Mravenec na tyči

Úloha číslo: 120

Tenká tyč OA délky R se otáčí úhlovou rychlostí ω ve směru pohybu hodinových ručiček kolem osy, která je kolmá k tyči a prochází bodem O. Po tyči od bodu O leze ve směru k bodu A mravenec konstantní rychlostí \(\vec{v}\) vzhledem k tyči. Popište průběh polohy mravence v laboratorní vztažné soustavě, byl-li v čase t = 0 s právě ve středu tyče.

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Počátek souřadné soustavy zvolte v bodě 0 (bod O) a počáteční polohu tyče tak, že splývá s osou x. Nakreslete situaci pro čas t = 0 s a vyznačte polohu mravence. Pak nakreslete, jak se pootočí tyč za okamžik t a kam popoleze mravenec. Vyznačte polohový vektor mravence v čase t.

  • Nápověda 2: Polohový vektor mravence

    O jaký kus popolezl mravenec za čas t a jak dlouhý bude polohový vektor mravence v čase t? O jaký úhel se pootočila tyč za čas t?

    Pomocí úhlu α vyjádřete x-ovou a y-ovou složku polohového vektoru \(\vec{r}\left(t\right)\).

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Obrázek situace:

    Obrázek k řešení úlohy

    Pohyb rozložíme na pohyb rovnoměrný přímočarý s rychlostí o velikosti v a na pohyb po kružnici s úhlovou rychlostí o velikosti ω:

     

    Za čas t mravenec popoleze o vzdálenost vt.

     

    Délka polohového vektoru v čase t bude:

    \[r\left(t\right)\,=\,vt+\frac{R}{2}.\tag{1}\]

     

    Tyč se pootočí o úhel:

    \[\alpha\,=\,\omega{t}.\]

     

    Délka polohového vektoru se tedy mění s časem podle vztahu (1):

    \[r\left(t\right)\,=\,vt+\frac{R}{2}.\]

     

    Průmět polohového vektoru do osy x je roven:

    \[x\left(t\right)\,=\,r\left(t\right)\cos\alpha\,=\,\left(vt+\frac{R}{2}\right)\cos\omega{t}.\]

     

    Průmět polohového vektoru do osy y je roven:

    \[y\left(t\right)\,=\,-r\left(t\right)\sin\alpha\,=\,-\left(vt+\frac{R}{2}\right)\sin\omega{t}.\]

    (Průmět jde do záporného směru osy y, proto \(-\).)

     

    Polohový vektor pak vyjádříme jako vektorový součet jeho složek:

    \[\vec{r}\left(t\right)\,=\, x\left(t\right)\vec{i} + y\left(t\right)\vec{j}\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j},\) jsou jednotkové vektory ve směru os x a y.

    Po dosazení dostáváme

    \[\vec{r}\left(t\right)\,=\, \left(vt+\frac{R}{2}\right)\cos\omega{t} \vec{i}-\left(vt+\frac{R}{2}\right)\sin\omega{t } \vec{j}.\]
  • Odpověď

    Polohový vektor mravence se s časem mění podle vztahu:

    \[\vec{r}\left(t\right)\,=\, \left(vt+\frac{R}{2}\right)\cos\omega{t} \vec{i}-\left(vt+\frac{R}{2}\right)\sin\omega{t } \vec{j},\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)  jsou jednotkové vektory ve směru os x a y.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze