Sbírka řešených úloh

Kolébání půlválce

Úloha číslo: 537

Homogenní půlválec o poloměru r a hmotnosti m leží na vodorovné rovině.

a) Určete moment setrvačnosti půlválce vzhledem k přímce, ve které se půlválec dotýká roviny.

b) Půlválec vykloníme o malý úhel z rovnovážné polohy a pustíme. S jakou periodou se bude kolébat?

Předpokládáme, že tření mezi půlválcem a rovinou je dostatečně velké, aby nedošlo k prokluzování, a že valivý odpor je zanedbatelný.

Těžiště půlválce se nachází ve vzdálenosti $p=\frac{4r}{3\pi}$ od bodu S.

Pro malé úhly můžete použít aproximace (přibližného vztahu) $\sin\alpha\dot{=}\alpha\,,$ $\cos\alpha=1-2sin^2\frac{\alpha}{2}\dot{=}1-\frac{\alpha^2}{2}\,.$

• Nápověda a) 1

  K výpočtu momentu setrvačnosti využijte Steinerovu větu a znalost momentu setrvačnosti celého válce vzhledem k ose procházející středy podstav.

• Řešení nápovědy a) 1

  Steinerova věta říká, že známe-li J_T, moment setrvačnosti tělesa o hmotnosti m při otáčení kolem osy procházející těžištěm, dá se vyjádřit moment setrvačnosti tělesa při otáčení kolem rovnoběžné osy ve vzdálenosti d takto:

  $$J=J_\mathrm{T}+md^2\,.$$

  Moment setrvačnosti válce při otáčení podle osy procházející středy podstav je (viz úloha Moment setrvačnosti válce):

  $$J=\frac{1}{2}mr^2\,.$$

  Kdybychom k našemu půlválci přiklopili ještě jeden, dostali bychom válec o momentu setrvačnosti vůči rotační ose symetrie $\frac{1}{2}2mr^2$.

  Náš půlválec má proti takovému tělesu poloviční hmotnost, ale hmotu má od řečené osy rozloženou ve stejném poměru, proto:

  $$J_\mathrm{S}=\frac{1}{2}mr^2\,.$$

  Podle Steinerovy věty platí:

  $$J_\mathrm{S}=J_\mathrm{T}+mp^2\,.$$

  Označme hledaný moment setrvačnosti J_H. Podle Steinerovy věty platí:

  $$J_\mathrm{H}=J_\mathrm{T}+m(r-p)^2\,.$$

  Dosadíme postupně za J_T, J_S a p:

  $$J_\mathrm{H} = J_\mathrm{S} - mp^2 + mr^2 - 2mrp + mp^2\,,$$ $$J_\mathrm{H} = J_\mathrm{S}+ mr^2-2mrp=\frac{1}{2}mr^2+mr^2-2mr\frac{4r}{3\pi}\,,$$ $$J_\mathrm{H}=mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\,.\tag{1}$$

• Nápověda b) 1

  Předpokládejme, že kolébání půlválce není tlumeno odporovými silami a že půlválec koná harmonický pohyb.

  Vztahy pro okamžitou úhlovou výchylku z rovnovážné polohy a okamžitou úhlovou rychlost budou obdobné jako například pro kmitání kuličky na pružině. Napište je.

• Řešení nápovědy b) 1

  Pro okamžitou výchylku α platí:

  $$\alpha (t)=\alpha_0\cos\omega t\,,$$

  kde $\omega=2\pi f = \frac{2\pi}{T}.$

  Derivací podle t získáme okamžitou úhlovou rychlost ω:

  $$\omega (t) = - \alpha_0\omega\sin\omega t\,.$$ Označíme: $$\omega_\mathrm{m}=\omega\alpha_0\,.\tag{2}$$

• Nápověda b) 2

  K dalšímu řešení použijte zákon zachování mechanické energie. Napište, jakou mechanickou energii má válec, pokud ho vychýlíme z rovnovážné polohy, a jakou energii má při průchodu rovnovážnou polohou. Nezapomeňte zvolit hladinu nulové potenciální energie.

• Řešení nápovědy b) 2

  

  Hladinu nulové potenciální energie zvolíme v těžišti v rovnovážné poloze.

  Při vychýlení zvedneme těžiště o výšku h, která je rozdílem vzdálenosti bodů S a T ( tedy p) a kolmého průmětu této vzdálenosti po vychýlení půlválce, pcosα₀:

  $$h=p-p\cos\alpha_0\dot{=}p(1-(1-\frac{\alpha^2}{2}))=\frac{2r\alpha^2}{3\pi}\,.\tag{3}$$

  V okamžiku vychýlení má válec nulovou kinetickou energii a potenciální energie je rovna:

  $$E_\mathrm{p1}=mgh=\frac{2mgr\alpha^2}{3\pi}\,.$$

  Při průchodu rovnovážnou polohou je potenciální energie rovna nule a kinetická energie je rovna:

  $$E_\mathrm{k2} = \frac{1}{2}J\omega_\mathrm{m}^2\,.$$

  Podle zákona zachování energie platí:

  $$E_\mathrm{k2} = E_\mathrm{p1}\,,$$ $$\frac{1}{2}J_\mathrm{H}\omega_\mathrm{m}^2=mgh\,.$$

  Dosadíme za $J_\mathrm{H}, \omega_\mathrm{m}, h$ ze vztahů (1), (2), (3):

  $$\frac{1}{2}mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})(\omega\alpha_0)^2 = mg\frac{2r\alpha_0^2}{3\pi}\,.$$

  Upravíme a vyjádříme ω:

  $$\frac{1}{2}r(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\omega^2=g\frac{2}{3\pi}\,,$$ $$\omega^2=\frac{4g}{3\pi r(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})}\,,$$ $$\omega^2=\frac{8g}{ r(9\pi-16)}\,.$$

  A protože $\omega=\frac{2\pi}{T}$, tak:

  $$T=2\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{8g}}\,,$$ $$T=\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{2g}}\,.$$

• Celkové řešení

  a)

  Steinerova věta říká, že známe-li J_T, moment setrvačnosti tělesa o hmotnosti m při otáčení kolem osy procházející těžištěm, dá se vyjádřit moment setrvačnosti tělesa při otáčení kolem rovnoběžné osy ve vzdálenosti d takto:

  $$J=J_\mathrm{T}+md^2\,.$$

  Moment setrvačnosti válce při otáčení podle osy procházející středy podstav je:

  $$J=\frac{1}{2}mr^2\,.$$

  Kdybychom k našemu půlválci přiklopili ještě jeden, dostali bychom válec o momentu setrvačnosti vůči rotační ose symetrie $\frac{1}{2}2mr^2$.

  Náš půlválec má proti takovému tělesu poloviční hmotnost, ale hmotu má od řečené osy rozloženou ve stejném poměru, proto:

  $$J_\mathrm{S}=\frac{1}{2}mr^2\,.$$

  Podle Steinerovy věty platí:

  $$J_\mathrm{S}=J_\mathrm{T}+mp^2\,.$$

  Označme hledaný moment setrvačnosti J_H. Podle Steinerovy věty platí:

  $$J_\mathrm{H}=J_\mathrm{T}+m(r-p)^2\,.$$

  Dosadíme postupně za J_T, J_S a p:

  $$J_\mathrm{H} = J_\mathrm{S} - mp^2 + mr^2 - 2mrp + mp^2\,,$$ $$J_\mathrm{H} = J_\mathrm{S}+ mr^2-2mrp=\frac{1}{2}mr^2+mr^2-2mr\frac{4r}{3\pi}\,,$$ $$J_\mathrm{H}=mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\,.\tag{1}$$ b)

  Předpokládejme, že kolébání půlválce není tlumeno odporovými silami a že půlválec koná harmonický pohyb.

  Pro okamžitou výchylku z rovnovážné polohy α platí:

  $$\alpha (t)=\alpha_0\cos\omega t\,,$$

  kde $\omega=2\pi f = \frac{2\pi}{T}.$

  Derivací podle t získáme okamžitou úhlovou rychlost ω:

  $$\omega (t) = - \alpha_0\omega\sin\omega t\,.$$ Označíme: $$\omega_\mathrm{m}=\omega\alpha_0\,.\tag{2}$$

  K dalšímu řešení použijeme zákon zachování mechanické energie. Napíšeme, jakou mechanickou energii má válec, když ho vychýlíme z rovnovážné polohy, a jakou energii má při průchodu rovnovážnou polohou. Hladinu nulové potenciální energie zvolíme v těžišti v rovnovážné poloze.

  

  Při vychýlení zvedneme těžiště o výšku h, která je rozdílem vzdálenosti bodů S a T (tedy p) a kolmého průmětu této vzdálenosti po vychýlení půlválce, pcosα₀:

  $$h=p-p\cos\alpha_0\dot{=}p(1-(1-\frac{\alpha^2}{2}))=\frac{2r\alpha^2}{3\pi}\,.\tag{3}$$

  V okamžiku vychýlení má válec nulovou kinetickou energii a potenciální energie je rovna:

  $$E_\mathrm{p1}=mgh=\frac{2mgr\alpha^2}{3\pi}\,.$$

  Při průchodu rovnovážnou polohou je potenciální energie rovna nule a kinetická energie je rovna:

  $$E_\mathrm{k2} = \frac{1}{2}J\omega_\mathrm{m}^2\,.$$

  Podle zákona zachování energie platí:

  $$E_\mathrm{k2} = E_\mathrm{p1} \,,$$ $$\frac{1}{2}J_\mathrm{H}\omega_\mathrm{m}^2=mgh\,.$$

  Dosadíme za $J_\mathrm{H}, \omega_\mathrm{m}, h$ ze vztahů (1), (2), (3):

  $$\frac{1}{2}mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})(\omega\alpha_0)^2 = mg\frac{2r\alpha_0^2}{3\pi}\,.$$

  Upravíme a vyjádříme ω:

  $$\frac{1}{2}r(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\omega^2=g\frac{2}{3\pi}\,,$$ $$\omega^2=\frac{4g}{3\pi r(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})}\,,$$ $$\omega^2=\frac{8g}{ r(9\pi-16)}\,.$$

  A protože $\omega=\frac{2\pi}{T}$, tak:

  $$T=2\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{8g}}\,,$$ $$T=\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{2g}}\,.$$

• Odpověď

  a) Hledaný moment setrvačnosti je:

  $$J_\mathrm{H}=mr^2(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi})\,.$$

  b) Půlválec kmitá s periodou:

  $$T=\pi\sqrt{\frac{r(9\pi-16)}{2g}}\,.$$