Kyvadlo ve vlaku – rovnovážná poloha

Úloha číslo: 937

Nalezněte rovnovážnou polohu kyvadla ve vlaku, který se pohybuje s konstantním zrychlením \(\vec{a}\).

  • Nápověda 1

    Rozmyslete si, případně i prakticky vyzkoušejte, v jaké poloze se kyvadlo ustálí. Bude viset svisle dolů, nebo bude nějak vychýleno?

    Nakreslete si obrázek kyvadla ve vlaku a zaneste do něj síly, které na kyvadlo působí.

    Rozhodněte se, zda úlohu budete řešit z pohledu pozorovatele spjatého se zemí, nebo z pohledu pozorovatele jedoucího vlakem.

    Můžete zkusit řešit úlohu oběma přístupy.

  • Nápověda 2

    Napište velikosti sil a z geometrie úlohy určete rovnovážnou polohu kyvadla v závislosti na úhlu α, který svírá závěs kyvadla se svislým směrem.

  • Celkové řešení

    Nejprve se rozhodneme, zda na úlohu pohlížíme z pohledu pozorovatele spjatého se zemí (inerciální vztažná soustava), nebo z pohledu pozorovatele jedoucího vlakem (neinerciální vztažná soustava).

    Nakreslíme si obrázek kyvadla ve vlaku a zaneseme příslušné síly.

    Řešení z pohledu inerciální vztažné soustavy:

    pozorovatel vedle vlaku

    Kyvadlo se vůči pozorovateli pohybuje se zrychlením \(\vec{a}\) a působí na něj dvě síly. Síla tíhová \(\vec{F_G}\), která působí svisle dolů, a tahová síla závěsu \(\vec{F_z}\), která působí ve směru závěsu.

    Výslednici těchto dvou sil označíme \(\vec{F}\). Jelikož je kyvadlo spojeno s vlakem, bude výsledná síla \(\vec{F}\) úměrná zrychlení, se kterým se vlak (a tudíž i kyvadlo) pohybuje.

    Velikost tíhové síly \(\vec{F}_G\) je:

    \[|\vec{F}_G|=mg,\]

    kde m je hmotnost kyvadla a g tíhové zrychlení.

    Velikost výsledné síly známe. Kyvadlo je spojeno s vlakem a společně s ním se vzhledem k inerciálnímu pozorovateli pohybuje se zrychlením \(\vec{a}\). Velikost výsledné síly působící na kyvadlo získáme jako součin velikosti zrychlení a hmotnosti kyvadla. Tedy:

    \[|\vec{F}|=ma.\]

    Podmínku rovnováhy určíme z pravoúhlého trojúhelníka, který tyto síly svírají (viz obrázek). Tedy:

    \[\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{|\vec{F}|}{|\vec{F}_G|}=\frac{ma}{mg}=\frac{a}{g}.\]

    Řešení z pohledu neinerciální vztažné soustavy:

    pozorovatel ve vlaku

    Kyvadlo je vůči pozorovateli v klidu. Tentokrát na něj působí tři síly. Síla tíhová \(\vec{F_G}\), která působí svisle dolů, tahová síla závěsu \(\vec{F_z}\), která působí ve směru závěsu, a setrvačná síla \(\vec{F_s}\), která působí proti směru zrychlení vlaku. Výslednice těchto tří sil musí být nulová, protože vůči pozorovateli je kyvadlo v klidu.

    Velikost tíhové síly \(\vec{F}_G\) je:

    \[|\vec{F}_G|=mg,\]

    kde m je hmotnost kyvadla a g tíhové zrychlení.

    Dále známe velikost setrvačné síly \(\vec{F}_s\). Je úměrná zrychlení vlaku \(\vec{a}\):

    \[|\vec{F}_s|=ma.\]

    Podmínku rovnováhy určíme z pravoúhlého trojúhelníka, který tyto síly svírají (viz obrázek). Tedy:

    \[\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{|\vec{F}_s|}{|\vec{F}_G|}=\frac{ma}{mg}=\frac{a}{g}.\]

    Ze srovnání výsledků pro rovnovážnou polohu z pohledu inerciální a neinerciální soustavy výplývá, že rovnovážná poloha nezávisí na volbě vztažné soustavy.

  • Odpověď

    Kyvadlo ve vlaku, který se pohybuje se zrychlením \(\vec{a}\), je v rovnovážné poloze, pro kterou platí:

    \[\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{a}{g},\]

    kde α je úhel, který svírá závěs kyvadla se svislým směrem, a g je tíhové zrychlení.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená graficky
Původní zdroj: Příklad byl přejat ze cvičení teoretické mechaniky Zdeňka Šabatky.
Též podle: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro
studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Michala Roskota (2013).
×Původní zdroj: Příklad byl přejat ze cvičení teoretické mechaniky Zdeňka Šabatky.
Též podle: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Michala Roskota (2013).
Zaslat komentář k úloze