Čerpadlo

Úloha číslo: 155

Čerpadlo odčerpává vodu z dolu z hloubky h a na povrchu ji vypouští rychlostí o velikosti v. Za dobu t se odčerpá voda o hmotnosti m. Pětina vynaložené práce se spotřebuje na překonávání třecích sil. Určete výkon čerpadla.

Řešte nejprve obecně a pak pro hodnoty: h = 100 m, v = 30 km·h-1, t = 10 s, m = 30 kg.

  • Zápis

    h = 100 m hloubka, z které čerpadlo odčerpává vodu
    v = 30 km·h-1 = 8,3 m·s-1 rychlost, kterou čerpadlo vypouští vodu
    t = 10 s doba, po kterou se odčerpává voda
    m = 30 kg hmotnost odčerpané vody
    P = ? (W) výkon čerpadla
  • Nápověda 1 - práce čerpadla

    Jaká je mechanická energie vody před odčepáním a po odčerpání? Na co všechno vynakládá čerpadlo práci?

  • Nápověda 2 - výkon čerpadla

    Co vyjádřuje výkon? Podle jakého vztahu ho můžete spočítat?

  • Číselný výpočet

    Je dáno:

    \[h\,=\, 100\,\mathrm{m},\] \[v\,=\,30\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}\,=\,8{,}3\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[t\,=\,10\,\mathrm{s},\] \[m\,=\,30\,\mathrm{kg},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}.\]

    Hledáme:

    \[P\,=\,?,\] \[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right),\] \[P,=\,\frac {5}{4{\cdot}10}\cdot30\cdot\left(\frac {1}{2}\cdot8{,}3^2+9{,}81{\cdot}100\right)\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,3808{,}9\,\mathrm{W}\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]
  • Odpověď

    Výkon čerpadla je \[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right)\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]

  • Celkové řešení

    Čerpadlo jednak zvedá vodu ze dna dolu na povrch, vynakládá tedy práci na zvyšení její polohové energie. Vodu vypouští rychlostí v, takže koná práci na zvýšení její kinetické energie. Část práce koná na překonání třecích sil. Celková práce čerpadla je tedy rovna:

    \[W\,=\,E_k+E_p+W_t,\]

    W…celková práce čerpadla,

    Wt…práce na překonání třecích sil,

    Ep…práce vykonaná na zvýšení potenciální energie vody,

    Ek…práce vykonaná na zvýšení kinetické energie vody.

    Práce na překonání třecích sil tvoří pětinu celkové práce čerpadla:

    \[W\,=\,E_k+E_p+\frac {W}{5}.\]

    Vyjádříme si práci:

    \[W\,=\,\frac {5}{4}\left(E_k+E_p\right).\]

    Voda získá potenciální energii \(E_p\,=\,mgh\) a kinetickou energii \(E_k\,=\,\frac{1}{2}mv^2\).

    \[W\,=\,\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}mv^2+mgh\right).\tag{1}\]

    Okamžitý výkon odpovídá „okamžité rychlosti“ konaní práce. Práce se koná v našem případě rovnoměrně, takže výkon můžeme vyjádřit vztahem:

    \[P\,=\,\frac {W}{t}.\]

    Za práci W dosadíme ze vztahu (1):

    \[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right),\] \[P\,=\,\frac {5}{4{\cdot}10}\cdot30\cdot\left(\frac {1}{2}\cdot8{,}3^2+9{,}81{\cdot}100\right)\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,3808{,}9\,\mathrm{W}\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]

    Odpověď:Výkon čerpadla je \[P\,=\,\frac {5}{4t}m\left(\frac {1}{2}v^2+gh\right)\,=\,3{,}8\,\mathrm{kW}.\]

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Renc, Z.: Sbírka řešených úloh z matematiky, fyziky a informatiky. 1.
vyd. Praha, Matfyzpress, 1997
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Renc, Z.: Sbírka řešených úloh z matematiky, fyziky a informatiky. 1. vyd. Praha, Matfyzpress, 1997
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze