqrt{\frac{2}{hg}}\,.\]

     

    Číselně:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\frac{430 \,000}{3\, 600}\sqrt{\frac{2}{1 \,200{\cdot}9{,}81}}\,\dot=\, 1{,}556\,,\] \[\psi\,=\,57^{\circ}\,.\]

     

    Poznámka: Vodorovný průmět rychlosti vaku je v každém okamžiku shodný s rychlostí letadla, takže pilot vidí letící vak neustále pod sebou.

  • Odpověď

    Pilot musí uvolnit záchranný vak, aby dopadl co nejblíže k tonoucímu, v zorném úhlu ψ, pro který platí:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,v\,\sqrt{\frac{2}{hg}}\,\dot=\,1{,}556\,,\] \[\psi\,=\,57^{\circ}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze