Kolébání půlválce

Úloha číslo: 537

Homogenní půlválec o poloměru r a hmotnosti m leží na vodorovné rovině.

a) Určete moment setrvačnosti půlválce vzhledem k přímce, ve které se půlválec dotýká roviny.

b) Půlválec vykloníme o malý úhel z rovnovážné polohy a pustíme. S jakou periodou se bude kolébat?

takhle to vypadá

Předpokládáme, že tření mezi půlválcem a rovinou je dostatečně velké, aby nedošlo k prokluzování, a že valivý odpor je zanedbatelný.

Těžiště půlválce se nachází ve vzdálenosti \(p=\frac{4r}{3\pi}\) od bodu S.

Pro malé úhly můžete použít aproximace (přibližného vztahu) \(\sin\alpha\dot{=}\alpha\,,\) \(\cos\alpha=1-2sin^2\frac{\alpha}{2}\dot{=}1-\frac{\alpha^2}{2}\,.\)

  • Nápověda a) 1

    K výpočtu momentu setrvačnosti využijte Steinerovu větu a znalost momentu setrvačnosti celého válce vzhledem k ose procházející středy podstav.

  • Nápověda b) 1

    Předpokládejme, že kolébání půlválce není tlumeno odporovými silami a že půlválec koná harmonický pohyb.

    Vztahy pro okamžitou úhlovou výchylku z rovnovážné polohy a okamžitou úhlovou rychlost budou obdobné jako například pro kmitání kuličky na pružině. Napište je.

  • Nápověda b) 2

    K dalšímu řešení použijte zákon zachování mechanické energie. Napište, jakou mechanickou energii má válec, když ho vychýlíme z rovnovážné polohy a jakou energii má při průchodu rovnovážnou polohou. Nezapomeňte zvolit hladinu nulové potenciální energie.

  • Celkové řešení

    a)

    Steinerova věta říká, že známe-li JT, moment setrvačnosti tělesa o hmotnosti m při otáčení kolem osy procházející těžištěm, dá se vyjádřit moment setrvačnosti tělesa při otáčení kolem rovnoběžné osy ve vzdálenosti d takto:

    \[J=J_T+md^2\,.\]

    Moment setrvačnosti válce při otáčení podle osy procházející středy podstav je:

    \[J=\frac{1}{2}mr^2\,.\]

    Kdybychom k našemu půlválci přiklopili ještě jeden, dostali bychom válec o momentu setrvačnosti vůči rotační ose symetrie \(\frac{1}{2}2mr^2\).

    Náš půlválec má proti takovému tělesu poloviční hmotnost, ale hmotu má od řečené osy rozloženou ve stejném poměru, proto:

    \[J_S=\frac{1}{2}mr^2\,.\]

    Podle Steinerovy věty platí:

    \[J_S=J_T+mp^2\,.\]

    Označme hledaný moment setrvačnosti JH. Podle Steinerovy věty platí:

    \[J_H=J_T+m(r-p)^2\,.\]

    Dosadíme postupně za JT, JS a p:

    \[J_H = J_S - mp^2 + mr^2 - 2mrp + mp^2\,,\] \[J_H = J_S+ mr^2-2mrp=\frac{1}{2}mr^2+mr^2-2mr\frac{4r}{3\pi}\,,\] \[J_H=mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\,.\tag{1}\] b)

    Předpokládejme, že kolébání půlválce není tlumeno odporovými silami a že půlválec koná harmonický pohyb.

    Pro okamžitou výchylku z rovnovážné polohy α platí:

    \[\alpha (t)=\alpha_0\cos\omega t\,,\]

    kde \(\omega=2\pi f = \frac{2\pi}{T}.\)

    Derivací podle t získáme okamžitou úhlovou rychlost ω:

    \[\omega (t) = - \alpha_0\omega\sin\omega t\,.\] Označíme: \[\omega_m=\omega\alpha_0\,.\tag{2}\]

    K dalšímu řešení použijeme zákon zachování mechanické energie. Napíšeme, jakou mechanickou energii má válec, když ho vychýlíme z rovnovážné polohy a jakou energii má při průchodu rovnovážnou polohou. Hladinu nulové potenciální energie zvolíme v těžišti v rovnovážné poloze.

    takhle to vypadá

    Při vychýlení zvedneme těžiště o výšku h, která je rozdílem vzdálenosti bodů S a T , tedy p, a kolmého průmětu této vzdálenosti po vychýlení půlválce, pcosα0:

    \[h=p-p\cos\alpha_0\dot{=}p(1-(1-\frac{\alpha^2}{2}))=\frac{2r\alpha^2}{3\pi}\,.\tag{3}\]

    V okamžiku vychýlení má válec nulovou kinetickou energii a potenciální energie je rovna:

    \[E_{p1}=mgh=\frac{2mgr\alpha^2}{3\pi}\,.\]

    Při průchodu rovnovážnou polohou je potenciální energie rovna nule a kinetická energie je rovna:

    \[E_{k2} = \frac{1}{2}J\omega_m^2\,.\]

    Podle zákona zachování energie platí:

    \[E_{k2} = E_{p1} \,,\] \[\frac{1}{2}J_H\omega_m^2=mgh\,.\]

    Dosadíme za \(J_H, \omega_m, h\) ze vztahů (1), (2), (3):

    \[\frac{1}{2}mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})(\omega\alpha_0)^2 = mg\frac{2r\alpha_0^2}{3\pi}\,.\]

    Upravíme a vyjádříme ω:

    \[\frac{1}{2}r(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\omega^2=g\frac{2}{3\pi}\,,\] \[\omega^2=\frac{4g}{3\pi r(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})}\,,\] \[\omega^2=\frac{8g}{ r(9\pi-16)}\,.\]

    A protože: \(\omega=\frac{2\pi}{T}\):

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{8g}}\,,\] \[T=\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{2g}}\,.\]
  • Odpověď

    a) Hledaný moment setrvačnosti je:

    \[J_H=mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\,.\]

    b) Půlválec kmitá s periodou:

    \[T=\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{2g}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze