Tahová síla auta
Úloha číslo: 232
Auto o hmotnosti 1 400 kg se rozjíždí po rovné silnici. Na dráze délky 1 000 m dosáhne určité rychlosti. Na auto působí tahová síla o velikosti 1 700 N a proti směru pohybu odporová síla 100 N.
Určete zrychlení auta a rychlost, které na konci ujeté dráhy dosáhlo.
Poznámka: Vzhledem k tomu, že se jedná o přímočarý pohyb, budeme dále pro zjednodušení mluvit jen o zrychlení a rychlosti, i když budeme mít na mysli jen jejich velikosti.
Zápis
m = 1 400 kg hmotnost auta L = 1 000 m uražená dráha Fm = 1 700 N tahová síla motoru Fo = 100 N odporová síla a = ? (m·s−2) zrychlení v = ? (m·s−1) rychlost, které auto dosáhne Nápověda 1 - výsledná síla
Jak velká je výsledná síla \(F\) působící na auto, jestliže tahová síla motoru působí ve směru pohybu a třecí síla proti pohybu?
Nápověda 2 – výpočet zrychlení
Znáte-li výslednou sílu působící na auto, umíte určit zrychlení auta?
Nápověda 3 – výpočet dosažené rychlosti
Pohyb auta je rovnoměrně zrychlený, zrychlení jste právě určili. Zkombinujte definiční vztah pro zrychlení a vztah pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu a vypočtěte dosaženou rychlost v.
Celkové řešení
Výpočet zrychlení:
Velikost výsledné síly působící na auto je rovna rozdílu velikostí tahové síly motoru a odporové síly:
\[F\,=\,F_\mathrm{m}\,-\,F_\mathrm{o}.\tag{1}\]Zrychlení určíme z 2. Newtonova zákona, podle kterého je výsledná síla působící na těleso přímo úměrná zrychlení tělesa:
\[F\,=\,ma.\]Ze vztahu (1) dosadíme za F a vyjádříme zrychlení:
\[F_\mathrm{m}\,-\,F_o\,=\,ma,\] \[a\,=\,\frac{F_\mathrm{m}\,-\,F_\mathrm{o}}{m}.\]Číselně:
\[F_\mathrm{m}\,=\,1\,700\,\mathrm{N},\] \[F_\mathrm{o}\,=\,100\,\mathrm{N},\] \[m\,=\,1\,400\,\mathrm{kg},\] \[a\,=\,\frac{F_\mathrm{m}\,-\,F_\mathrm{o}}{m}\,=\,(\frac{1\,700\,-\,100}{1\,400})\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,\dot{=}\,1{,}14\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}.\]Výpočet dosažené rychlosti:
Vyjdeme z definičního vztahu pro zrychlení a vztahu pro výpočet dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu.
Zrychlení a definujeme vztahem:
\[a\,=\,\frac{{\Delta}v}{{\Delta}t}\,,\]kde Δv je změna rychlosti za čas Δt. Vzhledem k tomu, že náš pohyb začínal z klidu, je Δv = v. Vyjádřeme odtud čas Δt pohybu:
\[{\Delta}t\,=\,\frac{{\Delta}v}{a}\,=\,\frac{v}{a}.\tag{2}\]Pro dráhu L rovnoměrně zrychleného pohybu platí:
\[L\,=\,\frac{1}{2}a({\Delta}t)^2.\tag{3}\]Dosadíme do vztahu (3) ze vztahu (2) a vyjádříme rychlost v:
\[L\,=\,\frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^2\,=\,\frac{v^2}{2a}\,\Rightarrow\,v\,=\,\sqrt{2aL}.\]Číselně:
\[a\,\dot{=}\,1{,}14\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},\] \[L\,=\,1\,000\,\mathrm{m},\]\[v\,=\,\sqrt{2aL}\,\dot{=}\,(\sqrt{2{\cdot}1{,}14{\cdot}1\,000})\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}\,\dot{=}\,47{,}8\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}\,\dot{=}\,172\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}.\]
Odporová síla ve skutečnosti
Ve skutečnosti není celková odporová síla proti směru pohybu stále stejně velká, ale mění se. Do této síly je totiž zahrnována také odporová síla prostředí (zde vzduchu), jejíž velikost přibližně kvadraticky roste s rostoucí rychlostí.
Výsledek
Auto se pohybuje se zrychlením o velikosti \[a\,=\,\frac{F_\mathrm{m}\,-\,F_\mathrm{o}}{m}\,\dot=\,1{,}14\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}.\]
Na konci své dráhy dosáhne rychlosti o velikosti \[v=\sqrt{2aL}\,\dot=\,47{,}8\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}}.\]
