Střela a tyč II

Úloha číslo: 2209

Střela o hmotnosti \(m\) a rychlosti \(\vec {v_{0}}\) zasáhne konec dřevěné tyče délky \(L\) a hmotnosti \(M\) a uvázne v ní. Tyč je volně otáčivá kolem vodorovné osy procházející ve vzdálenosti \(\frac{1}{3}L\) od jejího konce.

a) Určete moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení.

b) Vypočtěte úhlovou rychlost, kterou se tyč začne otáčet.

c) Vypočtěte poměr \(\frac{\Delta U}{E_{k_{0}}}\) změny vnitřní energie soustavy střela a tyč ku počáteční kinetické energii soustavy.

  • Rozbor

    V celé úloze předpokládáme, že se střela do tyče zaryje po nárazu velmi rychle, a pak se tyč se střelou začne otáčet úhlovou rychlostí, kterou hledáme. Budeme využívat zákon zachování momentu hybnosti. Zvolíme dvě situace, první těsně před nárazem střely do tyče, druhou těsně po nárazu. Celkový moment hybnosti soustavy střela a tyč v těchto situacích si zapíšeme. Velikosti momentů hybnosti se musí rovnat a lze z nich vyjádřit hledanou úhlovou rychlost.

    K řešení úlohy nelze využít zákon zachování mechanické energie, protože se střela i tyč při nárazu zahřívají a deformují. Z rozdílu celkové mechanické energie soustavy střela a tyč před a po nárazu dokážeme určit změnu vnitřní energie soustavy.

  • Nápověda a)

    Při určování momentu setrvačnosti vyjdeme ze vztahu pro moment setrvačnosti \(J_{tyč} = \int_V{\rho r^2}\,dV\), kde r je vzdálenost elementu dV od osy otáčení a \(\rho\) hustota tyče.

    Zamyslete se, jak jej lze zjednodušit, jestliže předpokládáme, že tyč je homogenní a tenká. Jaké meze by měl integrál, pokud by osa procházela koncem tyče, a jak se meze změní v případě, že je osa umístěna v \(\frac{1}{3}\) délky tyče?

  • Nápověda b)

    Předpokládejme, že se střela po nárazu zaryje do tyče rychle, a pak se společně pohybují. K řešení využijeme zákon zachování. Jaká veličina se v tomto případě zachovává?

  • Nápověda c)

    Zapište si, čemu je rovna počáteční mechanická energie soustavy střela a tyč před nárazem. Stejně tak pro situaci těsně po nárazu. Zamyslete se, zda budou enerigie před a po stejně velké či ne. Jak vyjádříte změnu vnitřní energie soustavy?

  • Řesení a)

    Moment setrvačnosti určíme pomocí integrálu

    \[ J_{tyč} = \int_V{\rho r^2}\,dV, \]

    kde \(r\) označujeme vzdálenost elementu dV od osy otáčení. Tyč je homogenní a nekonečně tenká, pohybujeme se tedy v jednorozměrném prostoru, proto integrál můžeme ještě upravit do tvaru

    \[ J_{tyč} = \int{\lambda r^2}\,dr, \tag{1}\]

    kde \(\lambda\) je délková hustota (rozložení celkové hmoty tyče \(M\) na celé její délce \(L\)). Platí

    \[ \lambda = \frac{M}{L} . \tag{2}\]

    Víme, že osa otáčení je umístěna ve vzdálenosti \(\frac{1}{3}L\) od konce tyče. Při výpočtu budeme integrovat v mezích od \(−\frac{L}{3}\) do \(\frac{2}{3}L\), abychom zahrnuli celou délku tyče.

    Obr. 1: Umístění osy

    Dosazením za (2) do integrálu (1) a přidáním mezí získáme určitý integrál pro výpočet momentu setrvačnosti tyče \(J_{tyč}\).

    \[ J_{tyč} = \int_{−\frac{L}{3}}^{\frac{2}{3}L}{\frac{M}{L} r^2}\,dr =\frac{M}{L} \int_{−\frac{L}{3}}^{\frac{2}{3}L}{ r^2}\,dr = \frac{M}{L} \left[\frac{r^3}{3}\right]_{−\frac{L}{3}}^{\frac{2}{3}L} = \frac{M}{L}\left[\frac{8}{27{\cdot} 3}L^3−\left(−\frac{1}{27{\cdot} 3}L^3\right)\right] =ML^2 \left(\frac{9}{27 {\cdot} 3}\right) \]

    Zkrácením zlomku v získaném výrazu dostaneme výsledek

    \[ J_{tyč} = \frac{1}{9}ML^2. \]

    Poznámka: Pro podrobnější postup odvození integrálu se podívejte na úlohu Střela a tyč I nebo Moment setrvačnosti tyče.

  • Řešení b)

    K určení úhlové rychlosti \(\vec \omega\) využijeme zákona zachování momentu hybnosti. Uvažujme dvě situace, ve kterých musí být celkový moment hybnosti soustavy střela a tyč stejný.

    Obr. 2: Počáteční situace
    Obr. 3: Situace po srážce střely s tyčí

    Moment hybnosti hmotného bodu \(\vec L\) vzhledem k bodu O je určen vektorovým součinem

    \[ \vec L = \vec {r}×\vec{p} \]

    Zde \(\vec r\) je polohový vektor směřující od bodu O ke konci tyče, kam se zarývá střela, a \(\vec p\) vektor hybnosti.

    Pro velikost vektorového součinu platí:

    \[L = rp\sin\varphi \,,\]

    kde φ je úhel sevřený oběma vektory.

    Vektor momentu hybnosti je kolmý k rovině určené vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{p}\). Jeho orientaci lze určit pravidlem pravé ruky: prsty dáme tak, aby směřovaly od \(\vec{r}\) k \(\vec{p}\), napnutý palec pak ukazuje směr vektoru \(\vec{L}\). Vektor \(\vec p\) má stejný směr jako rychlost \(\vec {v_0}\).

    Pro moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose otáčení platí:

    \[\vec{L} = J\vec{\omega}\,,\]

    kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose otáčení a \(\vec{\omega}\) úhlová rychlost otáčení.

    Pro velikost momentu hybnosti platí:

    \[L = J\omega\,.\]

    Směr vektoru momentu hybnosti je daný směrem vektoru úhlové rychlosti \(\vec{\omega}\).

    Moment hybnosti budeme určovat vzhledem k bodu závěsu tyče O.

    V první situaci je tyč v klidu, celkový moment hybnosti soustavy střela a tyč se bude rovnat momentu hybnosti samotné střely. Střela se pohybuje rychlostí \(\vec {v_0}\) kolmo k tyči. Vektorový součin můžeme zjednodušit na součin velikostí \(\vec r\) a \(\vec p\), sinus úhlu jimi sevřeného je roven 1. Velikost polohového vektoru vyjádříme jako část délky tyče, přesněji \(\frac{2}{3}L\).

    Moment hybnosti v první situaci

    \[ \vec {L_{1}} = \vec {r}×\vec{p} \]

    Pro jeho velikost platí:

    \[ L_{1} = \frac{2}{3}Lp = \frac{2}{3}mv_{0}L \tag{3}\]

    V druhé situaci započítáme rotační pohyb tyče kolem osy, moment hybnosti \(\vec L_{2}\) určíme pomocí součinu momentu setrvačnosti celého tělesa \(J\) a jeho úhlové rychlosti \(\vec{\omega}\). Na celkovém momentu setrvačnosti se podílí tyč (moment setrvačnosti \(J_{tyč}\) z předchozí části úlohy) a střela, kterou považujeme za hmotný bod, který je ve vzdálenosti \(\frac{2}{3}L\) od osy otáčení. Střela i tyč se pohybují stejnou úhlovou rychlostí, tedy momenty setrvačnosti můžeme sečít a získáme celkový moment setrvačnosti.

    \[ J = J_{tyč} + J_{střela} = \frac{1}{9}ML^2 + m\left(\frac{2}{3}L\right)^2 \tag{4}\]

    Pro moment hybnosti \(\vec L_{2}\) tedy platí

    \[ \vec{L_{2}} = J\vec{\omega} = \left(\frac{1}{9}ML^2 + m\left(\frac{2}{3}L\right)^2\right)\vec{\omega}. \]

    A pro jeho velikost

    \[ L_{2} = J\omega = \left(\frac{1}{9}ML^2 + m\left(\frac{2}{3}L\right)^2\right){\omega}. \tag{5}\]

    Podle zákona zachování momentu hybnosti dostáváme rovnost vztahů (3) a (5)

    \[ L_1=L_2 \]

    \[ \frac{2}{3}mv_{0}L = \left(\frac{1}{9}ML^2 + m\frac{4}{9}L^2\right)\omega \]

    Postupně vyjádříme úhlovou rychlost \(\omega\)

    \[ \frac{2}{3}mv_{0} = \left(\frac{1}{9}M+ m\frac{4}{9}\right)L\omega \]

    \[ 2mv_{0} = \left(\frac{1}{3}M+ m\frac{4}{3}\right)L\omega \]

    \[ \omega = \frac{2mv_{0}}{\left(\frac{1}{3}M + \frac{4}{3}m\right)L} \]

    Výraz můžeme ještě upravit

    \[ \omega = \frac{6mv_{0}}{\left(M + 4m\right)L} \]

  • Řešení c)

    Postup řešení poslední části úlohy je stejný jako v poslední sekci úlohy Střela a tyč I, kde si můžete pročíst podrobnější vysvětlení.

    Chceme určit poměr změny vnitřní energie soustavy tyč–střela a počáteční kinetické energie. Počáteční kinetickou energii soustavy má střela

    \[ E_{k_{0}} = \frac{1}{2}mv_{0}^2 \]

    Změnu vnitřní energie \(\Delta U\) určíme jako rozdíl \(E_{k_{0}}\) a energie rotačního pohybu \(T\), kde

    \[ T = \frac{1}{2}J\omega^2 \]

    Celkový moment setrvačnosti pro tyč se střelou \(J\) jsme určili v předchozí části úlohy, vztah (4)

    Známe vše potřebné k určení poměru, do kterého dosadíme

    \[ \frac{\Delta U}{E_{k_{0}}} =\frac{E_{k_{0}} −T}{E_{k_{0}}} =\frac{\frac{1}{2}mv_{0}^2−\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}ML^2+\frac{4}{9}mL^2\right) \omega^2}{\frac{1}{2}mv_{0}^2} \]

    Z druhé části úlohy dosadíme za úhlovou rychlost \(\omega\) a výraz upravíme

    \[ \frac{\Delta U}{E_{k_{0}}}=\frac{\frac{1}{2}mv_{0}^2−\frac{1}{18}L^2\left(M+4m\right) \frac{36m^2v_{0}^2}{\left(M + 4m\right)^2L^2}}{\frac{1}{2}mv_{0}^2} = \frac{\frac{1}{2}m−\frac{2m^2}{\left(M + 4m\right)}}{\frac{1}{2}m} = 1−\frac{4m}{\left(M + 4m\right)} \]

    Získáváme poměr

    \[ \frac{\Delta U}{E_{k_{0}}}= \frac{M}{\left(M + 4m\right)}. \]

  • Odpověď a)

    Moment setrvačnosti tyče vzhledem k vodorovné ose otáčení procházející v jedné třetině délky tyče je

    \[ J_{tyč} = \frac{1}{9}ML^2. \]

  • Odpověď b)

    Úhlová rychlost, s jakou se začne tyč se střelou otáčet, je

    \[ \omega = \frac{6mv_{0}}{\left(M + 4m\right)L}. \]

  • Odpověď c)

    Poměr \(\frac {\Delta U}{E_{k_{0}}}\) je

    \[ \frac{M}{\left(M + 4m\right)}. \]

  • Moment setrvačnosti tyče jinak

    Moment setrvačnosti tyče z prvního úkolu úlohy lze řešit také pomocí Steinerovy věty.

    Vyjdeme z momentu setrvačnosti tyče vzhledem k ose procházející hmotným středem tyče \(J_{1} = \frac{1}{12}ML^2\).

    Steinerova věta nám říká, že moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rovnoběžné s osou procházející hmotným středem tělesa určíme jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k ose procházející hmotným středem (tj. \(J_{1}\)) a čtverce polohového vektoru \(\vec{r_{s}}\), který určuje vzdálenost obou os, násobeného hmotností tělesa.

    \[ J_{2} = J_{1} + M\left(\vec {r_{s}}\right)^2 \]

    V našem případě, jak je vidět na obrázku (obr. 3), je \(\left|\vec{r_{s}}\right|\) rovna \(\frac{1}{6}L\).

    Obr. 4: Umístění os otáčení

    \[J_{2} = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{1}{6}L\right)^2 = \frac{1}{12}ML^2+\frac{1}{36}ML^2 = \left(\frac{3+1}{36}\right)ML^2 = \frac{1}{9}ML^2\]

    Dostali jsme stejný výsledek jako v řešení pomocí integrálu.

  • Jednodušší úloha

    Chcete-li řešit podobnou, o něco jednodušší úlohu, podívejte se na Střela a tyč I.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro
studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze