Dělník roztahuje bednu

Úloha číslo: 90

Dělník roztahuje bednu o hmotnosti 50 kg po hladké vodorovné podlaze. Působí na ni přitom silou o velikosti 210 N pod úhlem 20° vzhledem k podlaze. Zjištěte, jakou práci vykonaly při posunutí bedny o 0,5 m následující síly:

a) síla, kterou působí na bednu dělník,

b) tíhová síla,

c) tlaková síla, jíž působí na bednu podlaha,

d) Jaká je celková práce všech sil působícich na bednu?

Tření bedny o podlahu neuvažujeme.

  • Zápis

    m = 50 kg hmotnost bedny
    F = 210 N velikost síly, kterou dělník roztahuje bednu
    α = 20° úhel, který svírá vektor síly \(\vec{F}\) s vektorem posunutí
    s = 0,5 m dráha, o kterou byla bedna posunuta
    W = ? práce, kterou vykoná síla \(\vec{F}\)
    Wg = ? práce, kterou vykoná tíhová síla
    WN = ? práce, kterou vykoná tlaková síla
    WC = ? celková práce
  • Nápověda 1 – práce dělníka

    Nakreslete si obrázek, a do něho působící síly.

    Sílu, kterou působí dělník na bednu, považujeme za konstantní. Jaký je vztah pro práci konstantní síly?

  • Nápověda 2 – práce tíhové síly

    Ve vztahu pro práci konstantní síly (1) nahraďte sílu \(\vec{F}\) vztahem pro tíhovou sílu \(\vec{F}_g\). Uvědomte si, jaký úhel svírá tíhová síla s vektorem posunutí.

  • Nápověda 3 – práce tlakové síly

    Dosaďte do vztahu pro práci konstantní síly (1) místo síly \(\vec{F}\) tlakovou sílu \(\vec{N}\).

  • Nápověda 4 – celková práce

    Celkovou práci spočítáte jako součet prací vykonaných jednotlivými silami.

  • Číselný výpočet

    a)

    \[F\,=\, 210\, \mathrm{N}\] \[s\,=\, 0{,}5 \,\mathrm{m}\] \[\alpha\,=\,20^{\circ}\]
    \[W\,=\,Fs\cos\alpha\] \[W\,=\,210{\cdot}0{,}5\cdot\cos20^{\circ}\,\mathrm{J}\] \[W\,=\,105{\cdot}0{,}94\,\mathrm{J}\] \[W\,=\,98{,}7\,\mathrm{J}\dot=\, 99\,\mathrm{J}\]

    b)

    Vektor tíhové síly svírá s vektorem posunutí úhel 90°, čili práce, kterou tato síla vykoná, je nulová.

    c)

    Vektor tlakové síly svírá s vektorem posunutí opět úhel 90°, práce, kterou vykoná tato síla, je nulová.

    d)

    \[W\,=\,98{,}7\,\mathrm{J}\] \[W_{g}\,=\,0\,\mathrm{J}\] \[W_{N}\,=\,0\,\mathrm{J}\] \[W_{c}\,=\,W+W_{g}+W_{N}\] \[W_{c}\,=\,98{,}7\,\mathrm{J} \dot=\, 99\,\mathrm{J}\]
  • Odpověď

    a) Práce vykonaná dělníkem je rovna \(W\,=\,Fs\cos\alpha\,\dot=\, 99\,\mathrm{J}\).

    b) Práce vykonaná tíhovou sílou Wg je rovna nule.

    c) Práce vykonaná tlakovou sílou WN je rovna nule.

    d) Celková práce je rovna \(W_{c}\,=\,W+W_{g}+W_{N}\,=\,Fs\cos\alpha\,\dot=\, 99\,\mathrm{J}\).

  • Komentář

    Bedna se při roztahování pohybuje rovnoměrně zrychleně.

    V úloze řešíme idealizovaný případ, kdy neuvažujeme působení třecí síly, která by v realné situaci působila proti směru pohybu bedny.

  • Celkové řešení bodu a) – práce dělníka

    Dělník vleče bednu

    \(\vec{F}\) … síla, kterou působí dělník na bednu

    \(\vec{N}\) … síla, kterou působí podlaha na bednu

    \(\vec{F}_g\) … tíhová síla

    V případě, že je působící síla konstantní, spočítáme práci jako skalární součin vektoru působící síly a vektoru posunutí.

    \[W\,=\,\vec{F}\cdot\vec{s}\]

    \(W\) … vykonaná práce

    \(\vec{F}\) … vektor síly, kterou působí na bednu dělník

    \(\vec{s}\) … vektor posunutí

    Pro skalární součin platí:

    \[W\,=\,Fs\cos \alpha,\tag{1}\] \[F= 210 \,\mathrm{N},\] \[s= 0{,}5\,\mathrm{m},\] \[\alpha=20^{\circ},\] \[W\,=\,Fs\cos\alpha\,=\,210{\cdot}0{,}5\cdot\cos20^{\circ}\,\mathrm{J}\,=\,105{\cdot}0{,}94\,\mathrm{J1},\] \[W\,=\,98{,}7\,\mathrm{J}\dot=\, 99\,\mathrm{J}.\]

    Odpověď: Práce vykonaná dělníkem je rovna \[W\,=\,Fs\cos\alpha\,\dot=\, 99\,\mathrm{J}.\]

  • Celkové řešení bodu b) – práce tíhové síly

    Ve vztahu pro práci konstantní síly nahradíme sílu \(\vec{F}\) vztahem pro tíhovou sílu \(\vec{F}_g\).

    \[W_{g}\,=\,\vec{F}_{g}\cdot\vec {s}\] \[W_{g}\,=\,m\cdot\vec{g}\cdot\vec{s}\] \[W_{g}\,=\,mgs\cos \alpha^{'}\]

    \(W_{g}\) … práce, kterou vykoná tíhová síla

    \(\vec{F}_{g}\) … tíhová síla

    \(m\) … hmotnost bedny

    \(\vec{g}\) … vektor tíhového zrychlení

    \(\vec{s}\) … vektor posunutí

    \(\alpha^{'}\) … úhel, který svírá vektor tíhové síly s vektorem posunutí, \(\alpha^{'}=90^{\circ}\)

    \[\cos\alpha^{'}\,=\,\cos90^{\circ}\,=\,0\] \[W_{g}\,=\,m\cdot g\cdot s\cdot 0\,=\,0\]

    Odpověď: Práce vykonaná tíhovou sílou je rovna nule.

  • Celkové řešení bodu c) – práce tlakové síly

    Dosaďte do vztahu pro práci konstantní síly (1) místo síly \(\vec{F}\) tlakovou sílu \(\vec{N}\).

    \[W_{N}\,=\,\vec{N}\cdot\vec{s}\] \[W_N\,=\,Ns\cos\alpha^{''}\]

    \(W_{N}\) … práce, kterou vykoná tlaková síla

    \(\vec{N}\) … vektor tlakové síly

    \(\vec{s}\) … vektor posunutí

    \(\alpha^{''}\) … úhel, který svírá vektor tlakové síly s vektorem posunutí

    Vektor tlakové síly svíra s vektorem posunutí opět úhel 90°, práce, kterou vykoná tato síla, je nulová.

    \[\cos\alpha^{''}\,=\,\cos90^{\circ}\,=\,0\] \[W_{N}\,=\,m\cdot g\cdot s\cdot 0\,=\,0\]

    Odpověď: Práce vykonaná tlakovou sílou je rovna nule.

  • Celkové řešení bodu d) – celková práce

    Celkovou práci spočítáme jako součet prací vykonaných jednotlivými silami.

    \[W_{c}\,=\,W+W_{g}+W_{N}\]

    \(W_{c}\) … celková práce

    \(W\) … práce, kterou vykoná síla \(\vec{F}\)

    \(W_{g}\) … práce, kterou vykoná tíhová síla \(\vec{F}_{g}\)

    \(W_{N}\) … práce, kterou vykoná tlaková síla \(\vec{N}\)

    \[W\,=\,Fs\cos\alpha\] \[W_{g}\,=\,0\,\mathrm{J}\] \[W_{N}\,=\,0\,\mathrm{J}\] \[W_{c}\,=\,W+W_{g}+W_{N}=Fs\cos\alpha\] \[W_{c}\,=\,98{,}7\,\mathrm{J}\dot=\, 99\,\mathrm{J}\]

    Odpověď: Celková práce je rovna \(W_{c}\,=\,W+W_{g}+W_{N}\,=\,\dot=\, 99\,\mathrm{J}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Původní zdroj: Halliday,D., Resnick,R., Walker,J.: Fyzika. Vysokoškolská učebnice
obecné fyziky. VUTIUM, Brno 2000 - upraveno
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Halliday,D., Resnick,R., Walker,J.: Fyzika. Vysokoškolská učebnice obecné fyziky. VUTIUM, Brno 2000 - upraveno
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze