Jojo

Úloha číslo: 2306

Jojo je vyrobeno ze dvou plechových kotoučů o hustotě \(\rho\), tloušťce \(d\) a poloměru \(R\) spojených krátkou osičkou o poloměru \(r\).

  1. Určete moment setrvačnosti joja vzhledem k rotační ose symetrie. Moment setrvačnosti i hmotnost osičky zanedbejte.

  2. Vlákno navinuté na osičce má délku \(L\) a zanedbatelnou tloušťku. S jakým zrychlením se odvaluje jojo dolů podél vlákna?

  3. Jak velkou tahovou silou působí vlákno na jojo?

  • Rozbor

    Zanedbáváme-li moment setrvačnosti osičky, můžeme se na jojo dívat jako na dva disky stejné hmotnosti. Ze známého vztahu pro moment setrvačnosti disku lze odvodit moment setrvačnosti joja, díky vztahu mezi hmotností uvažovaného disku, hustotou a celkovým objemem joja.

    Zrychlení, s jakým se odvaluje jojo dolů podél vlákna, souvisí se silami působícími na jojo, tedy s tíhovou silou a tahovou silou vlákna. Rozebereme-li pohyb joja, dostáváme jednak zrychlený posuvný pohyb těžiště a pohyb rotační okolo osy symetrie. Abychom zjistili zrychlení těžiště joja, napíšeme pohybovou rovnici pro působící síly a pro momenty působících sil vzhledem k těžišti.

    Situaci lze také zkoumat z pohledu zákona zachování mechanické energie. V tom případě musíme vhodně zvolit hladinu nulové potenciální energie a dvě situace, ve kterých budeme celkové mechanické energie joja srovnávat.

    Obr. 1: Nákres situace
  • Nápověda a)

    Jelikož zanedbáváme moment setrvačnosti osičky, můžeme si jojo představit jako dva homogenní tlusté disky. Zkuste si vzpomenout, jak se počítá moment setrvačnosti obyčejného disku a upravte jej pro náš případ. Pozor na správné hmotnosti.

  • Řešení a)

    Moment setrvačnosti jednoho homogenního disku o hmotnosti \(m_1\) a poloměru \(R\) je

    \[J_{disk}=\frac{1}{2} m_1R^2\]

    Jojo se skládá ze dvou takových disků, budeme tedy moment setrvačnosti \(J_{disk}\) uvažovat dvakrát. Hmotnost disku můžeme vyjádřit pomocí součinu jeho hustoty, ta je stejná jako hustota joja, tedy \(\rho\), a objemu (jednoho disku). Dostáváme

    \[J=2\,J_{disk}= m_1R^2=\rho\,V_{disk}R^2\]

    Disk považujeme za válec, pro objem kterého platí:

    \[V_{disk}=\pi R^2 d,\]

    kde \(d\) je tloušťka (nebo také výška) disku joja.

    Pro moment setrvačnosti joja pak dostáváme:

    \[J=\rho\,\pi R^2 dR^2= \pi \rho R^4d \]

    Chceme-li vyjádřit moment setrvačnosti pomocí hmotnosti joja \(m\), dosadíme do získaného vztahu za hustotu \(\rho\) tj. podíl hmotnostnosti joja \(m\) a jeho celkového objemu \(V\), tedy objemu dvou kotoučů:

    \[J=\pi R^4 d \frac{m}{2\pi R^2 d}\]

    Výraz na pravé straně ještě upravíme a získáme výsledný tvar pro moment setrvačnosti joja \(J\):

    \[J= \frac{1}{2}mR^2\]

  • Nápověda b)

    Zrychlení, se kterým se jojo odvaluje z vlákna, můžeme určit z působících sil. Zkuste si nakreslit obrázek s vyznačením všech sil působících na jojo. Sestavte pohybovou rovnici pro posuvný pohyb těžiště joja a pro rotační pohyb joja.

    Druhou možností je využít zákon zachování mechanické energie. V tom případě nejprve vhodně zvolte nulovou hladinu potenciální energie a dvě situace, ve kterých budete mechanickou energii srovnávat. Pak příslušné energie vyjádřete.

  • Řešení b) - Pohybové rovnice

    Chceme-li určit zrychlení pomocí rozboru působících sil a sestavení pohybových rovnic, nakreslíme si nejprve obrázek a vyznačíme působící síly. Těmi jsou tíhová síla \(\vec {F_G}\), která působí v těžišti, a tahová síla vlákna \(\vec T\), která působí směrem vzhůru v místě, kde se vlákno odvíjí od osičky joja.

    Obr. 2: Síly působící na jojo

    Jojo se pohybuje zrychleně směrem dolů, to znamená, že výslednice sil je nenulová. Platí:

    \[\vec {F_G}+\vec {T} = m\vec a,\]

    kde \(a\) je velikost hledaného zrychlení. Pohybovou rovnici můžeme přepsat skalárně:

    \[F_G-T=ma\]

    Ještě vyjádříme tíhovou sílu:

    \[mg-T=ma\tag{1}\]

    Tahovou sílu vlákna neumíme vyjádřit, zůstává nám v rovnici jako neznámá. Potřebujeme ještě jednu rovnici. Tu nám dodá momentová věta. Momenty sil budeme určovat vzhledem k těžišti joja, neboť je to zároveň působiště síly \(\vec {F_G}\). Jelikož rameno síly \(F_G\) je nulové, je i moment síly nulový. Zbývá tedy moment tahové síly vlákna. Dostáváme momentovou větu ve tvaru:

    \[\vec r × \vec T = J \vec\epsilon\]

    Jelikož síla \(\vec T\) má směr tečny k osičce, je úhel mezi vektorem \(\vec r\) a silou \(\vec T\) pravý. pro velikost vektorového součinu platí \(|\vec r × \vec T|=rT sin{\alpha}\), a tedy:

    \[Tr=J\epsilon\]

    Úhlové zrychlení můžeme vyjádřit jako:

    \[\epsilon = \frac{a}{r}\]

    Pak:

    \[Tr=J\frac{a}{r}\tag{2}\]

    Dosadíme-li z rovnice (2) do rovnice (1) za \(T\), získáme:

    \[mg-ma=J\frac{a}{r^2}\]

    Vyjádříme zrychlení \(a\), následně dosadíme za \(J\) a  upravíme.

    \[a\left (m+\frac{J}{r^2} \right)=mg\]

    \[a=\frac {mg}{\left (m+\frac{J}{r^2} \right)}\]

    \[a=\frac {g}{\left (1+\frac{J}{mr^2} \right)}=\frac {g}{\left (1+\frac{mR^2}{2mr^2} \right)}=\frac {g}{\left (1+\frac{R^2}{2r^2} \right)}\]

    \[a=\frac {2gr^2}{2r^2+R^2}.\]

  • Řešení b) - ZZME

    Vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie. Vybereme dvě situace, v nichž budeme mechanické energie srovnávat. První z nich zvolíme pro jojo v klidu ve výšce \(l\) nad zemí (když se odmotá celé vlákno, těžiště joja se bude nacházet nejníž nad zemí). Druhou situaci zvolíme po odmotání délky \(l\) vlákna, kdy má jojo největší kinetickou energii posuvného a rotačního pohybu. Nulovou hladinu potenciální energie zvolíme v místě nejnižší polohy těžiště v situaci 2. Pro energie pak platí:

    \[E_p = E_k+E_r,\tag{3}\]

    kde \(E_p\) je potenciální energie, \(E_k\) kinetická energie posuvného pohybu a \(E_r\) kinetická energie rotačního pohybu.

    Pro jednotlivé typy energií platí:

    \[E_p=mgl\]

    \[E_k=\frac{1}{2}mv^2\]

    \[E_r=\frac{1}{2}J\omega^2,\]

    Rychlost \(v\) ve vztahu pro kinetickou energii představuje rychlost posuvného pohybu a \(\omega\) je rychlost rotačního pohybu joja.

    Úhlovou rychlost můžeme vyjádřit jako podíl rychlosti \(v\) a poloměru otáčení \(r\). Získané poznatky spojíme a dosadíme do rovnice (3)

    \[mgl=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}J\frac{v^2}{r^2}\tag{4}\]

    Nyní potřebujeme nahradit rychlost v rovnici pomocí zrychlení. Víme, že pohyb těžiště joja je rovnoměrně zrychlený a v námi pozorovaných situacích urazí dráhu \(l\). Pro dráhu ai  rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:

    \[v=at\]

    \[l=\frac{1}{2}at^2\]

    Odtud pro kvadrát rychlosti \(v^2\) dostáváme:

    \[v^2=2la\]

    Dosazením do rovnice (4) za \(v^2\) získáme rovnici o jedné neznámé \(a\). Rovnici upravíme a zrychlení \(a\) vyjádříme.

    \[mgl=\frac{1}{2}m2la+\frac{1}{2}J\frac{2la}{r^2}\]

    \[mg=ma+a\frac{J}{r^2}\]

    \[mg=a\left(m+\frac{J}{r^2}\right)\]

    \[a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}\]

    Dosadíme-li za moment setrvačnosti \(J\) dle výsledků první části úlohy, můžeme zrychlení vyjádřit též následujícím způsobem:

    \[a=\frac{g}{1+\frac{R^2}{2r^2}}=\frac {2gr^2}{2r^2+R^2}.\]

  • Nápověda c)

    Podívejte se na pohybovou rovnici, kterou jsme sestavili v části řešení b). S její pomocí již tahovou sílu vlákna \(T\) snadno určíte.

  • Řešení c)

    V části řešení b), jsme sestavili rovnici (1) pro působící síly. Výsledkem úkolu b) bylo zrychlení joja, se kterým se odvaluje od vlákna. Dosadíme-li zrychlení \(a\) do pohybové rovnice, stačí vyjádřit hledanou sílu \(T\).

    \[mg-ma=T\]

    \[T=m\left(g-a\right)=m\left(g-\frac{2gr^2}{2r^2+R^2}\right)==\left(\frac{mgR^2}{2r^2+R^2}\right)\]

    Budeme-li chtít vyjádřit tahovou sílu vlákna v závislsoti na momentu setrvačnosti \(J\), dostaneme se k výrazu:

    \[T=\frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}.\]

  • Odpověď a)

    Moment setrvačnosti joja je:

    \[ J=\pi \rho R^4d.\]

    Vyjádřeno pomocí hmotnosti joja \(m\) a poloměru \(R\) pak:

    \[J= \frac{1}{2}mR^2.\]

  • Odpověď b)

    Podél vlákna se jojo odvaluje se zrychlením

    \[a=\frac {2gr^2}{2r^2+R^2}.\]

  • Odpověď c)

    Vlákno působí na jojo tahovou silou o velikosti

    \[T=\left(\frac{mgR^2}{2r^2+R^2}\right)=\frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}.\]

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro
studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: inspirováno: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze